<<
>>

14.7. Предварительное тестирование и эффект «занижения»

Задача нахождения Лі, таких что Wrj будет оптимальной оценкой rj, является интересной и важной, но мы не рассматриваем ее в данной главе. (Анализ этой задачи для случая т = 1 можно найти в (Magnus, 2002).) Вместо решения этой задачи мы сосредоточимся в данной главе на обычно исиользуемой рге<ев/-оценке.

В рамках стандартпой линейной модели у = Х/3 + Z~i + є, с нормальными ошибками є ~ N(0,a2In) мы определяем процедуру предварительного тестирования как двухшаговую процедуру.

На первом шаге происходит выбор модели. В общем случае есть 2т моделей, которые рассматриваются в процедуре предварительного тестирования. На втором шаге мы оцениваем неизвестные парамегры /3 и а2 по выбранной модели. Такая процедура порождает pretest-оценку /3 (и s2). Для определенной таким способом процедуры предварительного тестирования все весовые коэффициенты Лі равны 0, кроме одного, равного 1. Как и в теореме 14.2, мы накладываем условие, что отбор модели зависит от у только через My, кроме того, в дальнейшем мы будем предполагать, что параметр а2 известен. ^

Матрица среднеквадратичных отклонений оценки /3 согласно теореме 14.2 равна

MSE(3) = о2((Х'Х)-1 + QMSE(Wr})Q').

В обычной прикладной эконометрической практике выбирается та же оценка /3, однако эффект предварительного тестирования игнорируется, оценка считается несмещенной и матрица среднеквадратичных отклонений оценки берется равной матрице ковариаций оценки /3, рассчитанной в предположении верности выбранной модели (см. теорему 14.1)11

MSE(3) = а2((Х'ХГ1 + QWQf),

здесь^W = Wi если выбрана г-я модель. Заметим, что матрица MSE(/3) случайная, поскольку матрица W случайная. Предположим, что целью («фокусом») нашего исследования является (скалярная) величина и>'(3, где ш — произвольный ненулевой fc х 1 вектор. Для того, чтобы сравнить среднеквадратичное отклонение оценки и>'/3

MSE(u>'3) = а\ш\Х'Х)~1ш + и>'Q MSE( W^Q'u) (14.3)

с соответствующим значением, полученным при игнорировании произведенной процедуры предварительного тестирования

MSEV0) = а^ш'іХ'Х)-1 ш + u'QWQ'u), (14.4)

определим коэффициент занижения «истинного» MSE по отношению к «сообщаемому» MSE (undeireporting ratio)* UR, как 1 минус отношение (14.4) и (14.3).

А именно:

ur=1_MSE(^)= «ЧЯ-Wh (мл) MSE(w'/3) g'Rq + ii/q^)

где

R = R(r,) = USE(Wrjl q= , q* = •

\Juj'QQ uj v'(X X)

Заметим, что g'g = 1. Величина UR является случайной, так кале она зависит от матрицы W, которая зависит от 77. Кале UR, так и ее математическое ожидание не наблюдаемы, поскольку они зависят от г] через R{rj).

Можно было бы ожидать, что матрица MSE(/3) не меньше матрицы E(MSE(/3)) (т.е. их разность есть неотрицательно определенная матрица), поскольку процедура предварительного тести-

5Саму ситуацию, когда сообщаемое значение среднеквадратичного отклонения оценки не учитывает дополнительную неопределенность, связанную с піюцедурой предварительного отбора модели, и поэтому занижено, будем далее называть «эффект занижения» (underreporting).

рования вносит дополнительную неопределенность, которая игнорируется в сообщаемом значении MSE. Поскольку

MSE(Wri) = J2 ЕЛ<(Wfi - ri){Wfi - n)' І=і

и

2»n

E(W) = ?(EA М, і=І

то это условие выполняется, если матрица 2m

J2 EAi ((W* - - Г)У - Wi) (14.6)

t=i

неотрицательно определена. На самом деле, можно сконструировать процедуру предварительного тестирования (упражнение 14.4), для которой матрица (14.6) не является неотрицательно определенной. Однако такой пример выглядит достаточно нелепо. Назовем процедуру предварительного тестирования естественной, если матрица (14.6) неотрицательно определена при всех значениях параметров. Для любой естественной процедуры предварительного тестирования величина E(UR) принимает значения между 0 и 1. В том случае, когда величина $ (известная исследователю) стремится к 0, то нет «занижения»: E(UR) —> 0. Однако если значение велико, то ожидаемое значение коэффициента занижения E(UR) может быть близко к 1.

Матрица E(W) (размера m х т) есть взвешенное среднее идемпотентных матриц, и, следовательно, ограничена: все ее элементы по абсолютной величине не превосходят 1, а все диагональные элементы и собственные числа лежат в интервале [0,1]. На самом деле выполняется следующее неравенство:

0 < тг„ < < 1 - тгг < 1 (j = l,...

,тп),

где ij{A) есть 3-е собственное ЧИСЛО МатрИЦЫ .А, 7Г„ — вероятность выбора модели без ограничений (Р{ = 0), а яу — вероятность выбора моделй с ограничением (Р< = 1т).

