Упражнения

\nyt = 01 + 02 In ги* + 03st + ?t, ln(а) Покажите, что для соответствующих МНК-оценок выполнены соотношения: 71 = Pi, 73 = 0з, 72 = 02 — 1-

б) Покажите, что остатки этих регрессий совпадают.

в) При каких условиях коэффициент детерминации R2 в первой регрессии будет больше коэффициента детерминации второй регрессии? Что при этом можно сказать о качестве подгонки? 3.2.

Покажите, что в регрессии уі на прогнозные значения щ и константу свободный член равен 0, а угловой коэффициент равен 1. 3.3.

Дано регрессионное уравнение yt = 0xt + st, t = 1,... ,T. Ошибки ?t — независимые одинаково распределенные нормальные величины. Мы хотим проверить гипотезу, что после наблюдения с номером п значение параметра 0 изменилось. Сумма квадратов остатков с ограничением ESSr получается из регрессии у на х по всем Т наблюдениям. Для нахождения ESSur используются две разные процедуры: 1) оцениваем суммы квадратов остатков регрессий по двум подпериодам ESSi и ESS2, затем их складываем: ESSur = ESSi + ESS2; 2) переписываем уравнение в виде

yt = 0\Xtdti + 02Xtdt2 + ?t.

где

_ґі, t = l,...,n, d _ Го, t = I,... ,n,

" " \o, t = n+l,...,T, t2 \l, t = n + 1,... ,T.

Далее мы получаем ESSur как сумму квадратов остатков этой регрессии по всем Т наблюдениям.

Докажите, что эти две процедуры дают одинаковые значения F- статистик.

Покажите также, что тот же результат может быть получен, если регрессия без ограничений записана в виде yt = 0\xt + 6xtdt2 + ?t, где 6 = 02-0\. 3.4.

Регрессия зависимой переменной у на три независимые переменные на основе п = 30 наблюдений дала следующие результаты:

у = 25.1 + 1.2ii + 1.0x2 - 0.50хз

Стандартные ошибки (2.1) (1.5) (1.3) (0.060)

t-значения (11.9) ( ) ( ) ( )

96%-ные доверительные границы (±4.3) ( ) ( ) ( )

а) Заполните пропуски

б) Истинны или ложны следующие утверждения (если ложны, исправьте их): 1)

Оценка коэффициента при есть 1.2.

Если есть априорная уверенность в том, что хі не влияет на у, то представляется разумным отвергнуть нулевую гипотезу Но: Pi = 0 на 5%-ном уровне значимости. 3)

Если есть априорная уверенность в том, что х^ влияет на у, то представляется более разумным использовать оценку 1.0, чем принимать нулевую гипотезу Но: 02 = 0.

3.5. Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (в тыс. руб.): Семья Накопления, S Доход, Y Имущество, W 1 3.0 40 60 2 6.0 55 36 3 5.0 45 36 4 3.5 30 15 5 1.5 30 90 а) Оцените регрессию S на Y и W.

б) Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 40 тыс. руб. и имущество стоимостью 25 тыс. руб.

в) Предположим, что доход семьи возрос на 10 тыс. руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрастут ее накопления.

г) Оцените, как возрастут накопления семьи, если ее доход вырос на 5 тыс. руб., а стоимость имущества увеличилась на 15 тыс. руб.

д) Найдите сумму квадратов остатков и постройте оценку дисперсии регрессии.

3.6. Рассмотрим регрессию S = 01 + pzY + P3W + є из предыдущего упражнения 3.5.

а) Постройте 95%-ное доверительное множество для 1)

ft И ft; 2)

ft; 3)

ft; 4)

ft и ft.

б) Проверьте с 5%-ным уровнем значимости следующие гипотезы: 1)

ft = 0 и ft = 0; 2)

ft = 0 (стоимость имущества несущественна); 3)

ft = 0 (величина дохода несущественна); 4)

ft = 1 (таким мог быть ответ вашего коллеги на вопрос о зависимости накопления от дохода); 5)

ft = 1.57 (такое значение коэффициента ft могло быть с высокой степенью надежности установлено для другой страны и вас интересует вопрос, верно ли это для вашей страны); 6)

ft = -5ft (т.е. эффект дохода противоположен эффекту богатства в фиксированной пропорции).

