Геометрия и физика. Неразрывная связь пространства-времени с материей

В рамках математики с единственностью евклидовой геометрии было покончено в XIX в. благодаря работам Лобачевского, Больяи, Гаусса и Римана. Оказалось, что логически возможны одинаково стройные и непротиворечивые три системы геометрии: Евклида, Лобачевского и Римана[CLVIII].

Неевклидовы геометрии утвердились в качестве математических теорий, но отношение их к реальному миру оставалось неясным вплоть до создания общей теории относительности. Правда, еще Лобачевский и Гаусс высказывали предположение, что геометрия реального мира в больших масштабах является неевклидовой, и пытались определить отклонение от евклидовости непосредственным измерением суммы углов треугольника. Однако возможный дефект треугольника лежал в пределах неточности измерительных инструментов, и, как мы знаем теперь, столь непосредственным путем установить неевклидовость реального пространства нельзя: она слишком мала. Неевклидова геометрия уже как математическая теория имела огромное философское значение: она нанесла смертельный удар идее априорной достоверности и единственности геометрии. Заслуга общей теории относительности состоит в «офизичивании» неевклидовой геометрии, в создании (в дополнение к геометрии как математике) геометрии как физики, как экспериментальной науки, утверждения которой требуют опытной проверки.

Уже из принципа эквивалентности следует возможность неевклидовой метрики пространства. В самом деле, пусть «лифт Эйнштейна» покоится в отсутствии гравитационного поля. Через отверстие А в стенке лифта в него попадает световой луч и падает на противоположную стенку в точке В. Луч света — наилучшая физическая реализация геометрического понятия прямой линии. Мы, не задумываясь, скажем, что линяя АВ — прямая.

Пусть теперь лифт начал двигаться вверх с ускорением g. За время, пока свет проходит расстояние между стенками, лифт успевает сместиться вверх, и луч света попадает уже не в точку В, а в точку В'.

Но гравитационные поля всегда имеются, а это значит, что любые линии в реальном пространстве, которые можно физически идентифицировать, не будут евклидовыми прямыми, и, следовательно, метрика пространства неевклидова (см. [Эйнштейн, 1955, с. 55-57].

• Однако обнаружить неевклидовость в реальных экспериментах столь просто нельзя, она доказывается совпадением следствий общей теории относительности с опытом. Мы постараемся дать некоторое представление об этом. Специальная теория относительности ввела понятие интервала как своеобразного расстояния между событиями в пространстве-времени[CLIX]. Элемент интервала задавался выражением ds2 = dx2 + dy2 + dz2 ~ (ct)2. Заданное таким образом расстояние как раз и выражает евклидов характер метрики (точнее, псевдоевклидов, так как четвертая координата (временная) входит со знаком «минус», но это сейчас несущественно). С математической точки зрения приведенное выражение представляет квадратичную форму от четырех переменных. Но это частный случай квадратичной формы. В общем

случае она должна включать 16 членов, представляющих все возможные произведения дифференциалов переменных. Введем упрощающие обозначения. Будем координаты записывать одной буквой с индексом внизу: хь х2, х3, х4 (соответствуют прежним х, у, z, ct). Перед произведениями дифференциалов координат будем ставить соответствующие коэффициенты: перед dxx •dxi (т. е. dxf) поставим коэффициент gn, перед dxx ¦ dx2 — gn и т. д.; всего 16 коэффициентов gik, где / и к пробегают значения от 1 до 4. Теперь квадратичная форма запишется следующим образом:

ds2 = gn dX\ + gi2dx\dx2 + g\2dx\dx + g\4dx\dx4 +

+ g2\dx2dx\ + g22 dx\ + ...

С помощью знака суммирования ? эту запись можно сократить: ds2 = 2 gikdxidxk, что означает, что берется сумма всех членов вида gikdXjdxk, когда / и к пробегают значения от 1 до 4. По предложению Эйнштейна договорились опускать знак ? и считать, что по индексам, которые встречаются дважды, производится суммирование. В нашей квадратичной форме индексы / и к встречаются дважды, это означает, что по ним производится суммирование. Поэтому окончательно можем записать:

ds2 = gikdxjdxk.

Если в этом выражении положить gik = 0, когда «V к и gik = 1, когда i = k( с добавлением, что g44 = -1), то мы получаем выражение для интервала в специальной теории относительности. Но в общем случае величины gik совсем не обязаны принимать столь «простые» значения, они могут иметь произвольные, переменные значения, т. е. быть функциями от координат хь х2, х3, х4. Совокупность 16 коэффициентов gik образует особую математическую величину, называемую тензором, а коэффициенты представляют собой компоненты этого тензора1. [CLX] [CLXI] [CLXII] [CLXIII]

Тензор gik носит специальное название фундаментального метрического тензора, ибо значения его компонент как раз и определяют характер метрики. В евклидовой геометрии компоненты gik равны 1 при / = к и 0 в остальных случаях. В неевклидовой геометрии компоненты gik принимают другие значения. Задать значения компонент фундаментального метрического тензора — значит определить элемент расстояния, а тем самым и характер метрики.

То, что было ранее сказано о квадратичной форме, является «чистой математикой». Эйнштейн показал, и в этом суть общей теории относительности, что компоненты gik не только задают метрику пространственно-временнбго континуума, но представляют собой также величины, аналогичные гравитационным потенциалам. Значения компонент определяются распределением материальных тел, они суть описание гравитационного поля. В общей теории относительности гравитация и метрика оказываются, таким образом, в определенном отношении тождественными.

