<<
>>

Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени

Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошибках системы (6.5) используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок є, то она присутствует и в остатках е, получаемых после применения к (6.5) обычного метода наименьших квадратов.
Здесь мы рассмотрим только одну реализацию этого подхода. Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствии корреляции, т. е. Hq: р = 0. В качестве альтернативной может выступать либо просто Hj: «не Но», либо односторонняя гипотеза, например, Hi: р > 0.

Наиболее широко используется тест Дарбина-Уотсона {Dur- bin-Watson). Он основан на статистике

DW = І"?-0'. (6.13)

Будем считать, что постоянный член включен в число регрессоров. Тогда нетрудно проверить, что эта статистика тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции между et и et-i- Действительно, проводя элементарные выкладки, имеем

nw ЕГ=2(е* ~et-l)2 _ ЕГ=2 et + ЕГ=2 - 2 ЕГ=2 etet-l ЕГ=і <%-е\ + ЕГ=і «? - є2 - 2ЕГ=2

ST3

_9Л ЕГ=2<^-Л в2 + е2

Предполагая число наблюдений достаточно большим, можно считать, что приближенно выполнены следующие равенства: & ЕГ=2 et = -ei/(n - 1) « 0 и ^ ЕГ=2 et-1 = -en/(n - 1) » О (поскольку выполнено точное равенство Et^i et = 0 в силу наличия постоянного регрессора). Поэтому выборочный коэффициент корреляции Г между et И е?_! можно приближенно представить в виде

г« ЕГ=2е«е«-1 и Е"=2 etet-\ ~ ^ЕГ=2«? ЕГ=/е? ~ ЕГ=іЄ? '

Наконец, пренебрегая в (6.14) слагаемыми е2 и е2 по сравнению с общей суммой ЕГ=1 et > окончательно получим

DW и 2(1 - г). (6.15)

Понятен и содержательный смысл статистики DW: если между et и et-1 имеется достаточно высокая положительная корреляция, то в определенном смысле et и et-1 близки друг к другу и величина статистики DW мала. Это согласуется с (6.15): если коэффициент г близок к единице, то величина DW близка к нулю. Отсутствие корреляции означает, что DW близка к 2.

Таким образом, если бы распределение статистики DW было известно, то для проверки гипотезы Но: р = 0 против альтернативы Hj: р > О можно было бы для заданного уровня значимости (например, для 5%-ного уровня) найти такое критическое значение d*, что если DW > d*, то гипотеза Но не отвергается, в противном случае она отвергается в пользу Н|. Проблема, однако, состоит в том, что распределение DW зависит не только от числа наблюдений п и количества регрессоров fc, но и от всей матрицы X, и, значит, практическое применение этой процедуры невозможно, поскольку нельзя же составить таблицу критических значений d* для всех матриц Х\ Тем не менее, Дарбин и Уотсон доказали (Durbin, Watson, 1951), что существуют две границы, обычно обозначаемые dи и di, du > di (и = upper — верхняя, I = low — нижняя), которые зависят лишь от п, к и уровня значимости (а следовательно, могут быть затабулированы) и обладают следующим свойством: если DW > du, то DW > d* и, значит, гипотеза Но не отвергается, а если DW < di, то DW < d*, и гипотеза Но отвергается в пользу Ні. В случае di < DW < d^ ситуация неопределенна, т. е. нельзя высказаться в пользу той или иной гипотезы. Если альтернативной является гипотеза об отрицательной корреляции Hj: р < 0, то соответствующими верхними и нижними границами будут 4—di и 4—du. Целесообразно представить эти результаты в виде таблицы (см. таблицу 6.5).

Наличие зоны неопределенности, конечно, представляет определенные трудности при использовании теста Дарбина-Уотсона. Ее ширина может быть довольно значительной. К примеру, при п = 19, к = 3 она образует интервал (0.97, 1.68). Отметим, что некоторые компьютерные пакеты, например SHAZAM, численно вычисляют точные критические значения (зависящие от А").

Таблица 6.5 Значение статистики DW Вывод 4 - dx < DW < 4

4 - du < DW < 4 — dj du < DW < 4 - du dt < DW < d* 0 < DW < dk Гипотеза Но отвергается, есть отрицательная корреляция Неопределенность Гипотеза Но не отвергается Неопределенность Гипотеза Но отвергается, есть положительная корреляция Сделаем еще одно важное замечание.

Тест Дарбина-Уотсона построен в предположении, что регрессоры X и ошибки є не кор- релированы. Поэтому его нельзя применять, в частности, когда среди регрессоров содержатся датированные значения зависимой переменной у. Выводы: 1)

при анализе временных рядов следует учитывать, что, как правило, ошибки коррелированы во времени, что требует коррекции обычного метода наименьших квадратов; 2)

во многих случаях можно считать, что ошибки образуют стационарный авторегрессионный процесс первого порядка (6.7); 3)

МНК-оценки в случае авторегрессии первого порядка несме- щены, состоятельны, но неэффективны; 4)

оценка дисперсии при использовании МНК является заниженной; 5)

если коэффициент авторегрессии известен, то обобщенный метод наименьших квадратов сводится к преобразованию (6.11), (6.12) исходной системы и дальнейшему применению МНК; 6)

при неизвестном коэффициенте авторегрессии существует несколько процедур доступного обобщенного метода наименьших квадратов, суть которых состоит в оценивании этого коэффициента, а затем в применении преобразования (6.11), (6.12); 7) одним из наиболее распространенных тестов проверки гипотезы об отсутствии корреляция является тест Дарбина- Уотсона, основанный на статистике DW (6.13). Его особенность заключается в наличии зоны неопределенности для DW, когда нет оснований ни принимать, ни отвергать гипотезу об отсутствии корреляции.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени:

  1. Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени