<<
>>

10.8. Нелинейные ограничения

Предположим, что нулевая гипотеза состоит из системы q нелинейных ограничений на вектор коэффициентов 0. Пусть дана линейная модель у = Х0 + и при стандартном условии на распределение вектора ошибок и ~ N(O,f2(0)).
Запишем ограничения в виде

9(0) = 0. (10.61)

Таким образом, мы собираемся тестировать нулевую гипотезу Но: д(0) = 0 против альтернативной гипотезы Ні: д(0) ф 0.

Предположим, что все q компонент вектора д(0) являются непрерывными дважды дифференцируемыми функциями. Обозначим через G(0) q х к матрицу первых производных и предположим, что она имеет полный ранг в некоторой окрестности истинного значения 0. Логарифмическая функция правдоподобия равна

In L((3, 9) = const + \ In 1 (0)|

- \(у - Х(3)'и-\в)(у - Х(3). (10.62)

Как и ранее, обозначим оценку максимального правдоподобия без ограничения через ((3,9), а с ограничением — через ((3,9). После несложных вычислений три критические статистики записываются в виде

W = дфу{аф)(Х'П~1Х)-1Сфуу1дф), (10.63)

LM = ий~1Х(Х'й~1Х)-1Х'й~1и, (10.64)

LR = -2 (in ьф, в) - In ьф, 0)). (10.65)

(Сравните эти выражения с (Ю.52)-(10.54).) Бреуш (Breusch, 1979) показал, что и в нелинейном случае по-прежнему верно, что LR ^ LM, однако второе неравенство W ^ LR, вообще говоря, не выполняется.

В заключение обратим внимание на некоторую проблему, связанную со статистикой Вальда. Дело в том, что всегда существует множество способов записи одного и того же ограничения. Например, в простой модели

у = PiXi + 02X2 + и, и~ N(0,a2I), (10.66)

мы собираемся тестировать условие /Зі = ft. Функцию, задающую это ограничение, можно записать в виде д\((3) = ft — ft или эквивалентным способом (0) = (ft/ft) —1- Конечно, можно записать это же условие и многими другими способами. Функции д\ и <72 совпадают при наличии ограничения, но отличаются в других значениях аргументов. Производные функций д\ и равны

СМ/3) = (1,-1), = (10'67)

Отсюда критические статистики тестов Вальда имеют вид

w- - Ч (i = 1'2)' (1068)

где

d\ = ( 1,-1), 4 = (1»-(А/Д2)). (10.69)

Мы можем заключить отсюда, что статистика теста Вальда — в отличие от LR и LM статистик — неинвариантна по отношению к тривиальным преобразованиям в нулевой гипотезе. Причина, по которой это происходит, состоит в том, что критическая статистика теста Вальда выводится из линейной аппроксимации вектора ограничений в точке (3, а различные способы выражения ограничения приводят к различным линеаризациям. Эти различия асимптотически исчезают, однако могут быть существенны в конечных выборках.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 10.8. Нелинейные ограничения:

  1. Синергетика как новая парадигма: самоорганизация, открытые системы, нелинейность
  2. 2.4. Профессиональная ориентация, система профессионального образования, профессиональная адаптация лиц с ограниченной трудоспособностью
  3. 2.5. Социально-педагогическая помощь лицам с ограниченными возможностями
  4. 2.5.2. Структура современной системы социально-педагогической помощи лицам с ограниченными возможностями в России
  5. 2.5.3. Опыт организации системы социально-педагогической помощи лицам с ограниченными возможностями за рубежом
  6. 2.1. Современное понятие интеграции. Человек с ограниченными возможностями жизнедеятельности в обществе: модели в общественном сознании
  7. Какие сведения могут относиться к коммерческой тайне? Какие ограничения при этом существуют на этот счет?
  8. Статья 5. Информация, доступ к которой не может быть ограничен 1.
  9. ГЛАВА II ЭТОТ ЧЕЛОВЕК, ОГРАНИЧЕННЫЙ НАИМЕНЬШЕЙ СТЕПЕНЬЮ ОЩУЩЕНИЯ, НЕ ИМЕЕТ НИКАКОЙ ИДЕИ НИ О ПРОТЯЖЕНИИ, НИ О ДВИЖЕНИИ
  10. 8.6. ИНЖЕНЕРНЫЙ ПОДХОД. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
  11. ГЛАВА 16 ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