<<
>>

13.3. Модель с фиксированным эффектом

Модель с фиксированным эффектом (fixed effect model) описывается уравнением (13.3), в котором переменные являются неизвестными параметрами. Предположим, что выполнены следующие условия: 1)

ошибки ?ц пекоррелированы между собой по г и

ЕМ = 0, V(e«) = 2)

ошибки ?ц некоррелировапы с регрессорами xj3 при всех

i,j,t,s.

Если ввести фиктивные переменные для каждой экономической единицы: dij = 1, если і = j, и dij = 0, если г ф j, то уравнение (13.3) может быть переписано в более привычном виде линейной регрессии (13.6)

Уи = aidli + + 1 Бели объединить все фиктивные переменные в одну большую матрицу

\гт 0 ••• О' О гт ••• О

D =

= 1п® гт, гт

О О где вектор гт = [1,..., 1]' имеет размерность Т, а 1п — единичная матрица размера п, и обозначить а = [аь..., ап]', уравнение (13.6) можно по аналогии с уравнением (13.2) переписать в следующей матричной форме: (13.7)

у = Da + Х/З + е. Это соотношение можно рассматривать как стандартную модель регрессии и получать оценки параметров а,/3 с помощью обычного метода наименьших квадратов.

При выполнении сделанных выше предположений 1)-3) относительно модели МНК-оценки будут несмещенными и эффективными. Эти оценки называются МНК-оценками с фиктивными переменными (Least Squares Dummy Variable estimator, LSDV). Следует более подробно остановиться на вопросе о состоятельности этих оценок. В панельных данных рост числа наблюдений может происходить как за счет увеличения количества экономических единиц п, так и за счет увеличения длительности наблюдений Т. В первом случае происходит рост числа оцениваемых параметров (напомним, что необходимо оценить п параметров а и fc параметров (3), и гарантировать состоятельность, по крайней мере для оценок параметров а, нельзя. Во втором случае МНК-оценки состоятельны, но большие временные интервалы при небольшом числе экономических единиц в панельных данных встречаются редко.

При реализации этого метода могут возникнуть трудности.

Во многих панельных данных число экономических единиц п обычно достаточно велико (несколько сотен или тысяч). Поэтому, применяя непосредственно метод наименьших квадратов к уравнению (13.7), при оценивании параметров можно столкнуться с вычислительными проблемами. К счастью, их можно преодолеть, если интересоваться только оценками параметров /3. Перейдем в уравнении (13.3) к средним по времени величинам:

Уі = аі + х?ір + ЇІ, (13.8)

где yt = 7>?Li Уи, ХІ = xiu = t ЕГ=і ?it- Вычитая

почленно (13.8) из (13.3), получаем

Уи -УІ = (XIT - ХІ)'(3 + ?IT - (13.9)

По существу, это — уравнение (13.3), записанное в отклонениях от индивидуальных средних по времени. В матричной форме соотношение (13.9) может быть записано так:

MDy = MDXp + MDe, (13.10)

где М?> = ІПТ — D(D'D)~1D' — матрица, осуществляющая вычисление отклонений от индивидуальных средних. Это преобразование называется внутригрупповым преобразованием (within transformation). Применяя обычный метод наименьших квадратов к уравнению (13.9) (или к уравнению (13.10)), мы получим оценки

3 = (X'MDX)~l X'MDy, (13.11)

совпадающие с МНК-оценками параметров 0 в исходном ураів- нении (13.7), т.е. с МНК-оценками с фиктивными переменными (см. упражнение 4.3). Эти оценки также называются внутригруп- повыми оценками (within estimator) или оценками с фиксированным эффектом (fixed effect estimator): /З = /3W = /3pg. Их можно представить также в следующем виде:

_ , п Т 4-І п Т

Зре = (52 ]C(xУсловия 1)-2), наложенные на модель, гарантируют несмещенность и состоятельность оценок с фиксированным эффектом.

В качестве оценок индивидуальных эффектов можно взять а, = |7* — ЩРре, і = 1,... ,п. Эти оценки, как легко проверить, являются несмещенными и состоятельными для фиксированного п при t -+ оо.

Из формулы (13.11) легко вытекает выражение для матрицы ковариаций оценки

V(3PE) = O]{X'MDX)-X

= (Z ]ЬХ« " ®<)(®

Как и в обычной линейной модели, в качестве оценки дисперсии «г2 можно взять сумму квадратов остатков регрессии (13.9) (или (13.10)), деленную на число степеней свободы:

1 n Т

Э* = пТ-п-к ? "'Vi " {Xii ~ (13-13)

«=і t=i

При достаточно слабых условиях регулярности оценки с фиксированным эффектом являются асимптотически нормальными (при п -* оо или при Т —» оо), поэтому можно пользоваться стандартными процедурами (<-тесты, F-тесты) для проверки гипотез относительно параметров /3.

