<<
>>

Тесты на гетероскедастичность

Опишем несколько общеупотребительных статистических тестов на гетероскедастичность, не проводя их детального исследования. Как правило, из определения тестов будет ясно, какова их значимость. Проблему мощности тестов мы рассматривать не будем.
Во всех этих тестах проверяется основная гипотеза Но: а\ = а\ = • • • = <т2 против альтернативной гипотезы Ні: не Но-

Большинство тестов ориентированы на те или иные ситуации, когда относительно характера гетероскедастичности есть априорные структурные ограничения. Исключение составляет тест Уайта.

Тест Уайта (White). Содержательный смысл этого теста состоит в следующем. Если в модели присутствует гетероскедастичность, то очень часто это связано с тем, что дисперсии ошибок некоторым образом (возможно, довольно сложно) зависят от ре- грессоров, а гетероскедастичность должна как-то отражаться в остатках обычной регрессии исходной модели. Реализуя эти идеи, Уайт (White, 1980) предложил метод тестирования гипотезы Но без каких-либо предположений относительно структуры гетероскедастичности. Сначала к исходной модели (6.1) применяется обычный метод наименьших квадратов и находятся остатки регрессии et, t = 1, ...,п. Затем осуществляется регрессия квадратов этих остатков е2 на все регрессоры X, их квадраты, попарные произведения и константу, если ее не было в составе исходных ре- грессоров. Тогда при гипотезе Но величина nR2 асимптотически имеет распределение x2{N — 1), где R2 — коэффициент детерми- нации, а N — число регрессоров второй регрессии.

Привлекательной чертой теста Уайта является его универсальность. Однако если гипотеза Но отвергается, этот тест не дает указания на функциональную форму гетероскедастичности, и единственным способом коррекции на гетероскедастичность является применение стандартных ошибок в форме Уайта.

Гест Голдфелда-Куандта (Goldfeld-Quandt). Этот тест применяется, как правило, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной (ср. коррекция на гетероскедастичность, стр. 169, п. 1). Кратко тест можно описать следующим образом: 1)

упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность; 2)

исключить d средних (в этом упорядочении) наблюдений (d должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений); 3)

провести две независимые регрессии первых n/2 — d/2 наблюдений и последних n/2 — d/2 наблюдений и построить соответствующие остатки е\ и ег; 4)

составить статистику F = e'jei/e^. Если верна гипотеза Но, то F имеет распределение Фишера с (n/2 — d/2 — k,n/2 —

d/2 — к) степенями свободы (числитель и знаменатель в выражении для F следует разделить на соответствующее число степеней свободы, но в данном случае они одинаковы).

Большая величина этой статистики означает, что гипотезу Но следует отвергнуть. Количество исключаемых наблюдений не должно быть ни слишком мало, ни слишком велико.

Формально тест работает и без исключения наблюдений, но, как показывает опыт, при этом его мощность уменьшается.

Аналогично этот тест используется, если есть предположение о межгрупповой гетероскедастичности, когда дисперсия ошибки принимает, например, только два возможных значения.

Тест Бреуша-Пагатш (Breusch-Pagan). Этот тест применяется в тех случаях, когда априорно предполагается, что дисперсии <т2 зависят от некоторых дополнительных переменных:

= 7о + *=1. •••.»*,

где zt = (zti,... ,ztpy — вектор (наблюдаемых) независимых переменных, 7о, 7 = (7ь • • • >7р)' — неизвестные параметры. В соответствии с тестом Бреуша-Пагана следует действовать так: 1)

провести обычную регрессию (6.1) и получить вектор остатков е = (еі,...,Єп)'; 2)

построить оценку а2 = (l/n) et і

е2 3)

провести регрессию -А = 7о + *«7 + найти для нее объ-

а

ясненную часть вариации RSS; 4)

построить статистику RSS/2. В работе (Breusch, Pagan, 1979) установлено, что если верна гипотеза Но (отсутствие гетероскедастичности), то величина RSS/2 асимптотически имеет распределение х2(р)-

При выявлении гетероскедастичности с помощью этого теста можно попытаться осуществить коррекцию с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, выбирая в качестве весов величины (то + z't 7)-1/2, где 7о, 7 — оценки, полученные в п. 3).