в) Пусть некоторая семья имеет доход У = 30 тыс.

Чему равна прогнозная величина ее накоплений? 2)

В каком смысле эта семья может рассматриваться как средняя между семьями 4 и 5 (упражнение 3.5)? Почему прогнозная величина ее накоплений не есть среднее между 3.5 и 1.5 тыс. руб.? 3)

Постройте 95%-ный доверительный интервал для прогнозной величины накоплений этой семьи.

Всегда ли доверительный интервал для ft + ft шире каждого из доверительных интервалов для ft и ft? Если да, то почему?

В этом упражнении изучается влияние преобразований зависимой и независимых переменных па МНК-оценки.

а) Что произойдет с МНК-оценками в парной регрессии у на х, если добавить константу к каждому наблюдению у7 к каждому наблюдению х? Что произойдет с МНК-оценками в множественной

регрессии у на X] и хг, если добавить константу С] к каждому наблюдению Х| и другую константу сг к каждому наблюдению Х2?

б) Что произойдет с МНК-оценками в множественной регрессии у на Хі и Х2, если переменные х1 и Х2 заменить их отклонениями от средних значений?

в) Что произойдет с МНК-оценками в множественной регрессии, если умножить зависимую переменную Y на константу? если на константу умножить какой-либо регрессор?

Рассмотрим оценку вида /3 = ((Х'Л")-1 +71)Х'у для вектора коэффициентов регрессионного уравнения у = X/3 + є. (J — единичная к х к матрица.)

а) Найдите математическое ожидание, матрицу ковариаций и матрицу среднеквадратичных отклонений оценки /3

(MSE(0) = Е((0 - в){в - 0)')).

б) Можно ли найти 7 такое, что оценка /3 более эффективна, чем оценка метода наименьших квадратов /3 (т.е. для всех і = 1,..., /с, MSE(j0i) < MSE(ft))?

Рассмотрим оценку вида/3 = (Х'Х+rD)~l Х'у (ридж-регрессия (ridge regression)) для вектора коэффициентов регрессионного уравнения у = Х(3 + є, где D — диагональная к х к матрица, состоящая из диагональных элементов матрицы Х'Х.

а) Найдите математическое ожидание, матрицу ковариаций и матрицу среднеквадратичных отклонений оценки /3

(MSE(0) = E((0-0)(0-0)')).

б) Покажите, что существует г > 0 такое, что V(/3) < V(/3), где /3 — оценка метода наименьших квадратов.

в) Можно ли найти такое г > 0, что оценка /9 более эффективна, чем оценка метода наименьших квадратов /3 (т.е.

После финансового кризиса спрос на чебуреки (см. упражнение 2.14) упал, и менеджер был вынужден тратить часть средств на рекламу. Для изучения зависимости объема продаж от цены и расходов на рекламу менеджер использует следующую модель: qt = 0\ + 02Pt + ftat + 0*а\ + et.

В таблице 3.2 приведены данные наблюдений за 20 недель (t — номер недели, qt — количество проданных чебуреков, pt — цена одного чебурека (руб.), at — затраты иа рекламу (100 руб.)).

Таблица 3.2 t qt Pt at t qt Pt at 1 525 5.92 4.79 11 407 6.67 5.19 2 567 6.50 3.61 12 608 6.92 3.27 3 396 6.54 5.49 13 399 6.97 4.69 4 726 6.11 2.78 14 631 6.59 3.79 5 265 6.62 5.74 15 545 6.50 4.29 6 615 5.15 1.34 16 512 6.86 2.71 7 370 5.02 5.81 17 845 5.09 2.21 8 789 5.02 3.39 18 571 6.08 3.09 9 513 6.77 3.74 19 539 6.36 4.65 10 661 5.57 3.59 20 620 6.22 1.97 Используя данные таблицы 3.2, ответьте на следующие вопросы:

а) Отклик количества проданных чебуреков на изменение цены измеряется коэффициентом 02 = dq/dp. Аналогично, dq/da =

+ 20ца. Какие знаки 02, 0з, 04, вы ожидаете получить?

