<<
>>

10.1. Случайные процессы при описании популяций

Рассматриваемые выше модели – детерминистские. Это должно иметь какие-то основания, которые мы и попытаемся сейчас обсудить.

Если речь идет о динамике популяций, то можно выделить по крайней мере два аспекта, по которым детерминистская модель не может служить точным отражением реальной экологической системы: во-первых, она допускает бесконечно большую численность популяции; во-вторых, не учитывает случайных колебаний, происходящих в среде во времени.

В качестве примера детерминистской экологической модели рассмотрим уравнение

,                             (10.1)

где N – число особей в момент времени t,

а – истинная скорость роста.

Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию

N(0)=No,                  (10.2)

является функция

N(t)=N0eat,                            (10.3)

(так называемый закон Мальтуса – закон роста популяции без конкуренции). В основе главного допущения здесь лежит то, что за короткий промежуток времени t каждая особь порождает a?t новых особей.

В соответствующей стохастической модели принимается более правдоподобное допущение, согласно которому за период ?t одна особь с вероятностью ? производит одного потомка и с вероятностью ??t умирает. Обозначим через рi(t) вероятность того, что в момент времени t численность популяции равна i, i = 0, 1, 2, ... Рассмотрим величину pi(t + ?t). В силу малости ?t можно считать, что численность популяции останется прежней, равной i, в результате трех независимых событий – появления потомков в популяции с численностью i–1, отсутствия случаев рождения и смерти в популяции с численностью i и смерти в популяции с численностью i+1. При этом вероятность pi(t + ?t) равна сумме вероятностей этих событий:

pi(t + ?t) = (i-1) ? pi-1 (t) ?t+(1-i(?+?)pi(t) ?t+(i+1) ?i+1(t) ?t , откуда

(i-1) ? pi-1 (t)- i(?+?)pi(t)+ (i+1) ?i+1(t).

Переходя в полученном соотношении к пределу при t > ?, получим систему уравнений Колмогорова

(10.4)

В виде (10.4) уравнения справедливы при i= 2, 3, 4, .... При i = 1 из (10.4) получаем уравнение

(10.5)

а при i = 0 – уравнение

(10.6)

(естественно считать, p-1(t)?0).

Если в начальный момент времени t=0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (10.4)–(10.6) имеют вид:

(10.7)

Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи (10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t

N(t)=(t)                             (10.8)

и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)

.              (10.9)

Для вычисления N(t) заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает

Продолжая этот процесс сложения, получим

т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение

N'(t)=(? - ?)N(t)               (10.10)

с начальным условием (10.7)

       (10.11)

Решение его, очевидно, равно

N(t)=,                (10.12)

в частности, при ? > ? численность популяции экспоненциально возрастет (при ?=?+a определяется уравнением (10.3)), а при ? < ? экспоненциально убывает при t > ?. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация

                            (10.13)

откуда при ? > ? для коэффициента вариации получаем выражение

                            (10.14)

которое при t > ? стремится к величине . Следовательно, при достаточно больших начальных значениях популяции N0 среднее квадратичное отклонение от N(t) является равномерно малым, и детерминистская модель дает адекватное представление о поведении популяции при больших значениях времени.

<< | >>
Источник: Д.А. Кривошеин, Л.А.Муравей, Н.Н. Роева. Экология и безопасность жизнедеятельности: Учеб. пособие для вузов. 2000

Еще по теме 10.1. Случайные процессы при описании популяций:

  1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ. ГОМЕОСТАТИЧЕСКОЕ ИЗМЕНЕНИЕ СТРУКТУРЫ ПОПУЛЯЦИЙ И МИКРОЭВОЛЮЦИЯ
  2. 1. Случайные величины, случайные векторы
  3. Описание произведений из собраний сочинений, сборников, описание главы или раздела книги
  4. НАВИГАЦИОННЫЕ ОПИСАНИЯ И ОПИСАНИЯ ЗЕМЕЛЬ В САГАХ
  5. § 12. Задачи и процесс кодификационных работ при Юстиниане
  6. 9.2. Динамика популяций
  7. Иванчей Иван Иванович. ОСОЗНАВАЕМЫЕ И НЕОСОЗНАВАЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ УСВОЕНИИ ИСКУССТВЕННОЙ ГРАММАТИКИ, 2016
  8. Генетические характеристики популяции
  9. СТАБИЛЬНОСТЬ ПОПУЛЯЦИЙ
  10. Описание книг Описание
  11. 1.2. Популяция как элемент экосистемы