<<
>>

8. Проверка гипотез

Проверка гипотез и построение на их основе статистических выводов является одной из центральных задач математической и прикладной статистики. В рамках параметрического подхода общая схема проверки гипотезы может быть описана так.
Пусть Х\,..., Хп — случайная выборка из некоторой генеральной совокупности с функцией распределения F(x) = F(x\6), в Є © С Rm. Относительно параметра в выдвигаются две гипотезы, а именно, Но: в € ZQ и Ні: в € Z\, где ZQ С ©, Z\ С © — некоторые заданные множества. Гипотезу Но называют основной или нулевой, а гипотезу Hi — альтернативной. Если множество Z состоит из одной точки (Z = {в0}), то соответствующая гипотеза называется простой, в противном случае она называется сложной. Если альтернативная гипотеза явно не указана, то это означает, что

Z\ = ©\Z0.

Статистическим тестом или просто тестом называется любая процедура, основанная на наблюдениях Х\,..., Хп, результатом которой является одно из двух возможных решений: 1)

не отвергать (принять) нулевую гипотезу Но; 2)

отвергнуть нулевую гипотезу Но в пользу альтернативной гипотезы Hi.

Поскольку тест использует случайную выборку Хі,..., Хп, то, естественно, могут возникать ошибочные решения. В связи с этим возникают две ошибки теста:

ошибка первого рода: нулевая гипотеза отвергается, когда она верна;

ошибка второго рода: нулевая гипотеза принимается, когда верна альтернативная гипотеза. Вероятности ошибок первого и второго рода можно обозначить а = P(Hj | Но) и f} = Р(Но | Н|) соответственно. Величину а называют значимостью теста, а величину 1 — — его мощностью.

Естественно при построении теста стремиться уменьшить эти ошибки, однако нетрудно понять, что невозможно минимизировать их одновременно. Поэтому обычно поступают следующим образом: фиксируют значимость теста и стараются найти такой тест, у которого мощность максимальна (именно здесь в явном виде проявляется несимметричность гипотез, деление их на основную и альтернативную).

На практике для построения тестов часто используют следующий подход. Предположим, что можно найти такую статистику tn = tn(Xi, ? • ? ,Хп), что если гипотеза Но верна, то распределение случайной величины tn известно (например, табулировано).

Тогда для заданного значения а ошибки первого рода можно найти такую область Ка, что P(t„ Є KQ) = 1 — а (подчеркнем, что вероятность вычисляется в предположении, что верна нулевая гипотеза). Тогда тест определяется следующим образом: 1)

на основании наблюдений Х\,... ,Хп вычисляется значение статистики tn; 2)

для заданного уровня значимости а находится область Ка\ 3)

если tn Є KQ, то нулевая гипотеза не отвергается (принимается); если tn ^ Ка, то нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной.

Статистику tn называют критической статистикой, а область Ка — критической областью. На практике часто критические статистики имеют распределения стандартное нормальное, X2, Стыодента и Фишера. В этих случаях при использовании подобного рода тестов для каждого значения критической статистики, полученной в эксперименте, находится еще так называемое Р-значение. Если статистика t„, распределение которой при нулевой гипотезе принадлежит к одному из указанных четырех типов, приняла значение с, то соответствующим Р-значением называется число P(|tn| > |с|) — для нормального распределения и распределения Стьюдента и число P(in > с) — для распределений X2 и Фишера. Таким образом, Р-значение сразу позволяет судить о значимости нулевой гипотезы. Все компьютерные пакеты, как правило, приводят Р-значения вычисленных статистик.

Легко установить связь между описанной выше процедурой и построением доверительных интервалов. Действительно, предположим, что для неизвестного параметра в построен доверительный интервал Dn с уровнем доверия 1 — а, и предположим, что нулевая гипотеза является простой, т. е. Но: в = 9Q. Тогда нулевая гипотеза не отвергается, если во Є Dn, и отвергается в противном случае.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 8. Проверка гипотез:

  1. ГЛАВА XII О ГИПОТЕЗАХ
  2. III. Можно ли проверить гипотезу с помощью проверки реалистичности ее предпосылок?
  3. Б. Использование «предпосылок» для косвенной проверки теории
  4. 2.5. Статистические свойства МНК-оценок параметров регрессии. Проверка гипотезы Ь = bo. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
  5. 3.5. Проверка гипотез. Доверительные интервалы и доверительные области
  6. 10.6. Проверка гипотез в линейной модели, I
  7. 8. Проверка гипотез
  8. § 3. Этапы разработки гипотезы
  9. § 3. ГИПОТЕЗА И ТЕОРИЯ
  10. 2.4. Формулирование цели, гипотезы, определения задач, предмета и объекта исследования
  11. ПРОВЕРКА И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕОРИИ
  12. РОЛЬ ГИПОТЕЗ