Упражнения 12.1.

Докажите равенства (12.20).

(Указание. Воспользуйтесь равенством ф'(и) = —иф(и).) 12.3.

Докажите равенство (12.33). 12.4.

Проверьте справедливость представления (12.35). 12.5.

Рассмотрим модель бинарного выбора P(yt — 1) — F(a + (3dt), где d — фиктивная переменная (принимающая значения 0 или 1). Ниже представлены результаты 100 наблюдений: У

0 1 0

d

1 20 32 36 12 а) Оцените параметры а, /3, используя logit-модепъ. Проверьте гипотезу Но: Р = 0.

б) Повторите а) для probit-модели. Изменяются ли ваши выводы? 12.6.

Докажите вогнутость (по 0) логарифмической функции правдоподобия для ioРассмотрим простейшую tobtt-модель: j/j = а + где et ~ N(0,a2)t и yt = yt\ если yt* >0, yt = 0, если yt* ^ 0.

Даны результаты 30 наблюдений переменной ус. 0.768 2.911 0.461 0.000 0.678 0.000 0.000 1.233 1.868 0.709 0.000 0.000 1.010 0.000 1.422 1.543 4.411 2.385 0.000 2.487 3.469 1.778 2.931 1.283 0.000 0.060 3.198 5.546 1.546 4.680 а) Вычислите МНК-оценку параметра а по цензурированным наблюдениям yt- Будет ли эта оценка завышена или занижена по сравнению с истинным значением а?

б) Повторите а) для усеченных на уровне 0 наблюдений yt.

12.8. В таблице приведены 100 наблюдений бинарных переменных Количество наблюдений У х z 12 0 0 0 10 0 0 1 20 0 1 0 0 0 1 1 8 1 0 0 28 1 0 1 22 1 1 0 0 1 1 1 а) В рамках Zogti-модели Р(у = 1) = Л(а + (Зх + 7г) тестируйте значимость влияния г на у.

б) В рамках линейной модели вероятности Р(у = 1) = а + /Зх + 72 тестируйте значимость влияпия г на у. 12.9.

Запишите функцию правдоподобия для оценки параметров (/3, а2) модели

УІ = x't(3 + ?(, (у<*— ненаблюдаемая переменная),

yt = тах{у4",с}, где с ф 0, Ее = 0, V(e) = а21. 12.10.

Пусть УЇ = 01+ 02it2 + (hxa + «t> где ut ~ N(0, а2) и ut независимы.

1) Бинарная переменная d определяется следующим образом: случае.

d = fl, если J/( >0, 10, в противном а) Выпишите вероятность того, что dt = 1, как функцию переменных Xti.

б) Какие параметры вы можете оценить по наблюдениям (ХЦ, dt)?

в) Найдите выражение для асимптотической матрицы ковариаций оценок максимального правдоподобия в этом случае.

г) Вы хотите проверить гипотезу, что переменная Х(2 незначима. Опишите процедуру проверки этой гипотезы с помощью теста отношения правдоподобия.

2) Пусть

(t/t*, если уі > 0,

„

0, в противном случае.

а) Какие параметры можно оценить по наблюдениям (х(,у()?

б) Найдите выражение для предельного эффекта фактора х(з для У» и у'.

в) Повторите процедуру проверки гипотезы О незначнмости Х(2 из п. 1 г) в данном случае. Какой из этих двух тестов выглядит для вас более предпочтительным?

12.11. Дано п = «і + «2 + пз наблюдений переменных х и у. Известно, что для пі наблюдений у = 1 и х = 1, для п2 наблюдений у = 0 и х = 1, для п3 наблюдений у = 0 и х = 0. Покажите, что как для logit-, так и для probtt-модели, уравнение правдоподобия не имеет решения. 12.12.

Покажите, что логарифмическая функция правдоподобия для prvbit-модели является вогнутой (по 0) функцией.

Указание. Покажите, что при любом х выполнено неравенство х + <р(х)/Ф(х) > 0, и воспользуйтесь этим фактом. 12.13.

Модель бинарного выбора описывается стандартным образом: Vt =

1, если У( > 0,

0, в противном случае, где Уі = x't0 + ?(, а ошибки et имеют распределение Лапласа.

а) Найдите логарифмическую функцию правдоподобия для оценивания вектора 0. Является ли эта функция вогнутой по 01

б) Предположим, что вы оценили вектор 0, используя probit-модель, и эти оценки примерно пропорциональны оценкам, полученным с помощью исходной модели. Чему приблизительно должен быть равен коэффициент пропорциональности?

12.14. Пусть у* = x't0 + ?(, где ошибки et имеют плотность распределения /(і) и

а) Найдите распределение yt.

б) Найдите логарифмическую функцию правдоподобия для оценивания вектора 0.

в) Найдите (ЭЕу)/(дх). 12.15.

Докажите, что в (12.40) случайные величины к< и т], независимы. 12.16.

Расходы домашних хозяйстве Нидерландах (см. начало в упражнении 6.14).