Нам представляется малоплодотворным ведущийся иногда спор о том, что чем определяется: гравитация метрикой или наоборот. Здесь нет отношения причинного предшествования. Гравитация не есть нечто существующее вне метрики и ее определяющее, так же как и метрика не существует вне и до гравитации. Гравитационное и метрическое поля — это два разных описания одной и той же реальной сущности, и друг без друга они не существуют.

Так была решена вековая загадка тяготения, но решена совершенно неожиданным, «диковинным» способом. До Эйнштейна это пытались сделать на путях раскрытия механизма Действия той силы, которая обусловливает движение небесных тел. Эйнштейн перевернул саму постановку проблемы. Силы тяготения, аналогичной силам, действующим в механике или электродинамике, просто не существует. Движение тел в поле Тяготения есть своеобразное движение по инерции, но в «искривленном» пространстве, где место прямых линий занимают прямейшие, или геодезические, мировые линии. Как в свое время Галилей показал, что равномерное, прямолинейное движение не вызывается каждый раз действием особых, приложенных к телу сил, а представляет движение по инерции в евклидовом пространстве, так и Эйнштейн показал, что движение в поле тяготения вызывается не действием особых гравитационных сил, приложенных к движущимся телам, а является движением по инерции, но в неевклидовом пространстве1.

Разумеется, столь неожиданное решение проблемы могло быть принято лишь после очень солидного обоснования, и общая теория относительности дала его, хотя оно тоже оказалось неожиданным. Общая теория относительности заменяет ньютонов закон тяготения новым уравнением тяготения, записанным в тензорной форме. При развертке этого уравнения получаются 10 дифференциальных уравнений для 10 независимые компонент фундаментального метрического тензора gik[CLXIV] [CLXV], которые заменяют одно дифференциальное уравнение в ньютоновой теории.

Ньютонов закон тяготения получается как предельный случай эйнштейновских уравнений, т. е. общая теория относительности удовлетворяет принципу соответствия. Кроме того, она позволяет предсказать (или объяснить) ряд явлений, необъяснимых в ньютоновой теории. Это — движение перигелия Меркурия, искривление светового луча в гравитационном поле и замедление хода часов в гравитационном поле (или, что то же самое, смещение спектральных линий в гравитационном поле к красному концу — гравитационное красное смещение[CLXVI])- Все эти эффекты получили экспериментальную проверку, особенно последний, который был с фантастической точностью подтвержден в земных условиях на базе использования так называемого эффекта Мёссбауэра.

Однако дело не только в опытных подтверждениях общей теории относительности (хотя, разумеется, если бы опыт противоречил следствиям теории, ее пришлось бы отбросить). Ее сила в исключительной стройности и широте, в ликвидации пропасти между инерцией и гравитацией, между гравитацией и пространством-временем. Эйнштейн справедливо указывал, что, даже если бы общая теория относительности не предсказала никаких новых эффектов по сравнению с ньютоновой, ее все равно следовало бы предпочесть последней именно по причине логической стройности, широты и внутреннего совершенства. Общая теория относительности дает чрезвычайно ценный гносеологический урок. Она убедительнейшим образом свидетельствует о той огромной роли, которую играют теоретическое мышление и глубокий логический анализ основных понятий в современной науке, заставляет нас с новой стороны подойти к привычному понятию объяснения. Последнее может состоять в отказе объяснять то, что традиционно считалось главным объектом изучения (механизм действия гравитационных сил), и в переходе на совершенно новый путь, предполагающий радикальное изменение самой постановки проблемы.

Огромное значение общей теории относительности состоит в Дальнейшем развитии взглядов на проблему пространства-времени.

Общая теория относительности преодолевает эту ограниченность. Не только пространство и время по отдельности, но и пространственно-временной континуум лишается абсолютности. Призрак субстанциальности пространства и времени, веками витавший над наукой, окончательно изгоняется. Пространство-время ничто без материи, формой бытия которой оно является. Метрика пространства-времени, описываемая компонентами g,*, создается распределением материальных масс, пространство-время является выражением наиболее общих отношений материальных объектов и вне материи существовать не может. Этот центральный тезис общей теории относительности в пони-

\

мании природы пространства-времени образно сформулировал Эйнштейн в беседе с корреспондентом американской газеты «Нью-Йорк тайме» 3 апреля 1921 г. Отвечая на вопрос корреспондента, какова суть теории относительности, Эйнштейн сказал: «Суть такова: раньше считали, что если каким-нибудь чудом все материальные вещи исчезли бы вдруг, то пространство и время остались бы. Согласно же теории относительности вместе с вещами исчезли бы и пространство, и время».

В этих словах прекрасно выражен основной философский результат теории относительности: пространство и время не самостоятельные субстанции, а способ существования единственной субстанции — материи.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Кудрявцев П.С. История физики. Т. 1. М.: Учпедиз, 1948.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. Ч. 1. М: Наука, 1976.

Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. Баку: АН АзССР. Ин-т философии, 1946.

Полемика Г. Лейбница с С. Кларком. Л.: Изд-во ЛГУ, 1960.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. М.: Мир, 1965.

Физический энциклопедический словарь. М'., 1965.

Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: ИЛ, 1955.

Эйнштейн и современная физика. Л.: Гостехиздат, 1965.

ВОПРОСЫ Основные свойства пространства и времени. Пространство и время в классической физике. Пространство и время в специальной теории относительности. Пространство и время в общей теории относительности.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Полемика Г. Лейбница с С. Кларком. Л.: Изд-во ЛГУ, 1960.

Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: ИЛ, 1955.