б) Найдите оценки коэффициентов регрессии и их стандартные ошибки. Соответствуют ли знаки оценок вашим ожиданиям?

в) Пусть себестоимость производства одного чебурека равна 2 рубля. Тогда чистый доход за неделю задается формулой profit = pq — 2q - 100а.

г) Найдите оптимальную цену при расходах на рекламу, равных 280

руб.

д) Найдите оптимальный уровень расходов на рекламу при цене чебурека, равной 6 руб.

е) Помогите менеджеру найти оптимальное решение (максимизирующее чистый доход).

ж) Найдите 95%-ные доверительные интервалы для 02, 0з, 04- Проверьте значимость влияния цены, а также расходов на рекламу на количество проданных чебуреков.

3.12. В кейнсианской теории спрос на деньги зависит от доходов и процентных ставок. Рассмотрим следующую модель:

mt = 0і +02Уі + 0зй + ?t, (*)

где mt — агрегат денежной массы Ml (млрд. долл.), yt — валовой внутренний продукт (ВВП) (млрд.

Таблица 3.3 Год Vt mt it Год Vt mt it 1960 506.5 141.8 3.247 1961 524.6 146.5 2.605 1962 565.0 149.2 2.908 1963 596.7 154.7 3.253 1964 637.7 161.8 3.686 1965 691.1 169.5 4.055 1966 756.0 173.7 5.082 1967 799.6 185.1 4.630 1968 873.4 199.4 5.470 1969 944.0 205.8 6.853 1970 992.7 216.5 6.562 1971 1077.6 230.7 4.511 1972 1185.9 251.9 4.466 1973 1326.4 265.8 7.178 1974 1434.2 277.5 7.926 1975 1549.2 291.1 6.122 1976 1718.0 310.4 5.266 1977 1918.3 335.5 5.510 1978 2163.9 363.2 7.572 1979 2417.8 389.0 10.017 1980 2631.7 414.1 11.374 1981 2954.1 440.6 13.776 1982 3073.0 478.2 11.084 1983 3309.5 521.1 8.750 Источник: Economic Report of the President, Department of Commerce,

Bureau of Economic Analysis.

а) Найдите оценки коэффициентов регрессии (*). Интерпретируйте знаки коэффициентов.

б) Рассчитайте прогноз спроса на деньги при значениях: (1) у = 1000, і = 10 и (2) у = 2500, і = 5.

в) Рассчитайте эластичность спроса на деньги т по доходам у и по процентным ставкам (9 In m/9 In у, дХпт/дХпі) в двух точках (1) и (2) из б). Сравните результаты.

г) Рассмотрим модель

\nmt = Pi + fa Inyt + /Зз In it + ?t- (**)

Повторите б) и в) и сравните результаты, полученные по разным моделям. Сравните модели (*) и (**)• Какая из них вам представляется более предпочтительной? 3.13.

Рассмотрим классическую модель линейной регрессии у = Х0+є с ограничением Н(3 = г на вектор коэффициентов.

а) Покажите, что оценка метода наименьших квадратов при наличии ограничения /3R, получающаяся из решения соответствующей задачи минимизации, следующим образом выражается через обычную оценку метода наименьших квадратов без учета ограничения 3uR:

3r = Зия + {Х'ХГ'Н' (Я(ҐХ)-'Н')-1 (г - нЪиа).

б) Покажите, что

(ЯЗик - г)' (Н(Х'Х)-1Н'У1 (ЯЗиа " О = e'ReR - е'иаеиа,

где = у - X(3R, еиа = у - - векторы остатков в ре

грессиях с ограничениями и без ограничений, соответственно. 3.14.

Оценивание модели yt = Pi + Pixti + Pz%tz + РіХц + ?t методом наименьших квадратов по 26 наблюдениям дало следующие результаты:

yt = 2 + 3.5 xt2 - 0.7 xt3 + 2.0 xt4 + et, R2 = 0.882

(10) (2 2) (1.5)

(в скобках даны значения t-статистик).

Оценивание той же модели при ограничении Pi = Ра дало следующие результаты:

yt = 1.5 + 3.0 (xt2 + xt4) - 0.6 xt3 + ut, R2 = 0.876.

