<<
>>

14.11. Прогнозирование и предварительное тестирование

До сих пор мы рассматривали проблемы, связанные с оценками, получающимися в результате процедуры предварительного тестирования. Конечно, все рассмотренные выше проблемы возникают и при прогнозировании.
Рассмотрим, например, стандартную линейную модель множественной регрессии:

у = Х(3 + 7 z + e.

Мы не уверены, следует ли включать z в уравнение. Обычная процедура такова: вычисляем f-статистику коэффициента 7, и в зависимости от того, «большое» или «малое» полученное значение |t|, мы решаем использовать модель без ограничения или модель с ограничением. Затем мы вычисляем прогнозное значение величины Уп+1) используя выбранную модель. Этот прогноз является, конечно, preiest-прогнозом, однако его свойства сообщаются обычно (как и в рассмотренном выше оценивании параметров модели) без учета того, что оцениванию предшествовала процедура предварительного выбора модели. Конечно, это неправильно. Следовало бы сообщать истинные значения смещения и дисперсии прогноза, принимая во внимание то, что прогнозирование и выбор модели интегрированы в одну процедуру.

Предположим, что данные порождены моделью (14.1), возможно, в ней несколько компонент вектора 7 равны 0. При ограничении Si7 = 0 прогноз, основанный на МНК-оценках, имеет вид

УЙ-1 = *п+іЗ«) + «,„+і7(о

= *UiФг ~ QMS) + z'^iz'Mzr^Wid

= «СіЗ, - C+iWid = x'n+lpr - aC'n+lWiTi,

где

С„+1 = - (Z'MZ)~l/2zn+\,

a xu+i и zn+i обозначают набор значений основных и вспомогательных регрессоров, дли которого мы ищем прогнозное значение. Поскольку модель, которая выбирается, заранее не фиксирована и зависит от выбора процедуры предварительного тестирования, то прогноз может быть основан на одной из 2т возможных моделей (или являться линейной комбинацией таких прогнозов). Соответственно, WALS-прогноз имеет вид

У»+1 = ? Аяй, = <+Л - <+1 (14.8)

І

Заметим, что вектор Поскольку yn+i = x'n+l/3+z'n+17+en+i, ошибка прогноза (FE) равна

FE = yn+i - yn+i

= х'п+хфг -0)- " az'n+l(Z'MZ)-^r, - еп+1

= ®Ul(3r -0- °Qv) - Можно доказать следующие свойства ошибки прогноза.

Теорема 14.4 (теорема эквивалентности для прогноза).

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение WALS-прогноза равны

E(FE) =-V(FE) = a2(x'n+i(X'X)-lxn+1 + C+1 V(Wi?)C„+, + 1).

MSE(FE) = Подчеркнем два важных вывода из теоремы 14.4. Во-первых, она дает точные выражения для двух первых моментов ошибки прогноза, откуда видно, что эти моменты зависят только от г) и сг2 и не зависят от /3. Во-вторых, теорема помогает найти оптимальный прогноз. Если мы найдем А*, такие что Wrj является оптимальной оценкой г) (в смысле наименьшей матрицы среднеквадратичных отклонений), то те же Aj дадут оптимальный прогноз величины Уп+і - Это те же самые Aj, которые дают оптимальную WALS-оценку вектора /3.

Теорема 14.4 приводит истинные значения моментов ошибки прогноза, учитывая, что была произведена процедура предварительного тестирования. Однако в прикладных работах предварительное тестирование не принимается во внимание. В работах считается, что прогноз несмещенный, и приводится матрица среднеквадратичных отклонений (ковариационная матрица), рассчитанная по формуле (см. (7.8))

MSE(FE) = a2(x'n+l(X'X)-lxn+l + cUi'ИЧп+і + 1),

соответственно, приводится следующий 95%-ный доверительный интервал для yn+i

Уп+і ± 1.96где вместо а используется некоторая состоятельная оценка а. Если же правильно учитывать эффект процедуры выбора модели, то мы получаем то же самое значение прогноза yn+i, но совсем другие моменты. Определим две функции Фі(г)) И 4>2(r)) следующим образом:

Фііл) = Cn+iE(W»7 — rj),

Ыч) = + Си v(n^)Cn+i-

Каждая из функций зависит также и от а, поскольку W зависит от а. Тогда по теореме 14.4 получаем

E(FE) = -<тфі(т)), V(FE) = <т2{Фг{гі) + 1)-

Отсюда 95%-ный доверительный интервал для уп+\ приблизительно равен

Уп+1 + * (ф^гц) ± 1.96у^Ы + l) . (14.10)

Интервал приближенный, поскольку распределение FE не является нормальным (однако оно является асимптотически нормальным, что и позволяет сделать это приближение).

Кроме того, в отличие от (14.9) доверительный интервал зависит от неизвестных параметров rf и а. Оценить интервал можно, заменив неизвестные rf и а их оценками rj и д.

Когда число наблюдений п становится большим, а сходится к о, однако rj не сходится к т), поскольку V(r/) = Jm. ТЪким образом, оценка rj несмещенная, но не состоятельная. Для того, чтобы застраховаться от «больших» отклонений rj от 77, можно рассмотреть более широкий интервал

Уп+1 + где

Сх(»7)= min (Vi(tj) - 1.96^(17) + l) , c2{fj) = max (фі(т)) + lMy/ih(v) + l) ?

Множество Ті является m-мерным кубом, заданным условиями Щт}) = {Г) : \f}i - Г)і\ < От, І = 1,. . . ,т}, где От определяются так, чтобы для стандартной нормальной величины и выполнялось условие Р(|«| < От)™ = 0.95.

В работе (Danilov and Magnus, 2003) эта теория применяется на практике к предсказанию доходностей акций. Авторы показывают, что в этом прикладном примере можно достаточно точно учесть эффект предварительного тестирования, и то, что этот эффект существенен. Игнорирование эффекта предварительного тестирования приводит к прогнозам, которые менее робастны, чем предполагается. Это и является причиной того, что в прикладной эконометрике прогнозы чаще, чем полагается, выходят за границы обычных доверительных интервалов.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 14.11. Прогнозирование и предварительное тестирование:

  1. 2. Территориальное проявление действия и использования экономических законов — основа регионального народнохозяйственного прогнозирования
  2. Предисловие к шестому изданию
  3. Включение несущественных переменных
  4. Глава 14 Предварительное тестирование: введение9
  5. 14.1. Введение
  6. 14.5. WALS-оценка
  7. 14.7. Предварительное тестирование и эффект «занижения»
  8. 14.8. Эффект «занижения». Один вспомогательный параметр
  9. 14.9. Выбор модели: от общего к частному и от частного к общему
  10. 14.10. Эффект «занижения». Два вспомогательных параметра
  11. 14.11. Прогнозирование и предварительное тестирование
  12. 14.13. Другие вопросы
  13. Предметный указатель
  14. ПРОБЛЕМА СОБЛЮДЕНИЯ ЭТИКИ
  15. Этапы исследовательской программы
  16. Сравнение условий Внутрисубъектные/межсубъектные планы
  17. Резюме