<<
>>

Процессы скользящего среднего (МА)

Моделью скользящего среднего (moving average) порядка q называется модель ARMA(0,g)

yt = 6 + e(L)?t = 6 + єг-е 1Є(-1 0qet-4, et ~wd(0,cr2), (11.77)

которая обозначается MA(g). Из (11.77) видно, что процесс МА(д) стационарен при любом q и любых в І .

Сформулируем условие обратимости процесса, т.е. возможности его представления в виде AR процесса.

Рассмотрим в качестве примера модель скользящего среднего первого порядка МА(1)

yt = 6 + e{L)?t = 6 + ?t-ei?t-i, ?t~iid(0,o2).

(11.78)

Представим МА(1) процесс в виде авторегрессионного процесса:

©(L)-Iyt = ©(b)-1или ^

yt = - - e\Vt-2 + fit- (11-80)

Ясно, что такое AR(oo) представление МА(1) процесса (11.78) возможно только в случае обратимости оператора 8(L) = 1 — 0\L, т.е. когда выполняется условие обратимости < 1.

Нетрудно вычислить среднее и дисперсию процесса МА(1):

ЕЫ = <5, V(yt) = cr2(l + 02). (11.81)

Найдем автокорреляционную функцию МА(1) процесса:

7i = Cov(yt,yt_i) = E((?t - 0i?t-i)(?t-i ~ e^t-2)). (11.82)

Если раскрыть скобки, то только одно слагаемое из четырех будет отлично от нуля: Е(—= — в\<г2. Поэтому

71 = Cov(yt,yt_i) = -9га2. (11.83)

Аналогичные вычисления показывают, что 7* = 0 при к > 1. Получаем:

Pi=7i/7o = -0i/(l + 0i), Рк = 0, *>1. (11.84)

Проделав аналогичные вычисления для МА(д) процесса, получим, что его автокорреляционная функция ACF(fc) равна 0 для к > q, т. е. ее вид аналогичен виду PACF для AR(g) процесса.

Частная автокорреляционная функция PACF(fc) для МА(д) процесса, аналогично ACF(fc) для AR(g) процесса, экспоненциально убывает. Таким образом, имеет место некоторая симметрия: пара графиков (ACF, PACF) для МА(д) процесса имеет такой же вид, как пара графиков (PACF, ACF) для AR(g).

Отметим, что подобно AR(oo) представлению (11.80) для МА(1) процесса (11.78) существует МА(оо) представление для AR(1) процесса (11.67):

yt = (l-iL)-I(1 — 01

Смешанные процессы

Рассмотрим простейший смешанный ARMA(1,1) процесс (11.66) с Ф(L) = 1 - ФіЬ и ©(L) = 1 - 6iL:

yt-Фт-і =6 + ?t -0i?t-i, ?t ~ ud(0,cr2). (11.86)

Будем считать, что |i| < їй |0i| < 1. Как и в случае AR(1) и МА(1) процессов, можно показать, что тогда процесс ARMA(1,1) является стационарным и обратимым.

Применяя те же методы, что и ранее, получим следующие выражения для среднего, дисперсии и ковариации ARMA(1,1) процесса:

Е(и) = Г^Т? (11-87а) 21+0?-2= ЩУі) = а' / j.2 ' (11.876) 71

= Соv(yt,yt-i) = Фпо ~ 0і<т2. (11.87в) Для автокорреляций порядка больше 1 получаем рекуррентное соотношение

7fc = Cov(yt,yt-i) = ФПк-l, к > 1. Применяя рекуррентно это соотношение, получаем:

рк-ф1 Р1, *>1, (11.88)

Из (11.88) видно, что ACF для ARMА( 1,1) процесса ведет себя так же, как ACF для AR(1) процесса (ср.(11.68)). Хотя значение Pi другое, но соотношение между р\ и последующими значениями ACF точно такое же.

Этот вывод можно обобщить на случай ARMA(p,g) процесса. Первые q значений ACF определяются взаимодействием AR и МА компонент, а дальнейшее поведение автокорреляционной функции такое же, как в AR(p) процессе.

Аналогичный вывод справедлив для частичной автокорреляционной функции ARMA(p,g) процесса. Она убывает подобно PACF для МА(д) процесса.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме Процессы скользящего среднего (МА):

  1. Модели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA)
  2. Б. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ХИМИИ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
  3. Глава 3 БЛИЖНИЙ И СРЕДНИЙ ВОСТОК. V-XIII вв. (Византия, Арабские яалифаты, Средняя Азия!
  4. Глава 10 МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОТНОШЕНИЯ В СРЕДНЕЙ АЗИИ И НА СРЕДНЕМ ВОСТОКЕ
  5. Бойцов М., Шукуров Р.. История средних веков: Учебник для VII класса средних учебных заведений.- М.: МИРОС, 1995- 416 с.: ил., 1995
  6. ГЛАВА 2. ПОВЕДЕНИЕ ВЛАГИ В ПРОЦЕССЕ РОМЕЛТ И ЕЕ ВЛИЯНИЕНА ПОКАЗАТЕЛИ ПРОЦЕССА
  7. РАЗДЕЛ 2 . ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ГЛАВА 1. СЕНСОРНО-ПЕРЦЕПТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
  8. Математическое моделирование процесса РОМЕЛТ с целью исследования влияния технологических параметров на показатели процесса
  9. § 3. ОТЛИЧИЕ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРОЦЕССА ОТ ПРОЦЕССОВ ГРАЖДАНСКОГО И УГОЛОВНОГО
  10. § 3.2.2. ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ СИСТЕМЫ ПОНЯТИЙ «ХИМИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ» В КУРСЕ ХИМИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ Значение понятия «химический элемент» в курсе химии средней школы
  11. СРЕДНИЕ ВЕКА.
  12. ПРОЦЕСС ВЫРАБОТКИ: ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСШИХ ФОРМ ПОВЕДЕНИЯ БЕЗ ПРИНУЖДЕНИЯ И БОЛИ Что такое процесс выработки
  13. Часть I ФОРМИРОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРОЦЕССА И АДМИНИСТРАТИВНОПРОЦЕССУАЛЬНОГО ПРАВА ПРОБЛЕМЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО ПРОЦЕССА
  14. ЧАСТЬ П. СРЕДНИЕ ВЕКА