(2.7) (2 4)

а) Проверьте значимость вектора /3' = (/?г,/?з,Аі) в регрессии без ограничений.

б) Проверьте ограничение р2 = Pa- 3.15.

В таблице 3.4 представлены реальный доход на душу населения у (тыс. долл.), процент рабочей силы, занятой в сельском хозяйстве, X] и средний уровень образования населения в возрасте после 25 лет хг (число лет, проведенных в учебных заведениях) для 15 развитых стран в 1983 г.

а) Проведите множественную регрессию у на константу, X] и хг и проинтерпретируйте полученные результаты.

Таблица 3.4 Страна У XI Х2 Страна У XI х2 1 7 8 9 9 10 6 12 2 9 9 13 10 11 7 14 3 9 7 11 11 11 6 И 4 8 6 11 12 12 4 15 5 8 10 12 13 9 8 15 6 14 4 16 14 10 5 10 7 9 5 11 15 12 8 13 8 8 5 11 б) Определите s2, s\ и s\ .

РI 02

в) Почему, как правило, константа 0о не играет существенной роли при рассмотрении регрессии?

г) Постройте 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов и вычислите коэффициент детерминации R2 и скорректированный коэффициент детерминации R^.

д) Проверьте па 5%-ном уровне значимость коэффициентов 0j,02- 3.16. Вместо того, чтобы оценивать параметры /3,, /32 в модели

у = Х./3, +Х20г + е, (*)

(Хі.Хг — п х fcj, п х fc2 матрицы, соответственно, /3и/32 — векторы размерности к\,к2, соответственно), строятся МНК-оценки этих параметров исходя из модели

у = ХЇ/31+Х2/32 + е*, (**)

где — матрица остатков, полученных в результате регрессии каждого столбца матрицы Х\ на Х2.

а) Покажите, что полученная таким образом оценка вектора /32 совпадает с оценкой, полученной в результате регрессии у только на Х2.

б) Найдите смещение оценки вектора /32.

в) Покажите, что МНК-оценки вектора /3,, построенные по моделям (*) и (**), совпадают. 3.17.

Строится регрессия nxl вектора у на n х к матрицу регрессоров X и вычисляется коэффициент детерминации R2. Затем к матрице X добавляется дополнительный (к + 1)-й столбец, проводится регрессия у на новую матрицу и вычисляется коэффициент детерминации R%. При каких условиях R2 = R%! 3.18.

Рассматривается стандартная линейная модель множественной регрессии у = Х0 + є, где X — п х к матрица ранга к.

а) Пусть G — к х m матрица, имеющая ранг т < к, и пусть L = {/3 : /3 = Gf для некоторого 7}. Постройте тест для проверки гипотезы Но : /3 € L против альтернативы Ні : /3 ^ L.

б) Пусть матрица X разбита на две матрицы X = (Xi Х2), где Xj — п х кі матрица, Х2 — пхкъ матрица, и пусть = q2 = Х2Т2, где г,, г2 — известные векторы. Рассматривается новая модель у = atiqj + at2q2, где сщ,си2 — скалярные параметры.

Каким образом, используя результаты а), можно проверить, является ли новая модель приемлемой? 3.19.

Покажите, что при добавлении в модель регрессора скорректированный коэффициент детерминации R^ увеличивается тогда и только тогда, когда t-статистика оценки коэффициента при этом регрессоре по модулю превосходит единицу. 3.20.

Оценивание четырех регрессионных моделей на основании 40 наблюдений дало следующие результаты:

W = 20 + 0.8 AGE + 3.7 EDU, R2 = 0.40,

(5.0) (0.09) (I 31)

In и/ = 3.2 + 0.10 In AGE + 0.19 In EDU, R2 = 0.71,

(3.0) (0 009) (0.03)

W = 20 + 0.6 AGE + 0.4 EXP, R2 = 0.59,

(0 3) (0.09) (0 12)

W = 2.05 + 0.5 AGE + 0.6 EDU + 0.2 EXP, R2 = 0.63

(0 4) (0.19) (0.35) (0 13)

(в скобках указаны стандартные ошибки), где W — зарплата работника, AGE — его возраст (в годах), EDU — уровень образования (число лет, проведенных в учебных заведениях), ЕХР — стаж работы.

а) Сравните эти четыре регрессии с точки зрения их качества и прогностической силы.

б) Дайте интерпретацию коэффициентов при переменных AGE и \nAGE в первом и втором уравнениях соответственно. 3.21.

Рассмотрим 3 модели

а

Vt = ~t+st,

у, = ад1 +?t,

0

yt=a + -^+et.

где I = 1,... ,7\ є ~ N(0,a2I). Во втором уравнении д — известная константа.

а) Покажите, что МНК-оценка параметра а в первом уравнении не может быть состоятельна. Верно ли то же самое для второго уравнения?

б) Являются ли состоятельными МНК-оценки параметров а и 0 в третьем уравнении?

Указание. t~2 = тг2/6, Г4 = тг4/90. 3.22.

Пусть истинная модель, yt = ft+ftxt2+ftIt3 +/?4®t4 удовлетворяет условиям теоремы Гаусса-Маркова. Оценки ft, ft. ft являются МНК-оценками в регрессии у на xi и хз. Покажите, что

Eft = ft + ft%-^i.

2^t=I rt2

где Г(2 — МНК-остатки в регрессии хг на хз.

Указание. Покажите сначала, что МНК-оценка коэффициента ft в уравнении yt = 01 + ftxt2 + ftx»3 + ?t представляется в виде

З _ ЕГ=і ri2Vt

Р* - V" г2 • Z^t=l t2 3.23.

Рассматривается классическая линейная нормальная модель у = Х/3 + є, V(e) = 2J, причем известно, что 5 2 2 4

Х'Х =

и ft = 3, ft = 2. а) Постройте 95%-ный доверительный интервал для в = 0г + ft.

fft

ft

б) Постройте 95%-ную доверительную область для вектора

3.24. Для города и для деревни рассматриваются две модели парной регрессии. 20 наблюдений для города дали следующие результаты: '20 20' 10' 20 25 , х у = 20 у'у = 30,

Х'Х = 10 10 '8' — 10 20 , X у = 20 у'у = 24.

а 10 наблюдений для деревни Х'Х = На 95%-ном доверительном уровне проверьте гипотезу о том, что эти две модели совпадают.

3.25. Проведены две регрессии ежеквартальных данных со второго квартала 1990 г. по третий квартал 2001 г. Они имеют следующий вид: Л2 = 0.82, R2 = 0.75.

у = 40 + О.Зжг + 0.8ж3 - 1-8x4, у = 60 + О.бжг + О.бжз, Для первой регрессии проверьте (на 95%-ном уровне значимости) гипотезу Но: /?4 = 1. 3.26.

Известно, что процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается классической линейной моделью регрессии у = Х/З + є. Оценка /Зд получается регрессией у на X (МНК-оценка) при ограничении Н/З = г. Найдите матрицу ковариаций V(/3ft) и сравните ее с матрицей ковариаций V(/3) — МНК-оценки в регрессии без ограничений. Как полученный вами результат соотносится с теоремой Гаусса- Маркова? 3.27.

При каких условиях добавление в уравнение еще одного регрес- сора не изменяет коэффициент детерминации? 3.28.

Оценивание производственной функции по методу наименьших квадратов дало следующие результаты:

In Q = 1.37 +0.632 In К + 0.452 In L, R2 = 0.98, Cov(0KJL) = 0.055

(0 257) (0 219)

(в скобках даны стандартные ошибки). Проверьте гипотезы:

а) эластичности по труду и каииталу совпадают;

б) выполнено свойство постоянства отдачи на масштаб. Замечание. В задаче не указано число наблюдений. Будут ли ваши выводы зависеть от этого числа? 3.29.

Рассматривается стандартная линейная регрессионная модель

yt = a + /3xt+ Swt + 0zt + et.

а) Какую регрессию следует осуществить, чтобы учесть (истинную) информацию, что /3 = 2(5?

б) Будет ли коэффициент детерминации R2 этой регрессии (п. а)) больше, меньше или равен В? исходной регрессии?

в) Будут ли оценки параметра в в исходной модели и в п. а несмещенными?

