<<
>>

С циркулем по планетным путям

Из трех законов планетных движений, с огромными усилиями вырванных у природы гением Кеплера, наименее понятен для многих, пожалуй, первый.

Закон этот утверждает, что планеты движутся по эллипсам.

Почему же именно по эллипсам? Казалось бы, раз от Солнца во все стороны исходит одинаковая сила, ослабевающая с удалением в одинаковой мере, то планеты должны обходить Солнце по кругам, а никак не по вытянутым замкнутым путям, в которых Солнце к тому же не занимает центрального положения. Недоумения подобного рода исчерпывающе разъясняются при математическом рассмотрении вопроса. Но необходимыми познаниями из высшей математики владеют лишь немногие друзья неба. Постараемся же сделать ощутительной правильность законов Кеплера для тех наших читателей, которые могут распоряжаться только арсеналом элементарной математики.

Вооружившись циркулем, масштабной линейкой и большим листом бумаги, будем сами строить планетные пути и таким образом убедимся графически, что получаются они такими, какими должны быть согласно законам Кеплера.


Рис. 83. Сила притяжения планеты Солнцем увеличивается с уменьшением расстояния

Движение планет управляется силой тяготения. Займемся ею. Кружок в правой части рис. 83 изображает некое воображаемое солнце; влево от него - воображаемая планета. Расстояние между ними пусть будет 1 000 000 км, на чертеже оно представлено 5 см - в масштабе 200 000 км в 1 см.

Стрелка в 0,5 см длины изображает силу, с какой притягивается к Солнцу наша планета (рис. 83). Пусть теперь планета под действием этой силы приблизилась к Солнцу и находится от него на расстоянии всего 900 000 км, т.е. 4,5 см на нашем чертеже. Притяжение

планеты к Солнцу теперь усилится по закону тяготения в (10/9) , т.

е. в 1,2 раза. Если раньше притяжение изображено было стрелкой в 1 единицу длины, то теперь мы должны придать

стрелке размер 1,2 единицы. Когда расстояние уменьшится до 800 000 км, т е. до 4 см на

2

нашем чертеже, сила притяжения возрастет в (5/4) т. е. в 1,6 раза, и изобразится стрелкой в 1,6 единицы.

При дальнейшем приближении планеты к Солнцу до расстояния 700, 600, 500 тысяч км сила притяжения соответственно выразится стрелками в 2, в 2,8 и в 4 единицы длины.

Можно представить себе, что те же стрелки изображают не только притягивающие силы, но и перемещения, которые тело совершает под влиянием этих сил за единицу времени (в этом случае перемещения пропорциональны ускорениям, а стало быть, и силам). В дальнейших наших построениях мы будем пользоваться этим чертежом как готовым масштабом перемещений планеты.

Приступим теперь к построению пути планеты, обращающейся вокруг Солнца. Пусть в некоторый момент планета той же массы, что и сейчас рассмотренная, двигаясь в направлении WK со скоростью в 2 единицы длины, очутилась в точке К, находящейся на расстоянии 800 000 км от Солнца (рис. 84). На этом расстоянии от Солнца его притяжение будет действовать на планету с такой силой, что заставит ее в единицу времени переместиться по направлению к Солнцу на 1,6 единицы длины; за тот же промежуток времени планета продвинется в первоначальном направлении WK на 2 единицы. В результате она переместится по диагонали КР параллелограмма, построенного на перемещениях К1 и К2; эта диагональ равна 3 единицам длины (рис. 84).


Рис. 84. Как Солнце S искривляет путь планеты WKPR

Очутившись в точке Р, планета стремится двигаться дальше по направлению КР со скоростью 3 единиц. Но в то же время под действием притяжения Солнца на расстоянии SP =5,8 она должна в направлении SP пройти путь Р4 = 3.

В результате она пройдет диагональ PR параллелограмма.

Дальше вести построение на том же чертеже мы не станем: масштаб слишком крупен. Понятно, что чем масштаб мельче, тем большую часть пути планеты удастся нам поместить на чертеже и тем меньше будет резкость углов нарушать сходство нашей схемы с истинным путем планеты. На рис. 85 дана та же картина в более мелком масштабе для воображаемого случая встречи Солнца с каким-нибудь небесным телом, по массе подобным вышеупомянутой планете. Здесь ясно видно, как Солнце отклоняет планету-пришельца от ее первоначального пути и заставляет следовать по кривой P—I-II-III-IV-V— VI. Углы построенного пути здесь не так резки, и отдельные положения планеты нетрудно уже соединить плавной кривой линией.

Что же это за кривая? Ответить на этот вопрос поможет нам геометрия. Наложите на чертеж (рис. 85) листок прозрачной бумаги и перенесите на нее шесть произвольно взятых точек планетного пути. Выбранные шесть точек (рис. 86) перенумеруйте в любом порядке и соедините между собой в той же последовательности прямыми отрезками. Вы получите вписанную в путь планеты шестиугольную фигуру частью с перекрещивающимися сторонами. Продолжите теперь прямую 1-2 до пересечения с линией 4-5 в точке I Таким же образом получите точку II на пересечении прямых 2-3 и 5-6, затем точку III - на пересечении 3-4 и 1-6. Если исследуемая нами кривая есть одно из так называемых «конических сечений», т. е. эллипс, парабола или гипербола, то три точки I, II и III должны оказаться на одной прямой линии. Такова геометрическая теорема (не из числа тех, что проходятся в средней школе), носящая название «шестиугольника Паскаля».


Рис. 85. Солнце отклоняет планету Р от ее первоначального прямого пути, заставляя ее описывать кривую линию

Тщательно выполненный чертеж всегда даст указанные точки пересечения на одной прямой.

Это доказывает, что исследуемая кривая есть либо эллипс, либо парабола, либо

гипербола. К рис. 85 первое, очевидно, не подходит (кривая незамкнутая), значит, планета двигалась здесь по параболе или гиперболе. Соотношение первоначальной скорости и силы притяжения таково, что Солнце лишь отклоняет планету от прямолинейного пути, но не в состоянии заставить ее обращаться вокруг себя, «захватить» ее, как говорят астрономы.


Рис. 86. Геометрическое доказательство, что планеты движутся вокруг Солнца по коническим сечениям (подробности в тексте)

Постараемся теперь подобным же образом уяснить второй закон движения планет - так называемый закон площадей. Рассмотрите внимательно рис. 21, (стр. 59). Двенадцать намеченных на ней точек делят ее на 12 участков; они не равны по длине, но нам известно, что они проходятся планетой в одинаковое время. Соединив точки 7, 2, J и т. д. с Солнцем, получите 12 фигур, которые приближенно можно представить треугольниками, если соединить точки хордами. Измерив их основания и высоты, вычислите их площади. Вы убедитесь, что все треугольники имеют одинаковую площадь. Другими словами, вы приходите ко второму закону Кеплера:

Радиусы-векторы планетных орбит описывают в равные промежутки времени равные площади.

Итак, циркуль до известной степени помогает постичь первые два закона планетных движений. Чтобы уяснить себе третий закон, сменим циркуль на перо и проделаем несколько численных упражнений. 

<< | >>
Источник: Яков Исидорович Перельман. Занимательная астрономия. 2012

Еще по теме С циркулем по планетным путям:

  1. ПИСЬМО СЕДЬМОЕ ВЭКОН И ЕГО ШКОЛА В АНГЛИИ
  2. 5. Натурфилософия Возрождения
  3. С циркулем по планетным путям