Математическое ожидание E(UR) является функцией величин q (с нормировкой q'q = 1), т], Z'MZ (и m). Максимизация по q приводит к неравенству

E(UR) ^ ql шах $ ((Im + 9оЩ~1/ЧR " Е W)(Im + q^R)~l/2) .

Вводя следующее обозначение:

E*(UR) = maxE(UR),

Я,Чо

получаем, что при q% —» оо,

E*(UR) = 1 - min Sj(R-l/2(EW)R-l/2)

< 1 '^TTTTv (14-7)

max,?j(R)

Полученное выражение зависит от ті и Z'MZ (и m). Из (14.7) видно, что ожидаемое значение UR может быть сколь угодно близко к 1, если матрица среднеквадратичных отклонений R не ограничена по і/. Это не может произойти при m = 1 (кроме случая, когда мы всегда выбираем модель с ограничением, не обращая внимания на полученные значения t-статистик), но возможно при m ^ 2.

Поскольку E(UR) зависит от Z'MZ, рассмотрим кратко роль этой матрицы. Без ущерба общности можно нормировать все переменные Zj так, что z'jMzj = 1 для всех j = 1,... ,m. Рассмотрим частный случай, когда мы выбираем «ортогональные» переменные Zj (в том смысле, что Mzi и Mzj ортогональны для всех і Ф j). Тогда Z'MZ = Im, что приводит к существенным упрощениям.

Теорема 14.3. Пусть \(х) = 1 если |х| > с, иначе А(х) = О, для некоторого с > 0. Для частного случая, когда Z'MZ = Im и параметр о2 известен, имеем:

(а) Все модели, включающие регрессор Zj, имеют одинаковое значение t-статистики для ?уj.

(б) Предполооїсим, что мы включаем Zj тогда и только тогда, когда t-статистики rjj значима, то есть > с, для некоторого с > 0. Тогда матрица W — диагональная, с элементами

Wjj = A(rfj), a MSE( Wr/) = V + dd', где V — диагональная тхт матрица, a d — т х 1 вектор с элементами соответственно

Vjj = V(A(fjj)rjj), dj = E(\(fjj)fjj - r)j).

Доказательство. Из теоремы 14.1 получаем Pi = Si(S'iSi)~lSi. Поскольку матрица отбора 5J имеет вид [Jrj 0] (или получается из последней перестановкой столбцов), то = ІГі, и, следовательно, матрица Pi диагональная, с г, единицами и т — Ті нулями на диагонали.

Поэтому матрица Wi также диагональная, с пі—г і единицами и г, нулями на диагонали. Из теоремы 14.1 также следует что 7^) = W^в есть оценка вектора параметров 7 при ограничении 7 = 0. Поэтому оценкой параметра 7, при данном ограничении является j-я компонента вектора 7^, которая равна либо 0 (если переменная Zj исключена из модели), либо dj (если переменная Zj включена в модель). Таким образом, все модели, которые включают регрессор Zj, дают ту же оценку 7j, независимо от того, какие еще 7 оцениваются. Однако 4-статистика для параметра 7j есть щ = 9j/cг, откуда следует (а). Матрица W — диагональная, поскольку все Wj диагональные. Ее j-й диагональный элемент Wjj равен либо 0 (если переменная Zj исключена из модели), либо 1 (если переменная Zj включена в модель). Иначе говоря, Wjj = A(fjj). Отсюда также следует независимость компонент вектора Wrj, откуда вытекает (б). Теорема доказана.

Поскольку процедура отбора модели может оказать существенное влияние на оценки интересующих нас параметров, то желательно (если это возможно) выбрать вспомогательные регрессоры так, что Z'MZ = Jm. В большинстве случаев такой выбор позволяет не только сделать pretest-оценку независимой от процедуры отбора модели, но также получить точные аналитические выражения для моментов оценок и гарантировать ограниченность среднеквадратичного отклонения оценок при всех т. (В общем неортогональном случае среднеквадратичные отклонения оценок ограничены при т = 1 и не обязательно ограничены при 771 ^ 2.)

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 14.7. Предварительное тестирование и эффект «занижения»:

  1. Глава 14 Предварительное тестирование: введение9
  2. 14.1. Введение
  3. 14.7. Предварительное тестирование и эффект «занижения»
  4. 14.8. Эффект «занижения». Один вспомогательный параметр
  5. 14.9. Выбор модели: от общего к частному и от частного к общему
  6. 14.10. Эффект «занижения». Два вспомогательных параметра
  7. 14.11. Прогнозирование и предварительное тестирование
  8. 14.12. Обобщения
  9. 14.13. Другие вопросы
  10. Предметный указатель
  11. Сравнение условий Внутрисубъектные/межсубъектные планы
  12. Резюме
  13. Резюме
  14. Примерная структура коррекционной программы
  15. НАДЕЖНОСТЬ
  16. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
  17. ПОДГОТОВКА ИНСТРУМЕНТАРИЯ
  18. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ
  19. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
  20. Подготовка учащихся, ее влияние на изменение результатов тестирования