<<
>>

7.1. Безусловное прогнозирование

Термин безусловное прогнозирование означает, что вектор независимых переменных ®n+i известен точно.

Предположим, что мы знаем значения параметров /3 и сг2. Тогда естественно в качестве оценки уп+\ = у величины уп+1 взять E(yn+i) = х'п+1(3.

Среднеквадратичная ошибка такого прогноза есть E(yn+i — у)2 = Е(е2+1) = сг2. Если дополнительно предположить, что en+i имеет нормальное распределение, то {y — Предположим теперь, что параметры /3 и сг2 неизвестны, что, как правило, и бывает на практике. Обозначим /3 и s2 их МНК- оценки на основании модели (7.1): /3 = (X'X)~lХ'у, s2 = е'е/{п — к). Возьмем в качестве оценки уп+\ величину

Нетрудно проверить, что поскольку Е/3 = /3, то Еу = Ey„+i, т. е. оценка у является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой.

Теорема. Пусть у = dy — оценка величины уп+ь где с = (сі,..., Сп)' — некоторый вектор, и пусть оценка у несмещенная,

Еу = Ey„+i = х'п+ф. (7.4)

Тогда

E(y-y„+i)2^E(y-yn+1)2. Доказательство. Так как в силу (7.4) Еу = dXj3 = х'п+1(3 при любом f3, то

dX=x'n+1. (7.5)

Далее,

Е(у - уп+і)2 = Е(у - у + у - y„+i)2 = Е(у - у)2

+ Е(у - уп+1)2 + 2Е((у - у)(у - y„+i)). (7.6)

Покажем, что

Е((у — у)(у — Уп+і)) = 0- (7-7)

Имеем

Е((у - у)(У ' Уп+г)) = E(dyx'n+l0) - E(x'n+l0x'n+lp)

— E(c'y(x'n+1/3 + en+i))

+ E (®n+l3(®n+l/^ + ?n+l )) •

Первое слагаемое:

E(dyx'n+if3) = E{dyj3xn+1)

= E {dyy'X(X'X)-lxn+l) = dE(yy')X(X'X)~lxn+\ = d(o2I + X/30X')X{X'X)-lxn+1 = o2c'X{X'X)-'lxn+1

+ dX/3/3'X'X(X'X)-1xn+1 (в силу (7.5)) = o2x'n+ x(Х'Х)-1 »n+1 + x'n+l(3(3'xn+i. Второе слагаемое:

E(®Ui3®n+i3) = х'п+1Е(33')х„+1

= х'п+1{а2(Х'Х)~1+/3/3')хп+, = а2х'п+1(Х'Х)~1хп+1 + х'п+ф0 хп+\-

Третье слагаемое:

E{c'y(x'n+l/3 + еп+1)) = JE(y)0xn+i

= c'Xp(3'xn+i (в силу (7.5)) = х'п+1/3(?»п+1.

Четвертое слагаемое:

E(®n+l3(®n+l/3 + Єп+l)) = х'п+фр'хп+х. (Мы постоянно пользуемся тем, что для векторов хну одинаковой размерности х'у = у'х.)

Таким образом, выполнено (7.7), и теорема доказана.

Нетрудно проверить, что среднеквадратичная ошибка прогноза есть

Щу~ J/n+i)2 = *2(1 + x^^X'XJ-^n+x). (7.8) Заменим а2 на ее оценку s2 и обозначим

8 = y/s2(l + x'n+1(X'X)->xn+l).

Используя те же аргументы, что и в п. 3.5, получаем, что если ошибки (e,en+i) имеют совместное нормальное распределение, то случайная величина {y—yn+i)/$ имеет распределение Стьюдента с п—к степенями свободы. Поэтому доверительным интервалом для Уп+1 с уровнем доверия 1-а будет интервал (у — <5*а/2> У + ^а/2), где ta/2 есть 100(а/2)%-ная точка распределения Стьюдента с п — к степенями свободы.

Можно показать, что в случае парной регрессии, т.е. когда система (7.1) имеет вид

yt = P i+foxt + ?t, t=l,...,n,

формула (7.8) выглядит так:

где х = і Из (7.9) следует, что среднеквадратичная ошибка прогноза минимальна при xn+i =х, и чем дальше хп+і от х, тем шире соответствующий доверительный интервал (см. рис. 7.1).

7.2. Условное прогнозирование

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что независимая переменная xn+i известна точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в xn+i содержатся ошибки. Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим теперь заг дачу условного прогнозирования. Пусть выполнены соотношения (7.1) и (7.2), но вектор xn+i наблюдается с ошибкой

« = ®n+i + и, (7.10)

где и — кх 1 случайный вектор, не зависящий от (е, en+i)» Eit = О, V(it) = о2 J. Прогноз (7.3) заменяется теперь на

y = z% (7.11)

Пусть е = у — уп+і — ошибка прогнозирования. Тогда Ее = Е(z'3) - x'n+1/3 = E((xn+i + и)'Р) - х'п+ф = Е(х^+13) + Е(и% - х'п+10 = 0,

так как и и /3 независимы и Би = 0. Иными словами, оценка (7.11) является несмещенной. Можно проверить (мы оставляем это читателю в виде упражнения), что

Ее2 = a2(l+x;+1(X,X)-1xn+1+tT2tr((X,X)-1))+a2/3,/3. (7.12)

Таким образом, при наличии ошибок в независимой переменной к ошибке прогнозирования (7.8) добавляются два новых положительных слагаемых, пропорциональных дисперсии а\.

В случае условного прогнозирования нельзя так же просто, как при безусловном прогнозировании, построить доверительный интервал для уп+ь Это связано с тем, что при нормально распределенных ошибках (e,en+i,tt) оценка у есть скалярное произведение двух независимых нормальных векторов. Поэтому доверительный интервал нельзя найти аналитически, однако существуют численные процедуры, позволяющие строить его приближенно.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 7.1. Безусловное прогнозирование:

  1. § 3. Планирование, прогнозирование и анализ себестоимости сооружения водозаборных скважин
  2. Глава первая ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ЕГО РЕГИОНАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ
  3. 1. О системе экономических законов социализма как теоретической предпосылке комплексного экономического прогнозирования
  4. 2. Территориальное проявление действия и использования экономических законов — основа регионального народнохозяйственного прогнозирования
  5. ОБЩЕМЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ РЕГИОНАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
  6. 1. Регион как объект прогнозирования. Региональная экономика и специфика ее прогнозирования
  7. 3. Об основных методах регионального экономического прогнозирования. Выбор методов прогнозирования
  8. 1. Система экономико-математических моделей, используемых в прогнозировании синтетических показателей экономического и социального развития Грузинской ССР
  9. 3. Опыт пассивного и активного прогнозирования и анализ прогнозных параметров социально-экономического развития Грузинской ССР
  10. Глава 7 Прогнозирование в регрессионных моделях
  11. 7.1. Безусловное прогнозирование
  12. 7.3. Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок
  13. 14.11. Прогнозирование и предварительное тестирование
  14. Предметный указатель