Расходы на отдых и модели с усеченными переменными. Не все семьи расходуют деньги на отдых. В нашем случае v3 = 0 для 22.5% наблюдений. В этом разделе мы рассмотрим модели бинарного выбора для ответа на вопрос, тратит какие-нибудь средства на отдых или нет, игнорируя информацию о размерах этих затрат. Мы рассмотрим также tobit-модель, в которой явно учитывается смешанный дискретно- непрерывный тип переменной v3. 12.16.1.

а) Постройте фиктивную переменную у, такую что у = 1, если «3 > 0 и у = 0, если «3 = 0.

б) Оцените линейную модель вероятности для у (выберите подходящий набор объясняющих переменных среди тех, что использовались в упражнениях 6.14.1-6.14.10). Проинтерпретируйте результаты. Как вычислены стандартные ошибки? Почему?

в) Найдите прогноз для у, основываясь на линейной модели вероятности. Находятся ли прогнозные значения в интервале от 0 до 1? 12.16.2.

а) Оцените probit-моделъ для у. Проинтерпретируйте результаты

б) Проверьте совместную значимость переменных в модели п. а).

и) Используя стратегию «от общего к частному», постройте подходящую ргоЬй-модепъ для у. Проинтерпретируйте результаты. Используйте эту модель в последующих упражнениях.

г) Найдите прогноз ДЛЯ уІ, т.е. оценки вероятностей событий Уі = 1. Вычислите также коэффициент детерминации для этой probit- модели. 12.16.3.

а) Повторите упражнение 12.16.2, используя logit-моделъ вместо probit-модели.

б) Сравните результаты линейной модели вероятности, probit- модсли и ta/it-модели. 12.16.4.

а) Оцепите tobit-модель для переменной у = In(v3 +1), используя регрессоры, выбранные ранее в упражнении 12.16.2.

б) Сравните результаты линейной модели вероятности, probit- модели, logit-модели и tobit-модели.

12.17. В Великобритании подростки в 16 лет делают важный выбор дальнейшей карьеры. В этом возрасте все они сдают специальный экзамен.

Здесь используются данные Британского национального опроса (UK National Child and Development Survey). Они содержат информацию о людях, родившихся в Великобритании в марте 1958 года. Детальное описание данных можно найти в статье (Micklewright, 1986). Данные о респондентах собирались в разные моменты их жизни. В упражнениях используются данные о юношах и девушках (подвыборка тех, кто живет не в Шотландии). Большинство значений переменных относится к шестнадцатилетнему возрасту. Файл choice. xls6 содержит следующие переменные (см. таблицу 12.3):

Таблица 12.3 Переменная Описание a*16 Решение, принятое в 16-летнем возрасте (1 — продол жать учебу, 2 — совмещение учебы н работы, 3 — ра ботать полный рабочий день) able 7 Результат теста общих способностей, проводящегося в 7-летнем возрасте loginc Логарифм дохода семьи (в 16 лет) ctratio Число учеников на одного учителя в школе (показа тель, отражающий качество школы) oldsib Число старших братьев и сестер (в 16 лет) yngsib Число младших братьев и сестер (в 16 лет) etot Число полученных на выпускных экзаменах высших оценок (экзамен проводится в 16 лет, до принятия ре шения о продолжении учебы) female Пол (1 — для девушек, 0 — для юношей) 12.17.1. Вычислите описательные статистики переменных как для всей выборки, так и отдельно для девушек и юношей. Постройте гистограммы значений переменной а?16 отдельно для юношей и девушек. Интерпретируйте результаты. 12.17.2.

Сконструируйте переменную school, равную 1, если atl6 = 1, и равную 0 в противном случае. Оцените /o^tt-регрессию переменной school на все остальные переменные и интерпретируйте результаты. Согласуются ли они с вашими ожиданиями? 12.17.3.

Повторите упражнение 12.17.2, используя probit вместо logit.

Выберите из logit- и probit-моделей более подходящую. Проверьте, одинаково ли влияет на принятие решения о продолжении учебы наличие в семье старших и младших братьев и сесгер. 12.17.5.

Оцените logit- или probit-модель раздельно для юношей и для девушек (не забудьте удалить из списка объясняющих переменных переменную female). Прокомментируйте различия в результатах оценивания. 12.17.6.

Проверьте гипотезу о применимости общей модели для всех подростков против гипотезы о том, что нужно использовать разные модели для юношей и для девушек (используйте тест отношения правдоподобия). 12.17.7.

Используя наиболее подходящую, с вашей точки зрения, модель, вычислите прогнозную вероятность продолжить учебу для юноши и девушки со средними характеристиками. Также вычислите влияние па эту вероятность наличия в семье еще одного младшего брата (сестры). 12.17.8.

Рассмотрите тех подростков, для которых school = 0, постройте неременную job, равную 1, если atl6 = 3 (полный рабочий день), и О, если atl6 = 2 (совмещение работы и учебы). Проделайте упражнения 12.17.1-12.17.7 и проанализируйте, какие факторы влияют на выбор между работой и совмещением работы и учебы. 12.17.9.

Используя наиболее подходящие, с вашей точки зрения, модели, вычислите прогнозную вероятность выбрать полный рабочий день (school = 0 и job = 1) для юноши и девушки со средними характеристиками. Также вычислите влияние на эту вероятность одного дополнительного младшего брата (сестры).