Упражнения 2.1.

?У2 = 526, ?Л"2 = 657, ?ЛТ = 492, Y. Y = 64, ? X = 96.

Оцепите регрессию Yt = а + (5Х, + et и проверьте гипотезу, что коэффициент 0 район 1.0. 2.2.

Покажите, что 0 = гху — , где rxy ~ выборочный коэффициент

sx

корреляции между X и У, a sx, sy — стандартные отклонения X и У,

соогвстствеї ню 2.3.

Пусть /3 — оценка коэффициента наклона в регрессии У на X, а 7 — оценка коэффициента наклона в регрессии X на У. Покажите, что /3=1/7 тогда и только тогда, когда В? = 1. 2.4.

Рассмотрим модель Yt = а+/ЗХ?где ошибки являются независимыми одинаково распределенными нормальными случайными величинами. Почему для оценивания параметров нельзя применять метод наименьших квадратов? Выведите уравнение для оценок максимального правдоподобия. 2.5.

Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам?

а У У{ = а- ехр (/ЗХі) ? є і,

б) Yi = а- ехр(-/ЗХі) 4- ?і,

в) У = схр(а + 0Хі + ?»),

г) У4 = а/(0-Х4) + *- 2.6.

Зависимая переменная в регрессии У4 = ос+(ЗХі+Єі разбивается на две компоненты: Yj = Уц + Y-ц. Рассмотрим две регрессии для компонент: Уь = а\ + РіХі+єц и Y-ц = + (hXi + Є2г- Докажите следующие соотношения для МНК-оценок параметров трех регрессий: й = Si + S2; /3 = Ді 2.7.

Уравнение У4 = а + /ЗХі + Єі оценивается методом наименьших квадратов. Остатки регрессии равны е*, у* = У — У, х, = Хі — X, У і = Yt - У — отклонения от средних. Докажите, что следующие меры качества подгонки совпадают:

»> (S>*)Y(5>a s>,2)• б)'(5>*)/(?®?)' в) (2>*)7(?Й• г) 1 2.8.

Выведите непосредственно формулу для оценки коэффициента наклона в регрессии без свободного члена, т. е. найдите оценку параметра /З в регрессии Yt = fiXt+et минимизацией суммы квадратов отклонений

?(У - Yt)2.

2.9. Для наблюдений У X 70 5 65 11 55 15 60 17 50 20 35 22 40 25 30 27 25 30 32 35 вычислите следующие величины:

а) коэффициент детерминации R2 в регрессии У( на Xt при наличии свободного члена;

б) коэффициент детерминации Д2 в регрессии У( на Xt при отсутствии свободного члена;

в) коэффициент детерминации Я2 в регрессии yt на xt при наличии свободного члена, где yt и xt — отклонения переменных Yt и Xt от их средних значений;

г) коэффициент детерминации Я2 в регрессии yt на xt при отсутствии свободного члена.

2.10.

y( = a + 0*,+et> t = l,...,n

удовлетворяет условиям классической регрессии. Рассматривается следующая оценка коэффициента /3:

а) Является ли оценка (3 несмещенной? Является ли она линейной?

б) Вычислите дисперсию оценки /?.

в) Проверьте теорему Гаусса-Маркова, сравнив полученную дисперсию оценки (3 с дисперсией МНК-оценки <т2/ - X)2. 2.11.

Приведите пример набора данных (Xt, Yt), для которого решение задачи поиска параметров а, 0, минимизирующих функционал

F = j2\Yt-(a + f3Xt)\, t=i

не единственно. 2.12.

Рассмотрим модель регрессии на константу

yt=a + ?t, t = l,...,n.

а) Найдите оценки метода наименьших квадратов для а и <т2.

б) Найдите дисперсию оценки а.

о — о

в) Покажите, что статистика имеет распределение t(n — 1).

«а

г) Чему равен коэффициент детерминации Я2? 2.13.

Рассмотрим модель регрессии без константы

Yt = 0Xt + et, t = l,...,n.

а) Найдите оценки метода наименьших квадратов для 0 и а2.

б) Найдите дисперсию оценки 0.

0-0

в) Покажите, что статистика имеет распределение t(n — 1).

30

г) Приведите примеры данных, для которых: значение коэффициента Я2, рассчитанное по формуле R2 = RSS/TSS, отличается от значения R2, рассчитанного по формуле R2 = 1-ESS/TSS; значение коэффициента R2, рассчитанное по формуле R2 = RSS/TSS, больше 1; значение коэффициента Д2, рассчитанное по формуле R2 = 1 - ESS/TSS, меньше 0. 2.14.

Менеджер новой чебуречной не уверен в правильности выбранной цены на чебуреки, поэтому в течение 12 недель он варьирует цену и записывает количество проданных чебуреков. Полученные данные приведены в таблице 2.1 (t — номер недели, qt — количество проданных чебуреков, pt — цена одного чебурека (руб.)).

а) Оцените параметры модели

\nqt=a + 0\npt + ?t, t = 1,...,12. 6) Используя полученные оценки коэффициентов, найдите оптимальную в смысле максимума выручки от продаж цену чебурека.

Таблица 2.1 t Pt 4t t Pt Qi 1 12.3 795 7 12.8 714 2 11.5 915 8 9.9 1180 3 11.0 965 9 12.2 851 4 12.0 892 10 12.5 779 5 13.5 585 11 13.0 625 6 12.5 644 12 10.5 1001 2.15.

а) Найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение (MSE(0) = Е((0 — в)2)) каждой из двух оценок.

б) Какая из двух оценок обладает наименьшей дисперсией? Наименьшим среднеквадратичным отклонением? 2.16.

Так называемая кривая Филлипса описывает связь темпа роста зарплаты и уровня безработицы. А именно,

Swt = 01 + 02— + ?t,

Ut

где wt — уровень заработной платы, Swt = 100(w>t — wt-i)/wt-i — темп роста зарплаты (в процентах) иц - процент безработных в год t. Теория предполагает, что 0\ < 0 и 02 > 0.

Используя данные для страны из таблицы 2.2, ответьте на следующие вопросы:

а) Найдите оценки коэффициентов уравнения и проверьте наличие значимой связи между Sw и и.

б) Найдите «естественный уровень безработицы», т. е. такой уровень безработицы, при котором Sw = 0.

в) Когда изменения в уровне безработицы оказывали наибольшее (наименьшее) влияние на темп изменения зарплаты?

г) Найдите 95%-ные доверительные интервалы для 0\ и 02.

Таблица 2.2 Год t Wt щ Годі w, Щ 1 1.62 1.0 10 2.66 1.8 2 1.65 1.4 11 2.73 1.9 3 1.79 1.1 12 2.80 1.5 4 1.94 1.5 13 2.92 1.4 5 2.03 1.5 14 3.02 1.8 6 2.12 1.2 15 3.13 1.1 7 2.26 1.0 16 3.28 1.5 8 2.44 1.1 17 3.43 1.3 9 2.57 1.3 18 3.58 1.4 2.17. В таблице 2.3 представлены расходы на агрегированное потребление У и агрегированный располагаемый доход X в некоторой национальной экономике в течение 12 лет с 1986 по 1997 г.

а) Изобразите графически зависимость У от Л" и определите, есть ли приближенная линей ная зависимость У от X.

б) Вычислите парную регрессию агрегированного потребления У на X по данным, представленным в таблице 2.3.

в) Вычислите «2,«|,«|.

Таблица 2.3 Год t У» xt Год t yt xt 1986 1 152 170 1992 7 177 200 1987 2 159 179 1993 8 179 207 1988 3 162 187 1994 9 184 215 1989 4 165 189 1995 10 186 216 1990 5 170 193 1996 11 190 220 1991 6 172 199 1997 12 191 225 2.18.

а) Сформулируйте нулевую (основную) и альтернативную гипотезы при проверке статистической значимости коэффициентов регрессии.

б) Какое распределение имеют оценки S и /3?

в) Какое распределение используется при проверке статистической значимости а и /3?

г) Чему равно число степеней свободы?

д) Проверьте на 5%-ном уровне значимость коэффициентов аир.

е) Постройте 95%-ный доверительный интервал для коэффициентов а и 0 в регрессии упражнения 2.17.

ж) Вычислите коэффициент детерминации, используя равенства Я2 = RSS/TSS и Я2 = 1 - ESS/TSS. 2.19.

Дана модель парной регрессии Yt = а 4- 0Xt + t = 1,... ,n, дли которой выполнены стандартные условия классической линейной модели. Известно, что п = 2т. Все множество наблюдений (Yt,Xt) разбито на две группы а и b по m наблюдений в каждой группе. Обозначим Х„,Хь,Уа,Уь выборочные средние наблюдений X.Y по группам а, Ь, соответственно. В качестве оценки параметра /? берется величина (3 = (7а-Уь)/(Ха-Хь).

а) Найдите Е(Д) и У(Д).

б) Каким должно быть разбиение наблюдений на группы а и 6, чтобы дисперсия У(Д) была минимальной? 2.20.

Пусть Yt = 0Xt + 6t> * = 1. • •.n, где E(et) = 0, и матрица кова- риаций вектора є известна. При каких условиях оценки

I v21 „ у*

являются наилучшими среди несмещенных линейных оценок параметра /3? 2.21.

Проведены две регрессии:

Yt = а + (3Xt + с, и Yt =а' +/3'xt + e't, t = l,...,T, где xt = Xt - X.

а) По известным МНК-оценкам а, 0 параметров а, /3 в первой регрессии найдите МНК-оценки 3', /?' параметров а', 0' во второй регрессии.

б) Найдите Cov(fv',/9')- 2.22.

В таблице 2.4 приведены ежегодные значения денежной массы и национального дохода некоторой гипотетической страны (все величины выражены в миллиардах кварков (название национальной валюты)).

Таблица 2.4 Год Денежная Нац. Год Денежная Нац. масса доход масса доход 1981 2.0 5.0 1986 4.0 7.7 1982 2.5 5.5 1987 4.2 8.4 1983 3.2 6.0 1988 4.6 9.0 1984 3.6 7.0 1989 4.8 9.7 1985 3.3 7.2 1990 5.0 10.0 а) Проведите регрессию национального дохода (У) на денежную массу (X) и константу.

б) Постройте 95%-ный доверительный интервал для оцениваемых параметров.

2.23. Два исследователя, работая независимо друг от друга, изучают одну и ту же регрессионную модель

Yt = a + 0Xt+et,

для которой выполнены все условия классической модели. В таблице 2.5 приведены результаты, полученные ими на основе независимых выборок:

Таблица 2.5 Выборка I Выборка II п = 20 п = 20 ?Xt = 100 ?Xt = 200 ? Xt2 = 600 ? Л? = 2400 = 500 ? У* = 500 А = 2 Р\\ = 2.5 Узнав о работе друг друга, они решают вывести единую оценку параметра /3. Первый исследователь предлагает взять

Второй исследователь считает, что весовые коэффициенты первой и второй оценок выбраны неэффективно, и можно построить несмещенную оценку с меньшей дисперсией. Научный руководитель этих исследователей утверждает, что он знает способ еще улучшить общую оценку.

а) Какую оценку предлагает использовать второй исследователь?

б) Какую оценку предлагает использовать научный руководитель?

Оцепите улучшение точности оценок пп. а), б) по сравнению с оценкой 0. 2.24.

Предположим, что модель Yt = а + 0Xt + t = 1,..., п, удовлетворяет условиям классической регрессии. Пусть а, (3 — оценки метода наименьших квадратов. Оценка 0 получена по методу наименьших квадратов при дополнительном (вообще говоря, неверном) предположении, что л = 0.

а) Найдите МНК-оценку 0. При каких условиях она является несмещенной оценкой параметра 0?

б) Найдите дисперсию оценки 0, сравните ее с дисперсией оценки 0.

в) Обсудите, какую из двух оценок лучше использовать. 2.25.

Рассмотрим модель парной регрессии Yt = а + 0Xt + et. Пусть

Zt = Xf. Рассмотрим следующую оценку параметра 0:

g

HU{Zt--2)Xt

а) Покажите, что оценка 0 несмещенная.

б) Найдите дисперсию оценки 0.

в) Не повторяя доказательство теоремы Гаусса-Маркова, непосредственно проверьте, что V(/3) > V(/?ols)-