<<
>>

2. Условные распределения

Рх\у{х | у) =

Рху{х, у) _ Рху{х,у)

Sif« Рху{х, у) dx Ру(у)

называется плотностью условного распределения х при условии, что у = у. Нетрудно проверить, что рх\у(х \ у) при каждом у, таком что Ру(у) ф 0, удовлетворяет (по х) условиям pi), р2).

Пусть dVT, dVy — малые окрестности точек х и у в пространствах Rm и і?" соответственно. Тогда, используя элементарные понятия условных вероятностей и свойства плотности, можно показать, что если совместная плотность непрерывна в точке (х,у), то имеет место приближенное равенство Р(х € dVx \ у € d.Vy) « Рх\у(х \ y)\dVx\, где \dVx\ — объем области dVx, и равенство становится тем точнее, чем меньше области dVx, Условным математическим ожиданием (conditional expectation) случайного вектора х при условии, что у = у, называется функция

Пусть х € Rm и у € Л" — случайные векторы, имеющие плотность совместного распределения рХу{х, у), х € Rm, у € Л". Функция

Условное математическое ожидание при каждом у удовлетворяет тем же условиям Е1)-Е3), что и обычное математическое ожидание. В прикладных областях теории вероятностей h(y) называют функцией регрессии х на у. Если у h(y) в качестве аргумента взять случайный вектор у, то получим случайный вектор h(y), называемый условным математическим ожиданием х при условии у и обозначаемый Е(х | у). Перечислим его основные свойства.

СЕ1) Правило повторного условного математического ожидания: если д: Rn —> Rk — некоторая (неслучайная) функция и z = g(y), то

Е(Е(х | у) | z) = Е(х | z). В частности, Е(Е(х | у)) = Е(х). СЕ2) Если д{у)— скалярная случайная величина, то Е(СЕЗ) Если векторы ® и у независимы, то

Е(х | у) = Е(®).

Условное математическое ожидание обладает оптимизационным свойством, аналогичным свойству обычного математического ожидания Е4). А именно, пусть X — скалярная случайная величина, у — n-мерный случайный вектор и f : Rn —> R1 — произвольная функция. Рассмотрим среднеквадратичное отклонение Е(Х — /(у))2 и поставим задачу нахождения функции /, минимизирующей это отклонение. С помощью простых выкладок, используя свойства СЕ1), СЕ2), получаем следующий результат.

СЕ4) Минимальное значение величины Е(Л" — /(у))2 достигается при /(у) = Е(Х I у).

<< | >>
Источник: Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий АЛ. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 6-е изд., перераб. и доп. — М.: Дело. — 576 с.. 2004

Еще по теме 2. Условные распределения:

  1. 6.1. Поведение серы6.1.1. Распределение серы между фазамн. Опыт работы установки РОМЕЛТ показал, что распределение серы между продуктами плавки существенно отличается от традиционной восстановительной плавки в доменной печи: Продукты плавка
  2. Вопрос 42. Условное осуждение
  3. § 2. Условное осуждение
  4. § 6. УСЛОВНЫЕ И РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ
  5. КЛАССИЧЕСКОЕ ФОРМИРОВАНИЕ УСЛОВНЫХ РЕФЛЕКСОВ
  6. Б.Условные электрокорковые реакции
  7. ПРЕНЕБРЕГАЯ УСЛОВНОСТЯМИ
  8. 82. Учение И. П. П;ООМ об условно-рефлекторной деятельности
  9. Запаздывающие условные рефлексы
  10. УСЛОВНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, ИМПЛИКАЦИЯ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
  11. ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
  12. В.Кожно-гальванические условные рефлексы