При этом может оказаться, что 70 + z't 7 < 0 для некоторых t. Если число таких наблюдений невелико, то их можно просто выбросить. В противном случае можно попытаться использовать мультипликативную форму гетероскедастичности:

= t = l,...,n.

Процедура теста Бреуша-Пагана тогда выглядит совершенно аналогично изложенной выше в п.З). Точно так же можно действовать для произвольной формы гетероскедастичности а\ = /(70 + z't 7).

Выводы: 1)

применение обобщенного метода наименьших квадратов при наличии гетероскедастичности сводится к минимизации суммы взвешенных квадратов отклонений; 2)

использование доступного обобщенного метода наименьших квадратов в общем случае требует оценивания п параметров по п наблюдениям, что не позволяет получать состоятельные оценки; 3)

в некоторых ситуациях (ошибка пропорциональна одной из независимых переменных, дисперсии ошибок принимают два значения) можно применять доступный обобщенный метод наименьших квадратов и получать состоятельные оценки коэффициентов регрессии; 4)

если в модели с гетероскедастичностью использовать обычный метод наименьших квадратов, то для получения состоятельной оценки соответствующей матрицы ковариаций можно применять оценки ошибок в форме Уайта (6.3) или Ньюи- Веста (6.4).

Пример. Рынок квартир в Москве (см. Каргин, Онацкий, 1996). Продолжение 3 (см. начало — п. 3.5, продолжение 1 — п. 4.2, продолжение 2 — п. 6.1).

Для тестирования ошибок модели (*) примера о ценах на квартиры в Москве на гетероскедастичность применяем тест Голдфелда-Куандта (см. выше) по переменной LOGLIVSP. Данные (464 наблюдения) делятся на три группы, примерно равные по

объему. В первую группу попадают наблюдения с LOGLIVSP > 3.8 (155 наблюдений), во вторую — с LOGLIVSP < 3.35 (149 наблюдений).

Из-за возникновения dummy trap проблемы в первом случае пришлось «выбросить» переменную R1, а во втором — переменные R2, R3 и R4, таким образом, количество регрессоров в обоих случаях отличалось от первоначального числа 13. Соответственно число степеней свободы равнялось 143 = 155 — 12 и 139 = 149 — 10 (12 и 10 — это количество регрессоров соответственно в первой и во второй регрессии). Здесь использовано очевидное обобщение теста Голдфелда-Куандта на случай разного количества регрессоров.

После прогонки регрессий в каждой из групп получены следующие значения сумм квадратов остатков: е'хе\ = 6.80 и е^г = 3.76. Таким образом, F = ^ез^ізо ^ I-7- Вероятность того, что случайная величина с распределением Фишера F(143,139) принимает значение меньше единицы, равна 95%. Полученная величина F = 1.7 превышает Fo os(143,139), и гипотеза гомоскедастичности остатков должна быть отвергнута.

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме Тесты на гетероскедастичность:

  1. Глава 6 Гетероскедастичность и корреляция по времени
  2. Коррекция на гетероскедастичность
  3. ТЕСТЫ НА УЗНАВАНИЕ
  4. ТЕСТЫ НА УБЕДИТЕЛЬНОСТЬ
  5. КАДРОВЫЕ ТЕСТЫ
  6. КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕСТЫ
  7. Тесты
  8. РАЗДЕЛ 5. ТЕСТЫ
  9. ТЕСТЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЛИЧНОСТИ В ОБЩЕНИИ
  10. Психологические тесты «Познай себя»
  11. КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ
  12. Тесты и тестовые задания
  13. Тесты и проблема психологической диагностики
  14. VII. КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ
  15. ТЕСТЫ ДЛЯ ЛЮДЕЙ, ЗАНЯТЫХ В ТОРГОВОМ ПРОЦЕССЕ
  16. Дополнительные (подтверждающие) тесты к комплексу клинических критериев при установлении диагноза смерти мозга
  17. Замечание