12.1. Модели бинарного и множественного выбора

Линейная модель вероятности

Воспользуемся обычной линейной моделью регрессии:

yt = x't0 + ?t, t = 1 n, (12.1)

где t — номер наблюдения (семьи), /3 = (/Зі,... ,/?*)' — набор неизвестных параметров (коэффициентов), ?t — случайная ошибка. Так как yt принимает значения 0 или 1 и E(et) = 0, то

E(yt) = 1 • P(yt = 1) + 0 • P(yt = 0) = P(yt = 1) = x't(3.

Таким образом, модель (12.1) может быть записана в виде

P(yt = l) = x't/3, (12.2)

поэтому ее называют линейной моделью вероятности (linear probability model).

Отметим некоторые особенности этой модели, наличие которых не позволяет успешно применять метод наименьших квадратов для оценивания коэффициентов /3 и прогнозирования.

Из соотношения (12.1) следует, что ошибка є в каждом наблюдении может принимать только два значения: et = 1 — x't (3 с вероятностью P(yt = 1) и ?t = —x't /3 с вероятностью 1 — P(yt = 1). Это, в частности, не позволяет считать ошибку нормально распределенной или имеющей распределение, близкое к нормальному. Далее, непосредственным вычислением получаем, что дисперсия ошибки V(et) = xj/3(l — x'tfj) зависит от xt, т.е. модель (12.1) гетероскедастична (п. 6.1). Как известно, оценки коэффициентов /3, полученные обычным методом наименьших квадратов, в этом случае не являются эффективными, и желательно пользоваться доступным обобщенным методом наименьших квадратов (п. 5.3).

Самым серьезным недостатком линейной модели вероятности является тот факт, что прогнозные значения yj = x't /3, которые по смыслу модели есть прогнозные_значения вероятности P(yt = 1), могут лежать вне отрезка [0,1) (/3 — оценка коэффициентов /3, полученная с помощью обычного или обобщенного метода наименьших квадратов), что, конечно же, не поддается разумной интерпретации. Это обстоятельство существенно ограничивает область применимости линейной модели вероятности. Ее целесообразно использовать при большом числе наблюдений и при достаточно точной спецификации модели, а также как инструмент первичной обработки данных для сравнения с результатами, получаемыми более тонкими методами.