г) Будет ли дисперсия этой оценки (п. а)) больше, меньше или равна дисперсии оценки в в исходной регрессии. Объясните на содержательном уровне. 3.30.

В файле gnovgorod. хів содержатся данные по стоимости квартир в Новгороде.

а) Постройте и оцените минимальную модель, с помощью которой вы сможете оценить параметр г, равный относительному приросту стоимости квартиры при добавлении к ней комнаты площадью 18 кв.м.

б) Найдите 95%-ный доверительный интервал для г.

в) Помогает ли включение в модель дополнительных параметров более точно оценить параметр г?

г) Можете ли вы предложить модель, в которой параметр г был бы одним из коэффициентов? Изменяется ли при этом способе оценивания доверительный интервал?

д) Зависит ли параметр г от количества комнат в квартире? Почему? 3.31.

В примере рассматриваютсятся данные по стоимости квартир в Москве, собранные студентами первого курса РЭШ осенью 1997 г. Описание переменных содержится в таблице 3.5-

Данные находятся в файле flat98s.xle Упражнения 101 Таблица 3.5 Переменная Описание TOTSP Общая площадь, кв.м PRICE Цена квартиры, тыс. долл. ROOMS Количество жилых комнат LIVSP Жилая площадь, кв.м KITSP Площадь кухни, кв.м DIST Расстояние до центра, км METRDIST Расстояние до ближайшей станции метро, мин WALK 1, если пешком от метро, 0 — иначе BRICK 1, если дом кирпичный, 0 — иначе TEL 1, если есть телефон, 0 — иначе BAL 1, если есть балкон или лоджия, 0 — иначе FLOOR 0, если квртира находится на первом или последнем этаже, 1 — иначе а) Постройте модель стоимости квартиры (или стоимости квадратного метра жилой площади квартиры) в зависимости от имеющихся параметров.

б) Проверьте гипотезу, что модели для 1, 2, 3-4-комнатных квартир различаются между собой, т. е. гипотезу, что рынок распадается на рынки однокомнатных, двухкомнатных и трех-четырехкомнат- ных квартир.

3.32. (автор — Arthur van Soest, Tilburg University) Введение. Рассматриваемые здесь упражнения в значительной мере опираются на статью (Mankiw et al., 1992) и направлены на проверку полученных там результатов (в первую очередь, с точки зрения здравого экономического смысла). В цитированной статье изучается расширенный вариант модели экономического роста Солоу. Основным объектом, изучаемым в модели Солоу, является удельная величина валового внутреннего продукта (ВВП) в стационарном состоянии. Таким образом, модель объясняет различие в уровне благосостояния разных стран в долговременном плане. Обобщение модели Солоу в работе (Mankiw et al., 1992) состоит в том, что в отличие от первоначальной модели здесь допускаются инвестиции не только в физический, но и в человеческий капитал. Приведенный там эмпирический'анализ основан на межстра- новых данных, взятых из работы (Summers, Heston, 1988). Мы также будем использовать эти данные.

Обобщенная модель Солоу. Дадим краткое описание обобщенной модели Солоу, предложенной в работе (Mankiw et al., 1992). Исходная модель Солоу изложена во многих учебниках по макроэкономике (см., например, (Romer, 2001)). Предполагается, что в каждый момент времени t производство задается производственной функцией Кобба-Дугласа с постоянной отдачей на масштаб:

У, = K?H?(AtLt)l-u~0.

где У — выпуск, К и Н -- объем физического и человеческого капитала, соответственно, L — труд, а переменная А описывает уровень технологии. Предположение о постоянстве отдачи на масштаб позволяет оперировать с удельными величинами (на единицу эффективного труда):

У К Н v-ttkmAL'hmAL-

Будем также считать, что выполнены следующие условия: -

фиксированные доли s^, sh суммарного выпуска У инвестируются н физический и человеческий капитал, соответственно;

Lt = Loent, где п — скорость роста населения; -

At = AQeqt, где g — скорость роста технологического уровня; -

интенсивность амортизации 6 одинакова для физического и человеческого капитала.

Из этих предположений вытекает, что эволюция капитала описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

к = зісУі - (п + у + 5)kt,

ht = sityt - (n + g + 8)ht?

