Модель оценки финансовых активов САРМ

X = /Зо + 0іХ* + є, Е(є) = 0, Е(єХ*) = 0. (15.52)

Имеем:

Е(Х) = Д> + АЕ(Х*),

р(Х) = Е(ХХ*) = Е(РоХ* + 0іХ*2+єХ*) = р(/ЭЬ + АХ*), V(X) = V(A> + АХ*) + V(e). (15.53)

Из (15.53) видно, что инвестор, минимизирующий риск, ПрвДПО- чтет выплату Д> + АЩ-^*) выплате X.

Рассмотрим всех инвесторов j = 1,..., J.

J J J

M = ? = + ]T$X* = A> + AX*. (15.54)

j=i j=i j=i

Выразим X* из (15.54):

A A A A \p(Af) J А

= а + Ь(ДМ - Д>). (15.55)

Таким образом, мы получили однофакторную модель вида (15.51), которая называется САРМ (Capital Asset Pricing Model).

Выведем ее так называемое /^-представление. Пусть тп — стохастический дисконтирующий множитель. Тогда для «доходности» Д имеем

1 = р(Д) = Е(тД) = Cov(m, R) + Е(тп)Е(Д). (15.56) Поскольку по определению

д' = і 1 1

Р(1) Е(т • 1) Е(т)' то из (15.56) получаем

Е(Л) - Я' = -Щп) Cw(m, Д) = Соу(Ят, Д). (15.57)

Подставив в (15.57) Rm в качестве R, получим

Е(Rm - Rf) = -^^У(Д-). (15.58) И, наконец, сравнивая (15.57) и (15.58), получаем

Е(Я - Rf) = - Rf) - 0E(Rm - Rf). (15.59)

Поскольку, в силу (15.54), М и стохастический дисконтирующий множитель X* связаны линейным соотношением, мы получаем ^-представление САРМ-модели

Е(Я- Rf) = 0E(RM -Rf), (15.60)

где

д Cov(RM,R) Cov(RM - Rf,R-Rf) V(RM) ~ V(RM - Rf) '

Возвращаясь к вопросу о «нормальной» доходности при обсуждении гипотезы эффективности рынка, мы видим, что в рамках САРМ «нормальной» доходностью является Е(Д) = Rf + 0E(RM — Rf). Все, что выше этой величины, считается «сверхнормальной» доходностью.

Коэффициент /3 в (15.61) совпадает с коэффициентом /3 в регрессии

R-Rf = a + 0(Rm-Rf) + ?, (15.62)

поэтому можно тестировать САРМ, проверяя ограничение а = 0 в регрессии (15.62).

В качестве аппроксимации рыночного портфеля (который не наблюдаем) при тестировании обычно используют какой-нибудь индекс, включающий в себя большое количество акций, например, S&P500.

Многофакторная модель оценки финансовых активов

Мпогофакторная модель отличается от САРМ тем, что мы постулируем зависимость стохастического дисконтирующего множителя не от одного, а от К факторов (15.51).

Для многофакторной модели справедливы многие выводы, полученные для однофакторной.

К

Е(Я-Я>) = ?&Е(Я*-Я>). (15.63)

fc=i

Интерпретация уравнения (15.63) такая же, как и (15.59). Запишем (15.63) в виде

к

Я - Я> = - Я>) + є, (15.64)

Jt=i

где слагаемое є ортогонально факторам и Е(є) = 0. Как и ранее, V(Я - Rf) = V ^ 0k(Rk - R')^J + V(c), (15.65)

а

р(є) = E(me) = E((a -I- b'f)e) = 0. (15.66)

Таким образом, 0k(Rk ~ R^) является систематической частью доходности, единственным риском, который оценивается рынком. Несистематическая часть є увеличивает дисперсию доходности, оставляя цену портфеля неизменной. Поэтому эффективный инвестор предпочтет є = 0.

Коэффициенты 0k можно оценивать из регрессионного уравнения

к

R-Rf = a + Y^0k(Rk~ Rf) + e. (15.67)

k=I

Если модель верна, то должно выполняться равенство а = 0.

Если применить (15.67) к активу Я, цена которого еще, возможно, не пришла к равновесной, то получим

а = Е(Я)- ^Я> + (15.68)

Таким образом, а равно превышению действительно наблюдаемой средней доходностью актива над «нормальной» доходностью, определенной в рамках данной модели.

