Упражнения 11.1.

Покажите, что суммарное влияние х на у в модели (11.3) равно В(1)/А(1). 11.3.

Покажите, что уравнение (11-3) устойчиво, если выполнено условие: все корни многочлена А(х) = 1 - асіх - • • • - архр лежат вне единичной окружности. 11.4.

Выведите формулы, выражающие переменные xot, ? ? ? ,xrt в уравнении (11.7), через переменные xt,xt-l,. ? ? ,Xt-g из уравнения (11.5). 11.5.

Выведите формулу для дисперсии (11.12). 11.6.

Покажите, что для случайных величин, удовлетворяющих уравнению (11.11), при условии существовании момента ) выполнено:

а) plim(l/n)?j/t_iet =0.

б) p]xm(l/n)j:yli=^/(l-02)- 11.7.

Докажите формулы (11.16) и (11.17). 11.8.

Докажите, что многочлен

A(L) = (1 - фіЬ - фгі7) = (1 - AiL)(l - Х2Ь)

обратим, тогда и только тогда, когда |Аі| < 1 и |Аг| < 1. 11.9.

Покажите, что тестирование наличия одного единичного корня в процессе AR(р) можно свести к тесту ADF, приведя уравнение к виду, аналогичному (11.52) для AR(2) модели. 11.10.

Вычислите частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для AR(1) процесса. 11.11.

Покажите, что автокорреляционная функция стационарного процесса AR(2) убывает экспоненциально в случае, когда характеристические корни Ф (L) = 1- фіЬ- ФІЬ2 действительны, или изменяется по синусоиде с экспоненциально убывающей амплитудой, когда корни комплексные. 11.12.

Покажите, что условия (11.76) стационарности процесса AR(2) эквивалентны тому, что оба корня характеристического уравнения Ф(L) = 1 - фхЬ - фіЬ2 = 0 лежат вне единичной окружности. 11.13.

Вычислите частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для AR(2) процесса. 11.14.

Примените процедуру вычисления выборочного частного коэффициента корреляции (см. п. 4.3) для стационарного ряда Yt. Покажите, что к-е значение выборочной частной автокорреляционной функции PACF(fc) вычисляется как МНК-оценка последнего коэффициента 0к в AR(к) регрессионном уравнении:

Vt = А) + PiVt-i + lhyt-2 + ? • • + 0kVt-k + fill.15. Покажите, что для MA(g) процесса ACF(fc)=0 при к > q. 11.16.

Сформулируйте условия обратимости МА(2) процесса. 11.17.

Покажите, что для AR(1) процесса (11.67) в виде yt - ц. = ФіІУг-і — у) + ?t прогноз на s шагов вперед вычисляется по формуле уп+5 — Ц+Ф\(Уп — м), а дисперсия ошибки прогноза равна V(en+e) = (1 + 4?1+ф\ + ...+ф2-2)а2. 11.18.

Покажите, что для МА(1) процесса (11.78) прогноз на s шагов вперед вычисляется по формулам yn+i = 8 — ві?п, yn+a = 8, s > 2, а дисперсия ошибки прогноза равна V(en+e) = (1 + в2) a2 = V(yt). 11.19.

Выведите формулы (11.104), (11.105). 11.20.

Вычислите автокорреляционную функцию ACF(fc) и частную автокорреляционную функцию PACF(fc) для МА(2) процесса. 11.21.

Покажите, что остатки при оценивании методом наименьших квадратов уравнений

yt = ayt-1 +0xt + ?t, Ayt = Ш-i + P*t + ?u

совпадают. (Здесь Ayt =yt- 3/t-i) 11.22.

Пусть yt = 1 + 0.4j/t_! + 0.3yt_2 + ut — AR(2) процесс, где ut — независимые N(0,1) случайные величины. Вычислите прогнозные значения

E(j/t | j/t-i), Е(yt I j/t—її 2/4—2)1 E(j/t I j/t-b3/t-2,3/t-3).

11.23. Даша линейная модель

yt = 0ixt +02Vt-i + tit, ut=put-i+fft,

где 0<р<1ие — гауссовский белый шум. Проводятся две регрессии: для исходных величин и их разностей, т. е.

(*)

Vt = 0lXt +02Vt-l +«t, Ayt = 0iAxt + 02Ayt-i + vt,

где Vt = (р - l)ut_l + ?f

а) Покажите, что в обеих регрессиях (*) и (**) МНК-оценки вектора /3 — [01 02]' будут смещенными и несостоятельными.

б) Покажите, что смещение в регрессии (*) не снижается до нуля, когда р —? 1.

в) Предложите оценку вектора /3 с помощью инструментальных переменных и покажите, что она состоятельна.