Стационарное состояние характеризуется условиями kt = ht = 0. 3.32.1. Покажите, что в стационарном состоянии выполнено равенство

ln!/t = ; —s(a ,n sk + p\nsh-(a + p) ln(n + g + 6)). (3.51)

1 — at — p

Равенство (3.51) устанавливает соотношение (в стационарном состоянии) между благосостоянием страны, скоростью роста ее населения и интенсивностью инвестиций в физический и человеческий капитал. Следствием этого соотношения является то, что и в долговременном плане можно ожидать сохранение различия в уровне благосостояния разных стран.

Модель также позволяет описать траекторию сходимости к стационарному состоянию. Пусть у* — значение yt в стационарном состоянии. Тогда можно показать, что имеет место следующее приближенное соотношение:

^-AOny'-ln*),

где А = (п + д + In yt = (1 - е~м In у* + e~At In уо). (3.52) 3.32.2.

Покажите, что из (3.51) и (3.52) вытекает следующее уравнение для траектории сходимости:

Уо

х 11 _ * _ ^(alnafc + 0\nsh - (a + 0)ln(n + g + 6)) - lny0| • (3.53)

Данные. Используются данные, извлеченные из архива журнала Journal of Applied Econometrics. Они соответствуют работе (Durlauf, Johnson 1995). Начало этим исследованиям положила работа (Summers, Heston 1988). Единицей наблюдения является страна, даны результаты наблюдений 121 страны. Используются переменные, перечисленные в таблице 3.6.

Все данные, за исключением LIT, взяты из работы (Mankiw et al., 1992); переменная LIT взята из доклада Всемирного банка. Данные содержатся в файле growth.xls. Список стран приведен в приложении к работе (Mankiw et al., 1992). 3.32.3.

а) Вычислите суммарные статистики всех переменных. Проверьте, имеют ли смысл ваши результаты.

б) Вычислите корреляционную матриц всех переменных. Дайте интерпретацию наиболее важных результатов. Соответствуют ли они тому, что вы ожидали? 104 Гл. 3- Модель множественной регрессии Таблица 3.6 Переменная Описание NUM номер страны в базе данных Summers, Heston (1988) NOIL 1 для страны, не добывающей нефть, 0 — для добыва ющей INTER 1 для страны с хорошим качеством данных, 0 — в про тивном случае OECD 1 для страны, входящей в Организацию экономическо го сотрудничества и развития, 0 — в противном случае GDP60 ВВП на душу населения в 1960 г. (долл.) GDP85 ВВП надушу населения в 1985 г. (долл.) GDPGRO средний рост ВВП надушу населения с 1960 по 1985 г. (%) POPGRO средний рост работоспособного населения с 1960 по 1985 г. (%) IONY средняя доля инвестиций (включая государственные) в общем объеме ВВП с 1960 по 1985 г. (%) SCH средняя доля населения, продолжающего получать об разование одновременно с работой с 1960 по 1985 г. (%) LIT доля людей среди населения старше 15 лет, умеющих читать и писать в 1960 г. Анализ стационарного состояния. Если предположить, что в 1985 г. страны достигли стационарного состояния, то мы можем использовать достигнутый в 1985 г. уровень ВВП для оценивания уравнения (3.51). Поскольку мы используем данные, относящиеся к одному и тому же году, то индекс t можно опустить. Уравнение (3.51) переписывается в следующем виде:

In GDP85 = 7Г0 Ч- 7Гі In sk + л*2 In sh + щ ln(n + g + J), (3.54)

где ло = In До + gt — постоянный член. При оценивании уравнения (3.54) представляется разумным в качестве s* использовать переменную IONY, а в качестве sh переменную SCH. Мы не наблюдаем величины д и S, поэтому будем считать, как в работе (Mankiw et al., 1992), что д = 2% и 6 = 3%. В качестве п берется переменная POPGRO.

3.32.4 а) Оцените уравнение (3.54), используя данные по всем странам, за исключением тех, для которых пропущены наблюдения какой- либо переменной.

