Упражнения 4.1.

Докажите равенство (4.8). 4.3.

Докажите эквивалентность (4.19) и (4.20).

(Указание. Первое выражение получается из блочного представления матриц; второе получается после замены X и у на их остатки при регрессии на Z.) 4.4.

Предположим, что вы оцениваете линейную функцию потребления Ct = а + /?уе + et среди п индивидуумов. Как учесть возможный сдвиг этой функции при переходе от городского к сельскому потребителю, если вы считаете, что маргинальная склонность к потреблению постоянна, в то время как средняя склонность к потреблению может меняться? Как проверить гипотезу о том, что маргинальные склонности к потреблению индивидуумов с доходом выше и ниже уровня у* отличаются? 4.5.

Рассмотрим регрессию

yt = Pi + fodt + ?t, t = l,...,n,

где d — некоторая фиктивная переменная. Пусть у0 — среднее значение переменной у по по наблюдениям, для которых d = 0 и ух — среднее знамение переменной у по пі наблюдениям, для которых d = 1 (по + п, = п). Найдите V(/?,). V(ft). 4.6.

На основе квартальных данных с 1971 по 1976 г. с помощью метода наименьших квадратов получено следующее уравнение:

yt = 1.12 - 0.0098хп - 5.621(2 + 0.044xt3,

(2 14) (0 0034) (3.42) (0.009)

в скобках указаны стандартные ошибки, RSS = 110.32, ESS = 21.43.

а) Проверьте значимость каждого из коэффициентов.

б) Найдите коэффициент детерминации.

п) Протестируйте значимость регрессии в целом.

г) Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие трем первым кварталам года, величина RSS выросла до 118.20. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые предположения о виде этой сезонности.

д) Для той же исходной модели были раздельно проведены две регрессии на основе данных: 1-й квартал 1971 г.

Процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается соотношениями

IIt = 0\Xtl +02Xt2 + ?t,

E(et) = 0, Е(є2) = ог2, E(ete»)=0, t#s, t = l,...,n.

Обозначим через 0\ МНК-оценку параметра 0\ в этой регрессии, а через 0\ — МНК-оценку параметра 0і в регрессии у только на xi. а) Покажите, что MSE(?)_, ,

= 1 + г?2(«1-1),

MSE(/?i) где

(Е*1*2)2 .2 1%

Г12 — « •> to — б) Рассмотрим смесь оценок/?і = A/?i+(l—Х)0\. При каком значении Л величина MSE(/?i) минимальна? 4.8.

Процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается соотношениям и:

У( = fat + 7 zt + et,

Е(е,) = 0, Е(є?) = ог2, Е(е,е,) = 0, іфз, t = l,...,n.

Переменная x наблюдается с ошибками, т. е. в регрессии могут быть использованы лишь величины wt = xt+ut, при этом предполагается, что ошибки и удовлетворяют условиям E(ut) = 0, E(u2) = о-2, E(utue) = О, t ф s, E(utee) = 0, Vs, t. Проводятся две регрессии: первая - у на z; вторая — у на z и w.

Покажите, что смещение оценки параметра у во второй регрессии меньше, чем в первой. 4.9.

Процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается соотношениями:

Vt = P\*t\ +foxt2 + et,

Е(е,) = 0, Е(є2) = <т2, Е(е,е.) = 0, Іфз, t = l,...,n.

Проводится регрессия у на Х[ и стандартным образом через остатки этой регрессии оценивается дисперсия а2. Покажите, что полученная оценка смещена вверх. 4.10.

Предположим, что некоторые ежегодные данные удовлетворяют соотношениям:

yt = а + 01 xt +02t + et (истинная модель),

причем выполнены все условия классической регрессии. Однако оценивается «неправильная» модель без временного тренда

yt = e + biij + vt.

а) Какие из условий классической регрессии не выполнены для модели без временного тренда?

б) Будет ли равна нулю сумма остатков для этой регрессии? Как это связано с ошибочным предположением, что Е(с() = О?

в) Предположим, что коэффициент 02 положителен и нарисован график остатков регрессии yt = a+biit+i/t как функция времени.

Дана стандартная модель парной регрессии

yt = С*+ /?!(+?(, « = 1,...,П.

а) Чему равна МНК-оценка коэффициента 0 при ограничении a =0?

б) Чему равна дисперсия оценки в а)? Покажите, что она меньше, чем [xt -х)2 — дисперсия МНК-оценки 0 в регрессии без ограничения. Противоречит ли это теореме Гаусса-Маркова? 4.12.

Рассмотрим регрессионную модель

yt =0\Xt\ +02Xt2+?t, t=l,...,n,

в которой переменные представлены в виде отклонений от выборочных

средних (т.е. у = 0, Ї1 = 0, Ї2 = 0)-

а) Покажите, что дисперсии и ковариация оценок метода наименьших квадратов 0i и 02 равны:

а2 ...я. от2

?Г=, х2, (1 " Г?2) ' ' ЕГ=, *?2(1 " Г?2) '

V(0l)=rn _2„ -2l> V(&) =

(1 — rl2)VHt= I Xli Xt2

где

ИГ=гі хаха

'•г - /^ц ч ^л а

Xt\ Х!Г=1 Х?2

— выборочный Коэффициент корреляции между XI и І2-

б) Чему равны дисперсии и ковариация в случае пг = 0? Как это связано с проблемой мультнколлинеарности?

в) Постройте график отношения V(/?i) к значению V(/?i), полученному в б), в диапазоне 0 < гіг < 1. Как этот график связан с проблемой мультиколлинеарности?

г) Что происходит с 95%-ными доверительными интервалами для (Зі и и ковариацией Cov(/?i,/?2) при возрастании г12 в диапазоне О < Г12 < 1 ?

4.13. Некоторая фирма занимается продажей молока. В таблице 4.3 представлены объемы ежемесячных продаж Q (тыс. литров) по различным ценам Р (руб. за литр). Во время пятого, шестого и седьмого месяцев на одном из предприятий фирмы происходила забастовка.

Таблица 4.3 Месяцы Q P Месяцы Q P Месяцы Q P 1 98 10.0 2

100 11.0 3

103 12.5 4

105 12.5 5

80 14.6 6 87 14.6 7

94 14.9 8

113 13.0 9

116 13.0 10 118 13.8 11 121 14.2 12

123 14.4 13

126 15.0 14

128 16.1 С помощью регрессий Q на Р определите:

а) произошел ли сдвиг свободного члена (константы) во время забастовки по сравнению с обычным режимом;

б) произошел ли сдвиг как константы, так и коэффициента наклона при Р.

4.14.

Таблица 4.4. Инвестиции и ВВП США Годы У X Годы У X 1939 9.3 90.8 1947 34.0 232.8 1940 13.1 100.0 1948 45.9 259.1 1941 17.9 124.9 1949 35.3 258.0 1942 9.9 158.3 1950 53.8 286.2 1943 5.8 192.0 1951 59.2 330.2 1944 7.2 210.5 1952 52.1 347.2 1945 10.6 212.3 1953 53.3 366.1 1946 30.7 209.3 1954 52.7 366.3 Источник: D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982.

Напишите и оцените уравнения, позволяющие ответить на вопрос, изменилась ли зависимость инвестиций от валового внутреннего продукта во время войны (1942-1945 гг.) по сравнению с мирным временем.

4.15. В таблице 4.5 представлены квартальные данные об объемах продаж и доходах текстильных корпораций США с первого квартала 1974 г. по третий квартал 1979 г. Введите сезонные фиктивные переменные и с помощью регрессии дохода на объем продаж исследуйте наличие или отсутствие сезонных колебаний.

Таблица 4.5 Годы Кварталы Объем продаж Доход I 242.0 13.5 1974 II 269.4 16.3 III 272.1 15.5 IV 277.0 13.4 I 247.1 9.3 1975 II 265.8 12.4 III 271.0 13.2 IV 281.3 14.2 I 284.2 14.8 1976 II 307.6 18.1 III 301.6 16.0 IV 309.8 15.6 I 311.5 15.6 1977 II 338.6 19.7 III 331.7 16.7 IV 346.2 18.4 I 340.2 16.0 1978 II 377.5 22.1 III 376.9 20.4 IV 401.8 22.6 I 406.2 22.6 1979 II 436.4 26.8 III 437.5 24.8 Источник- D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982.

4.16. Таблица 4.6 содержит данные об объеме импорта у (млрд. долл.), валовом национальном продукте Х] (млрд. долл.) и индексе потребительских цен хг в США за период с 1964 по 1979 г.

Таблица 4.6 Годы У Xi х2 Годы У ц х2 1964 28.4 635.7 92.9 1972 75.9 1171.1 125.3 1965 32.0 688.1 94.5 1973 94.4 1306.6 133.1 1966 37.7 753.0 97.2 1974 131.9 1412.9 147.7 1967 40.6 796.3 100.0 1975 126.9 1528.8 161.2 1968 47.7 868.5 104.2 1976 155.4 1702.2 170.5 1969 52.9 935.5 109.8 1977 185.8 1899.5 181.5 1970 58.5 982.4 116.3 1978 217.5 2127.6 195.4 1971 64.0 1063.4 121.3 1979 260.9 2368.5 217.4 Источник: D.Salvatore.

а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции между Xi и Х2-

б) Оцените регрессию у на константу и xj.

в) Оцените регрессию у на константу и

г) Оцените регрессию у на константу, xi и

Как можно проинтерпретировать полученные результаты? Можно ли ограничиться только одной из регрессий б) или в)?

4.17. В таблице 4.7 представлены выпуск Q, трудозатраты L и капиталовложения К 15 фирм некоторой отрасли.

Таблица 4.7 Фирма Q L К Фирма Q L К 1 2350 2334 1570 9 2550 2446 1880 2 2470 2425 1850 10 2450 2403 1790 3 2110 2230 1150 11 2290 2301 1480 4 2560 2463 1940 12 2160 2253 1240 5 2650 2565 2450 13 2400 2367 1660 6 2240 2278 1340 14 2490 2430 1850 7 2430 2380 1700 15 2590 2470 2000 8 2530 2437 1860 а) Оцените по этим данным производственную функцию Кобба- Дугласа Q = aLfi'K^2, вычислите коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации и выборочный коэффициент корреляции между InL и ln/f.

б) Проведите регрессию 1п<5 только на lnA".

Как можно проинтерпретировать полученные результаты? 4.18.

Можно ли преодолеть проблему мультиколлинеарности, возникающую в упражнении 4.17, если известно, что производственная функция обладает постоянной отдачей на масштаб (0i + 02 = 1)? 4.19.

Пусть у = Х(3 + є — стандартная модель множественной регрессии и /3 — МНК-оценка вектора коэффициентов /3.

а) Покажите, каким образом можно использовать /3 для получения более эффективной оценки параметров /3, если известно, что /3 удовлетворяет линейному ограничению Д/3 = г.

б) Для модели yt = с» + 0xti + 7It2 + ?t по n = 100 наблюдениям получены следующие данные (матрица сумм произведений соответствующих переменных):

У - У Xi — Х\ Х2 — Х2 У - у 2000 100 90 Xl - х, 100 10 5 Х2 -Х2 90 5 5 Проверьте гипотезу Но: 50 = 7 против альтернативы Hj: 50 ф f 4.20.

С помощью обычного метода наименьших квадратов получены две спецификации модели- у = а + 0х + еиу = а*+ 0*х + у *z + и, где е, и — остатки соответствующих регрессий.

а) 0 = 0*;

б) !>??;

в) оценка 0 статистически значима на 5%-ном уровне, а оценка 0* незначима;

г) оценка 0* статистически значима на 5%-ном уровне, а оценка 0 незначима. 4.21.

Дана стандартная модель множественной регрессии у = Х/З + є.

а) Выразите матрицу ковариаций МНК-оценки вектора /3 в терминах собственных значений и собственных векторов матрицы Х'Х.

б) Объясните, как соотносится результат а) с проблемой мультиколлинеарности. 4.22.

Дана модель множественной регрессии у = Jf i/3j + + є> гАе /Зі, /32 — векторы размерности кі, соответственно. Предположим, что у вектора /Зг есть несмещенная оценка /3], некоррелированная с є, с известной ковариационной матрицей Vp

а) Вычислите ковариационную матрицу оценки вектора /32, получаемой регрессией у — Хф1 на

б) Сравните ковариационную матрицу, полученную в а), с ковариационной матрицей МНК-оценки вектора /32 в исходной модели.

в) Можете ли вы предложить более эффективную оценку вектора /32) чем те, что получены в а) и б)?

г) Как полученные результаты связаны с проблемой мультиколли- неарности? 4.23.

Для проверки гипотезы о том, что удельный выпуск Q/L в металлургической промышленности зависит от уровня зарплаты W, на основе межстрановых наблюдений была получена регрессия

In % = 0.374 + 0.805W + е, R2 = 0.929

L (0.049)

(в скобках указана стандартная ошибка).

а) Проверьте гипотезу.

б) Было высказано предположение, что приведенное выше уравнение содержит ошибки спецификации, поскольку оно не учитывает разницу в эффективности между странами, которая оказывает влияние на удельный выпуск и положительно коррелирована с зарплатой. Как это предположение повлияет на ваш вывод? 4.24.

Модель

Vt=P і + (hdt 2 + Mt з + /Mt4 + fat + ?t

оценивается с помощью обычного метода наименьших квадратов на основе ежеквартальных наблюдений, где dti, і = 2, 3, 4 — фиктивные переменные для соответствующих кварталов, т. е.

dt2 = 1, если t — второй квартал, = 0 в остальных случаях,

dtз = 1, если t — третий квартал, = 0 в остальных случаях,

dt4 = 1, если t — четвертый квартал, = 0 в остальных случаях.

а) Почему в модель не включена переменная dt і?

б) Покажите, что оценка ft совпадает с МНК-оценкой коэффициента /? в регрессии уі = a+fixf +ut, где yl — остатки регрессии yt на dt2,dt3,du и константу, &х\ — остатки регрессии xt на dt2,dtz,dtA и константу. 4.25.

В программе исследований к разных удобрений, предназначенных для повышения урожайности лимонных бананов, использованы в опытах на тг = щ + ? ? ? + п^ опытных участках. Удобрение номер s (s = 1,. ., к) использовалось на па опытных участках. Для изучения влияния удобрений использовалась регрессионная модель

yt = Pidn+-+0kdkt, t-l,...,n.

Здесь у — урожайность, ds — фиктивная переменная, равная 1 для участка номер s и 0 в других случаях. Известны выборочные средние у, и стандартные отклонения ss для s = 1,... ,к.

Выразить через известные величины F-статистику для тестирования нулевой гипотезы о равном влиянии всех удобрений (ft = • • • = ft). 4.26.

Вы в скором времени планируете поступить на должность политического аналитика на некую телевизионную станцию. Все телевизионные компании уделяют большое внимание освещению выборов в Конгресс (США), а ваших знаний по этому вопросу недостаточно, чтобы получить эту работу. Поэтому вы решили рассмотреть несколько регрессионных моделей, чтобы подкрепить свое мнение относительно выборов в Конгресс 1996 года.

Вам понадобится три модели. Каждая из них пытается объяснить различия в проценте голосов, отданных Республиканской партии, среди всех 50 штатов. Т. е. все модели включают 50 наблюдений, каждое соответствует одному штату. У вас также есть четыре типа объясняющих переменных: 1)

уровень безработицы для каждого штата; 2)

региональные фиктивные переменные, показывающие, что штат находится на северо-востоке, юге, среднем западе или на западе; 3)

фиктивная переменная, показывающая, что Альберт Гор (вице- президент, демократ) появлялся в этом штате, агитируя за кандидатов в Конгресс; 4)

перекрестные произведения региональных фиктивных переменных и фиктивной переменной Гора.

Три ваших модели отличаются только набором объясняющих переменных:

Модель I содержит переменные 1) и 2). Модель II содержит переменные 1), 2) и 3). Модель III содержит переменные 1) и 4).

а) Запишите уравнение регрессии для каждой из моделей. Это можно сделать разными способами, используйте формулировку, кото- рал вам больше нравится.

б) Укажите, как бы вы тестировали с помощью этих моделей следующие гипотезы (если вы хотите предложить F-тест, укажите регрессию с ограничениями и без ограничений): 1)

появление Гора не оказывает влияния па процент голосов, отданных республиканцам; 2)

вся страна голосует одинаково, без различий по региональному признаку; 3)

северо-восток и средний запад («пояс холода») голосуют одинаково; 4)

«пояс холода» голосует одинаково, «солнечный пояс» (юг и запад) голосует одинаково, но между этими поясами может быть разница; 5)

появление Гора приводит к одному и тому же эффекту для всех регионов.

4.27. На основе квартальных данных с 1971 по 1976 г. с помощью метода наименьших квадратов получено следующее уравнение:

yt = 1.12 - 0.0098iti - 5.62xt2 + 0.044xt3,

(2 14) (0 0034) (3 42) (0 009)

в скобках указаны стандартные ошибки, RSS = 101.32, ESS = 21.43.

а) Проверьте значимость каждого из коэффициентов.

б) Найдите коэффициент детерминации.

в) Протестируйте значимость регрессии в целом.

г) Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие трем первым кварталам года, величина RSS выросла до 118.20. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые предположения о виде этой сезонности.

д) Для той же исходной модели были раздельно проведены две регрессии на основе данных: 1-й квартал 1971 г.-1-й квартал 1975 г. и 2-й квартал 1975 г-4-й квартал 1976 г., соответственно, и получены следующие значения сумм квадратов остатков: ESS1 = 11.25, ESS2 = 2.32. Проверьте гипотезу о том, что между первым и вторым кварталами 1975 г. произошло структурное изменение.

Ниже приведены результаты регрессии W — зарплаты менеджера фирмы, на объем ее продаж S и доход Р (число наблюдений п = 102, в скобках даны стандартные ошибки):

W = 0.50 S + 0.4 Р, е'е = 250, Х'Х = f1.0 ®

(0 83) (0 83) 1_8 10

(для удобст ва все переменные представлены в отклонениях от средних). Ввиду большой зависимости между объемами продаж и доходом возникает проблема мультиколлинеарности, что не позволяет точно оценить соответствующие параметры. Для решения этой проблемы было предложено действовать следующим образом. 1)

Провести регрессию Р на S и получить остатки г. 2)

Провести регрессию W на S и г.

Обозначим результат последней регрессии W = c\S + с^г.

а) Вычислите cj, сг-

б) Дайте оценку предложенному методу как способу борьбы с муль- тиколлинеарностыо.

в) Дайте оценку предложенному методу как способу получения более точных оценок исходных параметров.

Файл usa_import.xls содержит данные об объеме импорта Imp (млрд. долл.), валовом национальном продукте GDP (млрд. долл.) и индексе потребительских цен СР1 в США за период с 1964 по 1979 г.

а) Вычислите выборочный коэффициент корреляции между GDP и CPI.

б) Оцените регрессию Imp на константу и GDP.

в) Оцените регрессию Imp на константу и CPI.

г) Оцените регрессию Imp на константу, GDP и CPI.

Как можно интерпретировать полученные результаты? Можно ли ограничиться только одной из регрессий б) или в)?

4.30. Построение модели цены колготок в московских оптовых торговых фирмах, осень 1997 г. Данные содержатся в файле tights. xls (всего 74 наблюдения). Описание переменных содержится в таблице 4.8.

Таблица 4.8 Переменная Описание N номер но порядку Price цена колготок в рублях 1997 г. DEN плотность в DEN polyamid содержание полиамида lykra содержание лайкры cotton % хлопка wool % шерсти firm фирма-производитель: 0 — Levante, 1 — Golden Lady а) Постройте уравнения зависимости цены колготок от их плотности, состава и производителя. Подберите наиболее подходящую форму модели. Какие проблемы с данными вы при этом встретили?

б) С помощью построенной модели ответьте на вопрос: верно ли, что цены колготок двух фирм-производителей различаются статистически достоверно? Какая из фирм устанавливает более высокие цены?