Сделаем одно важное замечайте. В панельных данных среди независимых переменных хц могут быть такие, которые не меняются во времени для каждой экономической единицы.

Например, при анализе заработной платы в число объясняющих факторов, как правило, включают пол и/или расовую принадлежность индивидуума. Модель с фиксированным эффектом не позволяет идентифицировать соответствующие таким переменным коэффициенты. Формально это объясняется тем, что в уравнении (13.9) один или несколько регрессоров равны нулю (или, что эквивалентно, матрица [D X) в уравнении (13.7) имеет неполный ранг), и, следовательно, применять метод наименьших квадратов нельзя.

Бели говорить менее формально, то инвариантный во времени фактор является, по существу, частью полного индивидуального эффекта, и выделить влияние только этого фактора нельзя.

Рассмотрим пример оценивания производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Данное собраны и обработаны сотрудницей Центра экономических и финансовых разработок (ЦЭФИР) Е.А.Бессоновой.

Пример. Оценка производственной функции российских предприятий топливно-энергетической отрасли. Данные содержат информацию о выпуске, трудозатратах, капитальных вложениях и о некоторых других факторах для 48466 предприятий за период 1993-2000 гг. Из них 1020 относятся к топливно- энергетической отрасли. Попробуем ответить на вопрос, можно ли моделировать работу этих предприятий с помощью производственной функции Кобба-Дугласа Q = AKaLР, где Q — выпуск, К — капиталовложения, L — трудозатраты, А — константа. Для этого попытаемся оценить эластичности а,/3 с помощью простой (объединенной) регрессии и на основе модели с фиксированным эффектом.

Приводимые далее результаты получены с помощью пакета STATA. Поэтому форма их представления во многом копирует тот формат, в котором они выдаются этим пакетом.

1. Простая (объединенная) регрессия. Для оценки эластич- ностей а,(3 можно осуществить простую регрессию In Qu иа In КЦ , In La и константу:

Dependent Variable: InQ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Probability In К 0.32957 0.01636 20.148 0.000 In L 0.92838 0 02465 37.657 0.000 const -2.48807 0.02465 -31.084 0.000 R-squared 0.5805 Результаты этой регрессии позволяют считать предположение о том, что производственная функция имеет вид функции Кобба- Дугласа, вполне правдоподобным: оценки получились значимыми, и каждая из эластичностей меньше 1.

Однако вполне возможно,

что если будут учтены индивидуальные эффекты, то оценки могут существенно измениться.

2. Регрессия с фиксированным эффектом. Dependent Variable: InQ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Probability In К 0.11421 0.02391 4.777 0.000 InL 0.60393 0.03181 18.986 0.000 const 0.75995 0.19401 3.917 0.000 Ои 2.17317 Ос 0.763405 Р 0.890154 (fraction of variance due to aj F-test that all сц = 0: F(2402,6013) = 17.62 Prob > F = 0.0000 Мы видим, что результаты последней регрессии отличаются от первой: оценки эластичностей как по труду, так и по капиталу уменьшились. Забегая немного вперед, следует отметить, что F-тест в данном случае отвергает нулевую гипотезу об отсутствии индивидуальных эффектов (последняя строка таблицы). Иными словами, модель с фиксированным эффектом выглядит более приемлемой по сравнению с моделью объединенной регрессии.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 13.3. Модель с фиксированным эффектом:

  1. РАЗДЕЛ 2. Модель Вальраса
  2. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  3. 7.1. ВВЕДЕНИЕ
  4. Модели множественного выбора
  5. 13.2. Обозначения и основные модели
  6. 13.3. Модель с фиксированным эффектом
  7. 13.4. Модель со случайным эффектом
  8. 13.5. Качество подгонки
  9. 13.6. Выбор модели
  10. 13.7. Динамические модели
  11. 13.8. Модели бинарного выбора с панельными данными
  12. Упражнения 13.1.
  13. Предметный указатель
  14. 6.7. Размернозависимая люминесценция (3-дикетонатов дифторида бора. Нелинейные оптические свойства дибензоилметаната дифторида бора
  15. Влияние на экономический рост
  16. Таджикистан
  17. Эмпирическая оценка. Заключение
  18. Библиографический список
  19. 14.5.1. Классификация планов для  дискретных независимых переменных
  20. 2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальнойработы по определению сформированности компонентов учебно-познавательной деятельности учащихся профессиональных образовательных организаций