б) Исходная модель Солоу не включает человеческий капитал. Оцените уравнение (3.54), удалив переменную In SCH. Сравните с результатом, полученным в п. а). В чем состоит основное различие? Объясните это различие, используя также результаты упражнения 3.32.3. 3.32.5.

а) Структурная форма (3.51) накладывает некоторое линейное ограничение на параметры яї, тг2, тг3 приведенной формы. Что это за ограничение?

б) Протестируйте (на 5%-ном уровне значимости) выполнимость этого ограничения.

в) Оцените вновь уравнение (3.54), используя это ограничение. Сравните ваш результат с результатом, полученным в упражнении 3.32.4 а).

г) Выразите структурные параметры а и 0 через it\, и постройте, таким образом, их оценки. 3.32.6.

а) Добавьте в регрессионное уравнение упражнения 3.32.4 а) фиктивные переменные NOIL и OECD и проверьте их значимость.

б) Проверьте, является линейная спецификация (3.54) разумной, добавляя квадраты независимых переменных и перекрестные члены. 3.32.7.

Согласно «золотому правилу накопления капитала», доли инвестиций sfc, sh должны выбираться таким образом, чтобы в стационарном состоянии величина с = (1 — s* — sh)y была максимальна.

а) Найдите теоретические оптимальные значения величин s*, sh.

б) Используя оценки, полученные в упражнении 3.32.5, проверьте, удовлетворяют ли в среднем инвестиции в физический капитал «золотому правилу».

Рост ВВП. Уравнение (3.53) служит основой эмпирического анализа роста ВВП в период с 1960 (t = 0) по 1985 г. (t = 25). Заметим, что уравнение (3.53) можно переписать следующим образом:

GDP85

In GDp6Q = Wo + Wi \nsk+ir2\nsn+ir3\n(n+g+S)+ir4\nGDP60. (3.55)

При оценивании этого уравнения будем использовать тс же предположения, что и в предыдущих разделах. Так, например, д — 2%, 6 = 3% и т. д. 3.32.8. а) Оцените уравнение (3.55), интерпретируйте результат.

б) Исходная модель Солоу не включает человеческий капитал. Оцените уравнение (3.55), удалив переменную In SCH. Сравните результат с тем, что получен в п. а). Объясните разницу. 3.32.9.

а) Структурная форма (3.53) накладывает некоторое линейное ограничение на параметры яї, тг2, т3 приведенной формы. Что это за ограничение?

б) Протестируйте (на 5%-ном уровне значимости) выполнимость этого ограничения.

в) Оцените вновь уравнение (3.55), используя это ограничение. Сравните ваш результат с результатом, полученным в упражнении 3.32.8 а).

г) Используя результат п. в), постройте оценки структурных параметров А, а, 0. Проинтерпретируйте результаты. Сравните ваши оценки параметров а, 0, с оценками, полученными в предыдущих упражнениях. 3.32.10.

а) Добавьте фиктивные переменные NOIL и OECD в уравнение упражнения 3.32.8 а) и проверьте их значимость.

б) Проверьте, является линейная спецификация (3.55) разумной, добавляя квадраты независимых переменных и перекрестные члены. 3.32.11.

а) Оцените уравнение (3.55) отдельно для стран — членов OECD и для стран — нечленов OECD и проинтерпретируйте результаты.

б) Проверьте, совпадают ли коэффициенты уравнения (3.55) (за исключением свободного члена) для стран — членов OECD и для стран — нечленов OECD. 3.32.12.

Выберите наилучшее, с вашей точки зрения, уравнение и постройте 95%-ный доверительный интервал для скорости сходимости А. Проинтерпретируйте результат.

3.33. Рассматривается информация о стоимости коттеджей в Московской области по Киевскому направлению (по данным строительной компании «Стройсервис», осень 1997 г.).

Данные находятся в файле villa.xls. Переменные описаны в таблице 3.7. Упражнения 107 Таблица 3.7 Переменная Описание N Номер по порядку Price Цена в тыс. долл. Dist Расстояние от кольцевой автодороги в км House Площадь дома в кв.м Area Площадь участка в сотках Подберите функциональную форму зависимости цены коттеджа от его параметров, учитывая такие факторы, как ^-статистики и коэффициент детерминации R2.