<<
>>

8.4. Тест Хаусмана

Как определить, следует ли использовать инструментальные переменные или достаточно применять обычный метод наименьших квадратов? Ответ на него равносилен тестированию гипотезы Но: р\\т{\/п)Х'е = 0 против альтернативы Ні: р\\т(\/п)Х'є ф 0.
Довольно очевидно, что при наличии только наблюдений у,Х проверить эту гипотезу нельзя, поэтому предположим, что наряду с обычной МНК-оценкой /3t = /3OLS есть оценка /32 = /3IV, полученная с помощью некоторых инструментальных переменных. При гипотезе Но оценка /Зі является состоятельной и эффективной^ при альтернативной гипотезе Hi — несостоятельной. Оценка /32 состоятельна как при нулевой, так и при альтернативной гипотезах. Таким образом, при нулевой гипотезе разность /32 — /Зі стремится к нулю, и естественно ожидать, что при соответствующей нормировке распределение этой разности будет асимптотически совпадать с каким-нибудь известным распределением. Хаусман (Hausman, 1978) доказал, что асимптотически

V(32 - Зі) = V(/32) - V(3i) и величина

(32 - 3i)'(v(32) - V(3i))-1(32 - Зі)

асимптотически имеет хи-квадрат распределение с к степенями свободы.

Более подробно о тесте Хаусмана можно прочесть, например, в (Johnston and DiNardo, 1997).

Виводи: 1)

при наличии корреляции между независимыми переменными и ошибками МНК-оценки смещены и несостоятельны; для получения состоятельных оценок можно воспользоваться инструментальными переменными; 2)

число инструментальных переменных должно быть не меньше числа исходных независимых переменных; 3)

инструментальные переменные должны быть некоррелиро- ваны с ошибками и коррелированы с исходными независи- мыми переменными (условие (8.4); в этом случае /Зру состоятельна, но, вообще говоря, неэффективна;

4) при наличии ошибок в измерениях зависимой переменной МНК-оценка остается несмещенной и состоятельной, если же с ошибками измеряются независимые переменные, то это приводит к возникновению корреляции между регрессорами и ошибками и, как следствие, к несостоятельности МНК- оценки.

Упражнения 8.1.

Проверьте формулу (8.5). 8.2.

Докажите, что при т = к оценка (8.5) совпадает с (8.2). 8.3.

Найдите V(3iv) для оценок (8.2) и (8.5). 8.4.

Пусть мы оцениваем регрессионное уравнение

Vt = +et, t = l,...,n

с помощью метода инструментальных переменных, используя переменную zt как инструмент для xt.

Покажите, что оценки коэффициентов имеют вид

г - з - a _ E(*t - z){yt - у)

PllV = У - P2IVX, P2IV = —Г, Г7>

?(2t - t){xt - х)

и являются решениями системы уравнений

П0IIV + Xt) = Ylyu

(HZt) + (Hztxt) = HZtyt- 8.5.

Рассмотрим модель (8.3)

у = Х0 + є, V(e) = o2I,

в которой регрессоры xtp коррелированы с ошибками et. Пусть Z —

некоторая матрица. Преобразуем исходное уравнение, умножив его слева па Z':

Z'y = Z'Xi3 + Z'e. (*)

Покажите, что оценка обобщенного метода наименьших квадратов (5.4) для вектора коэффициентов уравнения (*) равна

3gls = (X'Z(Z'Z)-IZ'X)"1X'Z(Z'Z)-,Z'y.

Сравните результат с формулой (8.5) для оценки метода инструментальных переменных.

8.6. Пусть переменные yt*, z\ связаны (точным) уравнением

y't =0i+ (hz't.

Однако вместо точных значений мы наблюдаем измеренные (с ошибками измерений) значения yt = y*t + ut и zt = z* + vt, где ut ~ iid(O.trJ), vt ~ iid(0, о2), ошибки щ и va независимы при всех t и s. Мы оцениваем методом наименьших квадратов уравнение

yt = P\+02Zt+?t.

а) Удовлетворяют ли ошибки в данном уравнении условиям стандартной линейной модели?

б) Найти Cov(zt,?t).

в) Найти рІіт/Зг.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 8.4. Тест Хаусмана:

  1. Хаусман и критический реализм
  2. Хаусман и экономическая теория
  3. Дэниел Хаусман. Философия экономики - Антология, пер. с англ. — М.: Изд. Института Гайдара. — 520с., 2012
  4. Зачем заглядывать под капот?112 Дэниел М.Хаусман
  5. ФИЛОСОФИЯ экономики Антология под редакцией Дэниела Хаусмана
  6. Философские основания магистрального направления нормативной экономики145 Дэниел М.Хаусман, Майкл С.Макферсон
  7. ТЕСТ ИНТЕЛЛЕКТА
  8. Тест № 11. В хорошей ли Вы форме?
  9. Тест на функциональную форму
  10. ТЕСТ РОРШАХА
  11. ТЕСТ № 1 1.
  12. ТЕСТ 2 1.
  13. ТЕСТ УМЕНИЕ СЛУШАТЬ
  14. Тест № 8. Раздражительный ли Вы собеседник?
  15. Тест № 4. Конфликтная ли Вы личность?
  16. Инструкция и тест.
  17. ТЕСТ К ГЛАВЕ 1