<<
>>

Некоторые соображения по поводутеории математики и континуумаАристотеля

  В книге П/2 своей «Физики» и в книге ХШ/3 «Метафизики» Аристотель объясняет природу математических объектов'72. Его объяснение является достаточно простым, однако в него включены длинные обсуждения альтернативных точек зрения и возможных ошибок.
Я не буду вникать в эти обсуждения, а также не буду упоминать и комментировать современные споры по поводу их корректной интерпретации. Я лишь представлю утверждения Аристотеля, добавлю к ним пояснительные замечания, рассмотрю их следствия для физики, сравню их с возражениями более поздних авторов и покажу, как они соотносятся с современными проблемами. При цитировании Аристотеля я буду опускать специальные ссылки на «Физику» и «Метафизику», поскольку здесь достаточно нумерации фрагментов. Простые числа в скобках, например (14), обозначают части данной статьи. Физические тела, говорит Аристотель, имеют поверхности, объемы, длины и точки. Поверхности, объемы, дли-

ны и точки становятся предметом изучения математики, будучи отделены от тел (193Ь34).

Мы читаем также (1964а28 и сл.), что физика «имеет дело с вещами, которые сами по себе обладают принципами движения; математика является теоретической наукой, имеющей дело с вещами, которые сохраняются, «о не отделены».

«Они никоим образом не могут существовать отдельно, но они также не могут существовать в чувственно воспринимаемых объектах» (1077Ы5 и сл.; ср. 1085635 и сл.).

Это противоречие разрешается посредством осознания того, что «вещи существуют многими разными способами» (см. «Метафизика», Ш/2 и многие другие места). Математические объекты обладают особым существованием в одном смысле, но не в другом.

Допустим, что существовать — значит быть некоторой индивидуальной сущностью, которая не зависит от других объектов и столь же реальна (может быть, даже более реальна, 1028Ы8), как физические тела. Если математические объекты существуют в этом смысле, они не могут находиться в физических объектах, ибо тогда в одном месте оказалось бы два объекта (1076а40; ср.

998а13). Они не могут быть и физическими объектами: «чувственно воспринимаемые линии не являются линиями, подобными тем, которые описывает геометр: не существует ничего воспринимаемого, что было бы прямым или кривым в [строго геометрическом] смысле, ведь окружность соприкасается с линейкой не в [одной] точке, а так, как указывал Протагор» (998а1). Не можем мы также допустить, что физические объекты являются комбинациями математических объектов: комбинация неизменных и невоспринимаемых объектов способна породить только неизменные и невоспринимаемые объекты (1077а34). Соединение физического материала (например, бронзы) с математической формой (например, конкретного шара), которые оба мыслятся как законченные и самодостаточные индивиды, порождает пару законченных и самодостаточных индивидов (бронза и шар), а не отдельного индивида, обладающего сферичностью как (зависимым) свойством (1033620 и сл.). Аристотель приводит дальнейшие аргументы, не в равной мере хорошие, показывающие, что математические сущности, интерпретируемые как полные и независимые индивиды (как «субстанции» в терминологии Аристотеля), не могут находиться ни в физических объектах, ни вне и отдельно от них. Хотя невозможно иметь самодостаточные объекты ни в физических телах, ни вне их, можно иметь неполные описания таких объектов.

В самом деле... как о вещах возможно рассуждать только как о движущихся, независимо от того, что есть каждая из этих вещей и какие у нее привходящие свойства... нет необходимости, чтобы существовало что-то движущееся, отдельное от чувственно воспринимаемых вещей, или чтобы в них имелась [для движения] какая-то особая сущность (1077а22).

Точно так же «по отношению к движущимся вещам будут возможны рассуждения и науки: и не поскольку они — движущиеся тела, а поскольку они тела, или поскольку они плоскости, или лишь поскольку они линии, ил и поскольку они делимы, или поскольку неделимы» (1077Ь26 и сл.). «И то же самое можно сказать и про учение о гармонии и про оптику: и та, и другая рассматривают свой предмет не поскольку он зрение или звук, а поскольку это линии и числа, которые, однако, суть их собственные свойства.

И точно так же механика» (1078а 14). Здесь нет большой ошибки, как и тогда, «когда чертят на земле и объявляют длиною в одну стопу линию, которая этой длины не имеет; ведь в предпосылках здесь нет ошибки» (1078а18; см. очень похожий подход Беркли, высказанный во введении к его «Принципам человеческого познания», 1710 г.).

