<<
>>

4. Многомерное нормальное распределение

Случайный вектор х = (Лі,...,Хп)' называется невырожденным нормальным (гауссовским) случайным вектором, если плотность его распределения задается равенством

Р{Х) = (2тг)"Дд|1/2 exp(-|(«-m)'E-1(«-m)), о: € Я»,

(МС.10)

где meff1- (произвольный) вектор, Е — симметричная, положительно определенная матрица (т.е.

S= S' и Е > 0). В случае п = 1 получаем нормальную случайную величину, введенную в п. 3. Вектор m и матрица Е являются параметрами распределения, и обычно используется обозначение X ~ N(m, Е). Нормальный вектор є, у которого m = 0, а Е = I (единичная матрица), называется стандартным нормальным вектором. Если матрица Е вырождена (но неотрицательно определена), то можно определить вырожденное нормальное распределение. Пусть rank(E) — kN1) Если х ~ N{m, Е), то E(x) = m, V(x) = Е.

N2) Любой подвектор нормального вектора также является нормальным вектором.

N3) Пусть хну - два независимых нормальных вектора. Тогда

х

объединенный вектор z = также является нормальным.

— нормальный вектор и его компоненты х и

N4) Если г =

х

У.

у некоррелированы, то они независимы.

N5) Пусть В: J?n —> Rk — линейное преобразование пространства Rn в Rk, В — его матрица и I — произвольный вектор в Rk. Тогда если х ~ N(m, Е), то случайный вектор у = Вх+1 является нормальным с параметрами Вт+1 и ВИВ'. (Преобразование пространства Д™ в Rk вида у = Вх + 1, являющееся композицией линейного преобразования В и параллельного переноса на вектор I, называется аффинным преобразованием.)

В частности,

а) линейная комбинация компонент гауссовского вектора есть гауссовская случайная величина;

б) ортогональное линейное преобразование стандартного нормального вектора есть стандартный нормальный вектор.

Пусть х ~ N(m, Е). Поскольку матрица Е симметрична и неотрицательно определена, то, как известно (приложение J1A, п. 15), все ее собственные значения А», і = 1,..., п, неотрицательны и существует ортогональная матрица Р, такая что Л = Р'ЕР, где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят числа Ait і = 1,..., п. Тогда вектор s = Р'х — Р'т в силу N5) является гауссовским, а из (МС.7) следует, что Es = 0 и V(s) = Л. Это означает, что компоненты вектора s некоррелированы, а в силу N4) и независимы. Таким образом,

х = Ps + т,

где матрица Р ортогональна, а вектор s имеет нулевое среднее и независимые компоненты. Обозначим через

ДІ/2

диагональную

матрицу, полученную из Л извлечением квадратных корней из ее элементов, и пусть є — стандартный нормальный вектор. Тогда, вновь используя (МС.7), получаем, что вектор у = РЛ1^2є + m имеет среднее m и матрицу ковариаций Е, т.

е. совпадает по распределению с вектором х. Итак,

N6) Любой гауссовский вектор может быть получен аффинным преобразованием из стандартного гауссовского вектора и ортогональным аффинным преобразованием из вектора с независимыми компонентами.

Из (МС.9) и N4) вытекает следующее свойство:

N7) Пусть є — стандартный n-мерный нормальный вектор и х = Ає + а, у = Be + Ь, где А: ВТ RP, В. Rn -» R? - некоторые линейные преобразования и а Є Rp, Ь € Rq — произвольные (неслучайные) векторы. Тогда Cov(x,y) = АВ', в частности, векторы х и у независимы тогда и только тогда, когда АВ' = 0.

Пусть М — идемпотентная п х п матрица, rank(M) = г (см. приложение ЛА, п. 16), а є — стандартный n-мерный гауссовский вектор. Как известно (см. приложение ЛА, п. 13, п. 16), матрицу М можно представить в виде М = О'АО, где О — ортогональная матрица, а Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены единицы и нули, причем число единиц равно рангу М. Рассмотрим случайную величину х2 = є'Me. Имеем

X2 = є'Me = е'О'АОе = (Ое)'ЛОе = s'As,

где в силу N5) вектор s является стандартным гауссовским вектором. Отсюда следует, что х2 представляет сумму квадратов независимых стандартных нормальных случайных величии в количестве, равном рангу матрицы М. Таким образом,

N8) Случайная величина х2 — є1 Me имеет распределение х2(г)> где г = rank(M).