Можно получить оценку а, оценивая коэффициент регрессии (15.67) по предыстории. Эта оценка называется «а-коэффициент Йенсена» (Jensen's alpha) и служит для оценки успеха данного актива Я на рынке. Если а > 0, то актив показывает лучшую доходность по сравнению с «нормальной» доходностью (overperformance) (и его стоит включить в свой портфель). Значение ойО соответствует «нормальной» доходности, а а < 0 соответствует доходности, меньшей, чем «нормальная» (underperforinance).

Другой показатель, часто используемый для оценки финансового актива, — коэффициент Шарпа (Sharpe ratio)

Sh(R) = ЕУ, (15.69)

(ср. с выражением (15.34)). Содержательный смысл его — доля ожидаемой доходности актива, приходящейся на единицу риска. Чем выше эта величина, тем лучше. В частности, исходя из этого критерия, и выбирался выше тангенциальный портфель.

Приведем теперь эмпирический пример.

приведен результат оценивания модели (15.62), а в таблице 15.13

— результат оценивания модели (15.67). Оценивание производилось на интервале январь 1996 г.-декабрь 1998 г. для месячных доходностей.

Таблица 15.12

Dependent Variable: BBUO - RFUSM Variable Coefficient Std Error t-Statistic Probability const -1.998535 0.610759 -3.272213 0.0025 USA - RFUSM 1.135910 0.123267 9.215072 0.0000 R-squared 0.714088 Durbin- Watson stat 1.811360 Таблица 15.13

Dependent Variable: BBUO - RFUSM

Variable Coefficient Std. Error t-Statiitic Probability coast -2.010744 0.746870 -2.692230 0.0113 USA - RFUSM 0.034784 0.984426 0.035335 0.9720 EUROPE - RFUSM -0.172594 0.710937 -0.242769 0.8098 JAPAN - RFUSM -0.360471 0.337891 -1.066825 0.2943 WORLD - RFUSM 1.749027 1.939281 0.901895 0.3741 R-sguared 0.761283 Durbin-Watson stat 1.805166

Как видно из таблиц, а-коэффнциент Йенсена отрицательный и значимо отличается от 0. Аналогичный результат получается и для других взаимных фондов из данного набора. Коэффициент а получается либо отрицательный, либо незначимо отлича- юнційся от 0. Таким образом, на этих данных, моделях и периоде времени утверждение менеджеров не подтверждается данными. Аналогичный результат дает и вычисление коэффициентов Шарпа — для фондов они оказываются ниже, чем для фондовых индексов. Упражнения 15.1.

Выведите формулы (15.14) и (15.15). 15.2.

Выведите формулу (15.16). 15.3.

Выведите формулу для оптимального портфеля при иаличии безрискового актива, аналогичную формуле (15.13), повторив шаги (15.8)- (15.12) вывода формулы (15.13), т.

Докажите эквивалентность двух определений закона одной цепы (law of one price) (стр. 461). 15.5.

Докажите, что из закона одной цены следует теорема о существовании дисконтирующего множителя (сгр.462). 15.6.

В файле index.xls содержатся данные по четырем фондовым индексам.

а) Рассчитайте средние месячные доходности, дисперсии и корреляции доходностей индексов. В дальнейшем предположите, что доходности имеют нормальное распределение и выборочные моменты достаточно точно описывают распределение будущих доходностей.

б) Постройте эффективные портфели, состоящие из фондовых индексов США, Германии, Великобритании, с годовой ожидаемой доходностью в 6%, 9%, 12%, 15% и 18%.

в) Покажите, как информация о двух эффективных портфелях с годовой доходностью, нанрнмер, 12% и 15% можег быть использована для построения других эффективных портфелей.

г) Найдите портфель с наименьшей дисперсией.

д) Тот же вопрос, что в б), но теперь в случае, когда «короткие продажи» запрещены.

е) Повторите б), в), г), д) для случая портфеля, и который добавлен четвертый актив (фондовый индекс Гонконга).

ж) Повторите предыдущие пункты в предположении, что доступен также безрисковый актив с годовой доходноегью 6%.