<<
>>

11.2. Динамические модели

Рассмотрим особенности динамических моделей (содержащих датированные эндогенные переменные в правой части) на простей- шем примере (11-2):

Vt = Pi + foxt + РзУі-l + ?u t = l,...,n.

Запишем это уравнение в обозначениях (11-4):

A{L)yt = Pi + B(L)xt + et, t = l,...,n, (11.10)

где A(L) = 1 - fob и B(L) = ft.

Начнем с простейшего случая: B(L) = Pi = 0 (опустим индекс у ft):

yt = Pyt-i+?t, ?t~iid( 0,<т2), t = l,...,n. (11.11)

Такой процесс называется авторегрессионным процессом первого порядка, AR(1). В главе 6 (п. 6.2) мы рассматривали подобную модель для ошибок регрессии. Как и ранее, мы предполагаем, что |/3| < 1, тогда

I/t = f>set-e, E(yt)=0; V(j/t) = ст2/(1 — (З2). (11.12)

5=0

МНК-оценка параметра /3 равна:

Поскольку j/t-i/Цу2_і и ?t зависимы при всех t < п, то оценка (11.13) является, вообще говоря, смещенной. Однако можно показать, что если |/3| < 1 и существуют необходимые моменты распределения є, то оценка /3 (11.13) является состоятельной и асимптотически нормальной:

у/п{0 — Р) —* N{0,1 - /З2). (11.14)

Итак, предыдущие аргументы показывают, что уравнение с авторегрессионными членами может быть оценено при помощи МНК. Существенными тут являются два условия. 1) Устойчивость. Для уравнения (11.11) это означает |/3| < 1, лучше, если значения параметров будут отстоять на некоторое расстояние от границы критической области. 2) Отсутствует автокорреляция ошибок et.

Авторегрессионная модель при наличии автокорреляции ошибок

Усложним модель (11.11), добавив в нее автокорреляцию ошибок:

Уб = PVt-i + ut» t = l,...,n,

2 (11.15)

щ = рЩ-\ + ?t, ?t ~ Hd{0,a"4).

Теперь мы имеем другую ситуацию: yt-\ и ut коррелированы, так как обе эти случайные величины зависят от ut-\. При выполнении условий устойчивости |/?| < 1, |р| < 1 можно вычислить предел по вероятности МНК-оценки (11.13) параметра (3:

pl\mp=l±JL^(3. (11.16)

1 +РР

Таким образом, МНК-оценка коэффициентов регрессии оказывается несостоятельной в моделях с авторегрессионными членами и автокорреляцией ошибок.

Можно показать, что оценка р, полученная из остатков МНК, также не является состоятельной:

м

Заметим, что именно для модели (11.15) не существует состоятельного метода оценивания. В самом деле, вычитая умноженное на р датированное уравнение из исходного, получаем:

Vt = (Р + p)yt-i ~ Р№-2 + et, t = l,...,n, (11.18)

т.е. параметры /Зир неразличимы ((/3,р) = (0.1,0.2) и (/.3,р) = (0.2,0.1) порождают то же уравнение (11.15)) и уравнение неиден- тифицируемо.

Оценивание. Метод инструментальных переменных

Так же как и в главе 8 (п. 8.1), в случае корреляции регрессоров с ошибкой можно применить метод инструментальных переменных для оценивания моделей с авторегрессионными членами и автокорреляцией ошибок. Рассмотрим, например, модель (11.19)

yt = 01 + foxt + 0зУі-і + Щ, f = l,...,n, ut = рщ-1 + ?t, ?t ~ iid(0,o2). Переменная х является экзогенной, j/t-i коррелирована с xt_], поэтому a:t_i можно взять в качестве инструмента для т/t—і • Оценка, полученная по методу инструментальных переменных, будет состоятельной. Однако вследствие автокорреляции ошибок оценки дисперсий оценок коэффициентов не будут состоятельными.

Оценивание. Метод максимального правдоподобия

Используя обычное преобразование, приведем модель (11.19) к виду

yt = 0i(l-p)+02Xt-02PXt-i+(P3+p)Vt-i-foPVt-2+et. (11.20)

Коэффициенты уравнения (11.20) можно оценить при помощи метода максимального правдоподобия (п. 10.5), который легко применяется здесь, так как ошибки некоррелированы.

Замечание. Нелинейный метод наименьших квадратов состоит в данном случае в минимизации функции

? (yt-Pi(l-p)-lhxt+02pxt-l-(/h+p)yt-i+03pyt-2)2 (11.21)

по параметрам 0i,(h, 03 и р. Отметим, что нелинейный метод наименьших квадратов является аппроксимацией метода максимального правдоподобия и отличается от него только отсутствием оптимизации по начальным значениям у.

Из предыдущего следует, что, перед тем как оценивать модель с авторегрессионными членами, необходимо проверить наличие автокорреляции ошибок.

Тест на автокорреляцию ошибок

Заметим прежде всего, что тест Дарбина-Уотсона (DW) (п.

6.2) в данном случае неприменим, так как не выполнены условия, лежащие в его обосновании. При наличии лагированных эндогенных переменных результаты теста DW смещены в сторону принятия гипотезы отсутствия автокорреляции ошибок.

Тест множителей Лагранжа (Lagrange Multiplier, LM) (п. 10.6) тем не менее применим и в данной ситуации. Можно использовать также h тест Дарбина, который реализован во многих компьютерных пакетах. Этот тест, в отличие от LM теста, предназначен только для проверки на присутствие автокорреляции первого порядка. Например, для уравнения (11.19) критическая статистика имеет вид:

h=( 1 - ^DW^ . І " ^ , (11.22)

V 2 J\Jl-nV№

где DW — значение статистики Дарбина-Уотсона, уЗз — оценка коэффициента при yt-i, полученная применением МНК непосредственно к исходному уравнению (11.19). Если верна нулевая гипотеза Но отсутствия автокорреляции ошибок первого порядка, то статистика h имеет асимптотически стандартное нормальное распределение. Гипотеза Но отвергается на 5%-ном уровне значимости в пользу гипотезы наличия положительной автокорреляции, если h > 1.645.

Тест Дарбина не работает, если пУ(/?з) > 1. Дарбин показал, что следующая процедура асимптотически эквивалентна h- тесту. 1) Вычислим остатки МНК-регрессии уравнения (11.19) et. 2) Оценим вспомогательную регрессию et на et-1, yt-1, ®t- 3) Проверим гипотезу Но с помощью обычного t-теста на значимость коэффициента при et_i во вспомогательной регрессии.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 11.2. Динамические модели:

  1. РАЗДЕЛ 1. Понятие устойчивости равновесия. Паутинообразная модель
  2. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  3. 1.2. ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ
  4. 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
  5. 1.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ
  6. 1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
  7. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  8. 2.5. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В «РЕАЛЬНОМ» ВЫРАЖЕНИИ
  9. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  10. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  11. 7.4. РАННИЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО
  12. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  13. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА