<<
>>

3. Некоторые специальные распределения

В этом разделе рассматриваются некоторые конкретные случайные величины и случайные векторы, часто используемые в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях. 1.

Биномиальное распределение.

Дискретная случайная величина ип(р), принимающая значения fc = 0,...,nc вероятностями

Рк = Р(Мр) = к) = Скрк{1 - р)п~к, 0<р<1, Cn = fe,(n"ife)r

называется биномиальной случайной величиной с параметрами п н р. Случайная величина с таким распределением возникает в схеме Бернулли. Предположим, что проводится серия п независимых испытаний, причем каждое испытание имеет два исхода — «успех» или «неудача», и пусть р — вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда общее число успехов в этих п испытаниях является биномиальной случайной величиной. Свяжем с каждым г-м испытанием случайную величину Єі = 1, если в г-м испытании успех, и Єі = 0, если в г-м испытании неудача. Тогда случайные величины Єі, г = 1,... ,п, независимы и

п

мр) = YlSi- i=l

Из El) и (MC.8) легко следует, что

Ei/„(p) = np, V(i/„(p)) = пр(1 - р). 2.

Пуассоновское распределение. Дискретная случайная величина П(А), принимающая значения к = 0,1,... с вероятностями

А*

pjk = —е А, Л = 0,1,..., А > 0,

называется пуассоновской случайной величиной с параметром А. Пуассоновское распределение широко используется в теории массового обслуживания. Число А носит название интенсивность. Непосредственные вычисления показывают, что

Е(П(А))=У(П(А))=А.

3. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X, плотность распределения которой задается формулой = { Ь-а'

I0'

/ \ і і . [а,6], р(х) = {Ь- а

х І (о,6], называется равномерной на отрезке (в, 6]. Нетрудно проверить, что

вда-Цї.

4. Показательное (экспоненциальное) распределение. Непрерывная случайная величина X, плотность распределения которой задается формулой

Ае-Ла:, х^О,

_ /Ае

Р(Х) .о ^ А

х < О,

называется показательной или экспоненциальной с параметром Л. В широком числе случаев показательное распределение описывает время безотказной работы прибора, при этом число А интерпретируется как интенсивность отказа. Это распределение находит также широкое примеиение в демографии. Как и раньше, с помощью несложных вычислений получаем

Е(Х) = I V(X) = ±.

5. Нормальное (гауссовское) распределение. Непрерывная случайная величина X, плотность распределения которой задается формулой

1 ( (х-т)2\ „

р(х) = exp I - —)' я є Я, т€Я, о > 0.

называется нормальной или гауссовской с параметрами т и о2. Часто используется обозначение X ~ N(m,o2). Нормальная случайная величина с m = 0 и «г2 = 1 называется стандартной нормальной величиной. Если X ~ N(m,o2), то случайная величина Z = (X — тп)/ог является стандартной нормальной. Гауссовское распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Если исследуемая случайная величина формируется под воздействием большого числа независимых аддитивных случайных факторов, то, согласно приводимой ниже центральной предельной теореме, можно считать, что ее распределение является приближенно нормальным. Можно показать, что

Е(Х) = m, V(X) = о2.

Ниже мы более подробно опишем свойства нормального распределения. 6.

Логарифмически нормальное распределение. Пусть X ~ N(m,a2). Случайная величина Y = ех называется логарифмически нормальной. Можно показать, что плотность распределения этой величины определяется формулой

р{х) = )' 1>°; р(я) = о, 1^0.

Логарифмически нормальное распределение возникает в ситуации, когда исследуемая случайная величина формируется под воздействием большого числа мультипликативных случайных факторов. Можно показать, что

Е(У) = ехр(тп + сг2/2), У(У) = exp(2m + х2-распределение. Пусть єі,...,єп — независимые стандартные нормальные случайные величины (т.е. Єі ~ N(0,1), г = 1,... ,п). Говорят, что случайная величина х2(п) — єІ имеет X2-распределение с п степенями свободы. Плотность распределения величины х2(п) задается формулой

р(д) = 2п/2Г(П/2)(1) ' ЄХР("І)' 1>0; Р(1) = 0, где Г — гамма-функция, определяемая равенством

г+оо

Г (f) = / х^е"1^-, f>0,

Jo

в частности, Т(к) = (к — 1)! для целых к.

Нетрудно проверить, что

Е x2 = n, V(x2) = 2п.

8. Распределение Стьюдента (t-распределение). Пусть Єо,Єі, ... ,єп — независимые стандартные нормальные случайные величины. Распределение случайной величины

t(n) = ? = ,

\fkx4n)

называется распределением Стьюдента или t-распределением с п степенями свободы. Плотность распределения величины i(n) задается формулой

Г((п + 1)/2) / Р{Х) ~ {пж)*Г{п/2) V + п) При п = 1 соответствующее распределение называют распределением Коши.

Можно показать, что при п > 2

п

Et(n) = 0, V(i(n)) =

п - 2

9. Распределение Фишера (F-распределение). Пусть єі,...,єт, rji, ??? ,т]п — совокупность независимых стандартных нормальных случайных величин. Распределение случайной величины

называется распределением Фишера или F-распределением с (m,n) степенями свободы. Плотность распределения величины F(m, п) задается формулой

Г[(т + п)/2]тт/2пга/2 хт'2~1 Р(Ж)~ Г(т/2)Г(п/2) (та: + n)(m+n)/2' * ! р(х) = О, х^О. Можно показать, что при п > 4

EF(m,n) —^-r, V(F(m,n))= У(та+

v ' П-2 m(n — 4)(n - 2)2

Распределения х2> Стьюдента и Фишера применяются в статистике при построении доверительных интервалов для оцениваемых параметров и при проверке гипотез.

