<<
>>

9.3. Простейшая модель эпидемии


За многие годы существования человечества огромное число людей погибло от разных эпидемий. Для того чтобы уметь бороться с эпидемиями, т. е. своевременно проводить тот или иной комплекс мероприятий (прививки, вакцины, карантин и т.д.), необходимо уметь оценить эффективность каждого такого комплекса и выбрать наиболее оптимальный для данного вида эпидемии (холера, чума, грипп, СПИД и т.д.).
Оценка эффективности базируется, как правило, на прогнозе о протекании эпидемии. Отсюда вытекает задача построения модели, которая могла бы служить целям прогноза. Самой простой моделью является описание естественного хода эпидемии без применения каких-либо профилактических мероприятий.
Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент времени t = 0 в эту группу попадает один заболевший человек (источник инфекции). Предположим, что удаления заболевших из группы не происходит и человек становится источником инфекции сразу же, как заразился сам.
Обозначим через x(t) число источников инфекции в момент времени t, а через y(t) – число еще не заболевших (часть из них, естественно, может заболеть с течением времени). Очевидно, что х(t) + y(t) = N +1 в любой момент времени t, причем при  t = 0 выполняется условие х(0) = 1. Рассмотрим интервал времени t, t +? t, где ? t достаточно мало. Естественно, что число больных ?х, появившихся за этот интервал, пропорционально ?t(?x??t). Естественно также предположить, что это число пропорционально числу контактов между больными и здоровыми, т.е. произведению x(t)y(t). Таким образом, ?x??x(t)y(t)dt, где ? – коэффициент пропорциональности. Устремляя  ?t к нулю из последнего соотношения, получим дифференциальное уравнение
=?x(t)(N+1-x(t)),                   (9.14)
которое вместе с начальным условием
х(0)=1                          (9.15)
определяет функцию x(t). Уравнение (9.14) по виду является логистическим, оно рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому сразу можно записать решение x(t) задачи Коши (9.14), (9.15) в удобном виде
,   t 0.                            (9.16)
Итак, число заболевших – функция времени. Проанализируем эту функцию. Из уравнения (9.16) вытекает, что с течением времени число заболевших может только увеличиваться, а все здоровые люди заболеют, так как =N+1. Конечно, это грубая модель, не учитывающая естественного иммунитета у здоровых людей к данному заболеванию.
Интересно выяснить, как меняется скорость увеличения числа больных, т. е. величина
, t 0                            (9.17)
Для решения этого вопроса нужно изучить величину .
Дифференцируя уравнение (9.17), получаем
, t 0.                             (9.18)
Из этого уравнения вытекает, что  при > 0 при  t и < 0 при
t . Следовательно, скорость возрастания заболевших – функция /> – растет до момента t , а затем убывает. Несмотря на грубость модели, этот результат совпадает с экспериментальными данными: в начале эпидемии число заболевших резко возрастает, а впоследствии скорость распространения инфекции снижается.
Для сравнения приведем результаты использования более сложных моделей развития гриппозной эпидемии в Москве [22], где население составляет 8,5 млн человек. Это позволит нам также определить численные значения параметров N и ?, при которых наша модель более реалистична.
Началу эпидемии соответствует число заболевших 79,1 тыс. человек, откуда N = 8,5 млн./79,1 тыс. ?1100 человек. Пик заболеваемости приходится на 46-й день, т. е. 46, откуда . По формуле (9.16) находим число больных . По отношению к 1100 чел. это составляет 11%, что согласуется с экспериментальными данными [22], где число больных равно 981 тыс. человек и составляет 11,5%. Конечно, применение соответствующих профилактических мер дает значительный положительный эффект, пик числа больных снижается с 981тыс. до 122 тыс. человек, однако создание соответствующей математической модели – существенно более трудная задача.
<< | >>
Источник: Д.А. Кривошеин, Л.А.Муравей, Н.Н. Роева. Экология и безопасность жизнедеятельности: Учеб. пособие для вузов. 2000

Еще по теме 9.3. Простейшая модель эпидемии:

  1. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  2. 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
  3. 7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА
  4. 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ
  5. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  6. Во время язвы (эпидемии)
  7. ГЛАВА VII НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК
  8.     ЧТО ТАКОЕ НОРМАЛЬНАЯ ЖИЗНЬ НА УРОКЕ?     Десять лет спустя: не просто простые вопросы, а путь к ответу
  9. В. П. Старжинский ЭПИДЕМИЯ АНТИКУЛЬТУРЫ И ВУЛЬГАРИЗАЦИЯ ДУХОВНЫХ ЦЕННОСТЕЙ
  10. Глава тринадцатая О ПРОСТЫХ МОДУСАХ, И ПРЕЖДЕ ВСЕГО О ПРОСТЫХ МОДУСАХ ПРОСТРАНСТВА