Аналогичным образом устанавливается следующий результат.

N9) Пусть х ~ N(m, ?) и пхп матрица Е невырождена. Тогда случайная величина (х — ш)'Е-1(х — тп) имеет распределение х2{п).

Выделим два важных частных случая применения свойств N7) и N8). Рассмотрим n х п матрицу

ЛГ-І

П

... 1" ... 1

Нетрудно проверить, что N идемпотентная матрица: N2 = N, и rank(N) = 1. Легко также видеть, что для любого и х 1 вектора х = (Xj,..., Хп)' вектор Nx имеет одинаковые компоненты, равные X = jj SJILi Х{. Обозначим М — I — N, где I — единичная матрица n-го порядка. Тогда матрица М также идемпотентная, rank(M) = n - 1 и MN' = MN = 0. Заметим, наконец, что х'Мх = х'М2х = ((/ - N)x)'((I - N)x) = ЕГ=і№ - X)2. Предположим теперь, что Х\,..., Хп — независимые одинаково распределенные нормальные случайные величины с параметрами

О m Xi — т

т. и <7 . Тогда вектор є с компонентами Єі = , г = 1,..., п

а

X — т

является стандартным нормальным вектором и Ж — ,

а

п 1 п

- Ж)2 = ~ X)2. Таким Образом, в силу N7) и N8)

»=1 а »=і имеем

N10) Случайные величины X и ~ X)2 независимы.

1 п —

N11) Случайная величина ^ ~ X)2 имеет распределение

Х2(п-1).

Замечая, что V(e) = и

у/п

є (Х-т)

і ег=і(?і - ю2 ~ V^t ??=i (Xt ~ X)2'

получаем следующее свойство:

?

N12) Случайная величина

(X — т)у/п

^ET-iW-*)2

имеет распределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы.

Свойства N10)-N12) широко используются в статистике при построении интервальных оценок неизвестных параметров и проверке статистических гипотез.

«С

Пусть z = пусть матрица Vi

— нормальный вектор, Ех = тпх, Еу = шу, и

у) невырождена.

N13) Условное распределение х при условии у = у является нормальным. При этом

Е(х | у = у) = Cov(x,y)[V(y)]-1(y - Шу) + тпх.

Иными словами, функция регрессии х на у является линейной.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 4. Многомерное нормальное распределение:

  1. Многомерный анализ оценочных решеток
  2. Занятие 3.2 ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ЗРИТЕЛЬНЫХ СТИМУЛОВ
  3. 6.1. Поведение серы6.1.1. Распределение серы между фазамн. Опыт работы установки РОМЕЛТ показал, что распределение серы между продуктами плавки существенно отличается от традиционной восстановительной плавки в доменной печи: Продукты плавка
  4. 7.4. Нормальное поведение
  5. 4.1.2. Нормальное и измененные состояния сознания.
  6. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О НОРМАЛЬНОМ И ОТКЛОНЯЮЩЕМСЯ РАЗВИТИИ
  7. 7. О ЛЮБВИ К СЕБЕ И ДРУГИМ (эгоизм, альтруизм, нормальное поведение)
  8. 2.2.2 Вторая и третья нормальные формы отношений
  9. Нормальные взаимоотношения людей — тонкая материя
  10. Создание условий для нормальной деятельности школы
  11. 5. О ЛЮБВИ К СЕБЕ И ДРУГИМ. ЭГОИЗМ, АЛЬТРУИЗМ И НОРМАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ.
  12. РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ. Прибыль: бухгалтерская, экономическая или нормальная?
  13. § 3. Порядок судебного санкционирования отклонений от нормального развития исполнительного производства
  14. Возвращение к нормальной жизни? Государство и экономика в Европе 1919—1929 гг.
  15. 3. Некоторые специальные распределения
  16. Изменениям окружающей среде пои нарушении нормального азотного цикла в результате деятельности человека
  17. 11.1. Модели распределенных лагов
  18. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДА И РАСА
  19. 2. Условные распределения
  20. 7. ЗДРАВОМЫСЛИЕ, ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ (НОРМА В МЫШЛЕНИИ, НОРМАЛЬНОЕ МЫШЛЕНИЕ)