В некоторых областях математической и прикладной статистики используются нецентральные аналоги распределений х2> Стьюдента и Фишера.

10. Нецентральное х2-распределение. Пусть Xi,..., Хп — независимые нормальные случайные величины: Xi ~ N(mi, 1). Тогда говорят, что случайная величина Y = X2 + ... + X2 имеет нецентральное ^-распределение. Это распределение зависит только от двух параметров- п — число степеней свободы и А = ЕГ=і тї ~ параметр сдвига (параметр нецентральное™). Это распределение обозначается А).

Покажем, что распределение х2(п>А) действительно зависит только от двух параметров. Обозначим через m = (mі,..., m„)' — вектор средних значений и через ||т|| — его длину. Пусть Q — ортогональная матрица, у которой первая строчка является вектором т'/ЦтЦ, а остальные дополняют вектор т'/ЦтЦ до оргонор- мированпого базиса. Обозначим вектор, состоящий из случайных величин Xi, через х = (Xi,..., Хп)', и пусть z = Qx его линейное преобразование; z = [Z\,..., Zn)'. В силу ортогональности матрицы Q имеем У = Х2+.. .+Х2 = ||х||2 = И2 = Zf+.. .+Z2. В силу (приложение МС, п.4, N5) получаем, что Z\,...,Zn — независимые нормальные случайные величины, такие что Z\ ~ N(||m||,l) и Zi ~ N(0,1), і = 2,...,п. Отсюда следует, что распределение зависит только от ||т||.

Нетрудно видеть, что при А = 0 нецентральное распределение Х2(п, А) совпадает с распределением х2(п).

Распределение х2{п,Х) обладает следующими свойствами: 1)

Пусть Yj, У2 — две независимых случайных величины с распределениями Yi ~ х2(п»>Аі)> * = 1>2, тогда случайная величина У = Y\ + У2 имеет тоже нецентральное ^-распределение: У ~ х2(п, А), где А = Ai + А2 и п = пі + П2- 2)

Пусть У ~ х2(п> А), тогда Е(У) = п + А и V(У) = 2п + 4А.

3) Плотность распределения x2(n> -М задается формулой

cn/2-l ™хг Xi I

( \\ ( Х\ Жп' ^ Ж'

р(х) = ехр f-- 1 ехр (--) ^ ^

* ' »—Л

f-J г! 22* Г(г + п/2) t=0

при х > 0 и р(х) = 0 при х ^ 0. 11.

Нецентральное распределение Стьюдента. Нецентральным распределением Стьюдента с п степенями свободы и параметром сдвига т называется распределение случайной величины

где случайные величины X и Y независимы и имеют распределения соответственно N(m, 1) и х2(п)-

Плотность нецентрального распределения Стьюдента задается следующей формулой:

п"/2 ехр(—ш2/2) ' Г(п/2)Г(1/2) (п + а:2)(п+1)/2

^ r fn + i + l\ ( 2х2 \i/2 . . 4 12.

Нецентральное распределение Фишера. Нецентральным распределением Фишера jF(ni,n2, Ai, А2) со степенями свободы пі и п2 и параметрами сдвига Ai и А2 называется распределение слу- чайпой величины

7_Уфл

~ ум

где У, и У2 - независимые случайные величины с распределениями соответственно x2(ni>^i) и X2(n2iА2).

Обычно в приложениях используется распределение с А2 = 0. При пі > 4 математическое ожидание и дисперсия распределения jF(ni,n2,Аі,0) равны:

n2(ni + Ai)

ni(n2 - 2) '

2 ("і + Ai)2 + (ni + 2Ai)(n2 - 2) (n2-2)2(n2-4)

E(Z) = V(Z) = 2g)

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 3. Некоторые специальные распределения:

  1. Раздел IV ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПЕДАГОГИКИ И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
  2. Специальные библиотеки 3.4.1. Общая типологическая характеристика специальных
  3. 3.4. Четвертый период эволюции: от осознания необходимости специального образования для отдельных категорий детей с отклонениями в развитии к пониманию необходимости специального образования для всех, нуждающихся в нем. Развитие и дифференциация системы специального образования
  4. 6.1. Поведение серы6.1.1. Распределение серы между фазамн. Опыт работы установки РОМЕЛТ показал, что распределение серы между продуктами плавки существенно отличается от традиционной восстановительной плавки в доменной печи: Продукты плавка
  5. § 7. Система специальных дошкольных учреждений для детей с нарушениями интеллекта и задачи специального дошкольного воспитания
  6. 11.1. Модели распределенных лагов
  7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДА И РАСА
  8. 2. Условные распределения
  9. 4. Многомерное нормальное распределение
  10. Лекция 39. Функциональное распределение дохода
  11. 6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  12. Проблемы распределения
  13. Распределение дохода
  14. МЕСТО (КАНАЛ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)
  15. РАЗДЕЛ 1. О распределении в целом
  16. § 4. Распределение судебных расходов