Имея это в виду, мы можем без уточнений говорить не только о том, что отделимое существует, но также и о том, что существует неотделимое и оно отделимо по описанию. Например, объекты геометрии существуют; они являются воспринимаемыми объектами, но не по сущности, ибо геометры не рассматривают их как воспринимаемые объекты (1078а 1). Не все неполные описания тел исключают движение и восприятие. «Прямая» и «плоскость» — да, но «разрыв» и «гладкость» содержат неявную ссылку на подверженный изменению физический материал (любимым примером Аристотеля является слово«simos», означающее «курносость», которое он противопоставляет «вогнутости»: «определение simos содержит материю объекта, ибо курносость присуща только носу, а определение «вогнутости» не содержит [материи]», (1064а23). Таким образом, «прямую» и «плоскость» можно отделить в указанном смысле, а «разрыв» и «гладкость» — нельзя. Аристотель критикует Платона за отделение таких вещей, как «мясо», «кость» и «человек», принадлежащих к последней категории (194а6; ср. 1064а27), и за попытку определить «линии [которые отделимы] через длинное и короткое [которые неотделимы], плоскости — через широкое и узкое, а объем — через глубокое и мелкое» (1085а9). Если некоторая черта, свойство или сущность отделимы в разъясненном смысле, то мы можем либо рассматривать ее как отдельную, т.е. обсуждать ее, не обращая внимания на другие особенности, которые также присутствуют, либо можем дать более полное описание. Однако мы не можем делать и то, и другое в одно и то же время, т.е. мы не можем отмечать или разделять физический объект мате

матической точкой или математической плоскостью. При физических вычислениях часто «воображают», что некий физический объект О «рассекается» математической плоскостью Р, или «рассматривают» его усеченный объем V (рис.

1). С точки зрения Аристотеля, это бессмысленно. Математические плоскости не могут разделить физические объекты, это могут делать только физические поверхности. Если Р может разделить О, то Р должна быть поверхностью, т.е. от нее должна остаться узкая щель: «когда тела соединяются или разделяются, их границы становятся одной границей, когда они соприкасаются, и двумя границами, когда они разделяются. Таким образом, когда тела соединены, их внешняя сторона не существует, она исчезает» (1002Ы). Этот подход можно сравнить с тем, что говорит квантовая теория о местоположении и разделении.


Эти рассуждения играют важную роль в аристотелевской теории места. Согласно Аристотелю, место некоторого объекта есть «ограничивающая поверхность тела,содержащая» этот объект (212а7), это внутренняя граница реального физического разделения. Следовательно, «если объемлющее не отделено [от предмета], а связано [с ним] непрерывно, тогда говорят, что [предмет] находится в нем не как в месте, а как часть в целом» (211а29). Например, бутылка, частично погруженная в воду и плавающая в озере, имеет место в озере: это место ограничено поверхностью, где вода и воздух встречаются с бутылкой (рис. 2). Вода, находящаяся внутри бутылки, также имеет свое место, а именно: оно задано внутренней поверхностью стекла, соприкасающегося с водой внутри бутылки, и поверхностью воздуха внутри бутылки, соприкасающегося с водой. Оба места являются физическими поверхностями; капля воды внутри бутылки является частью этой воды, она не имеет места в этой воде; лишь как часть этой воды она имеет место внутри бутылки. Можно сказать, что капля потенциально обладает местом в воде внутри бутылки и что это потенциальное место может актуализироваться, когда капля будет физически отделена от остальной воды, например если она замерзнет (212ЬЗ).


Аргумент, приведенный в п.

3, показывает также, что место не может быть внутренним пространством (diastema) тела, сохраняющимся после перемещения тела, ибо в этом случае «в одной и той же вещи существовало бы бесконечно много мест» (211Ь21). Этот аргумент, говорит Г. Вагнер ([249], с. 544 и сл.), «представляетсобой один из величайших вопросов, поставленных аристотелевской физикой перед ее интерпретаторами со времен античности». Однако ситуация здесь достаточно проста, почти тривиальна. В этом аргументе diastema конкретного тела рассматривается физически, а не математически (в конце концов, место оказывает некоторое физическое влияние [208Ы 1]), и считается тождественной месту. Из физического рассмотрения diastema следует, что с ним ассоциируется физический объект; отождествление diastema с местом означает, что этот объект должен вести себя как некоторое место, т.е. оно должно сохраняться после того, как его покинет занимающее его тело (208Ы). Сохранение diastema не превращает его в математическую сущность и не лишает его конкретных особенностей конкретного тела, делая его чем-то таким, что может быть общим для всехтел (каждый физический объект имеет собственное индивидуальное место, следовательно, свое собственное индивидуальноеdiastema). Следовательно, каждое место, занятое и покинутое многими различными объектами, содержит множество различныхdiaste'mata; и поскольку каждое место занято некоторым телом (пустоты не существует), а каждая diastema есть место, постольку каждое тело будет содержать бесконечно много мест. Аналогичные замечания могут быть выдвинуты и по отношению к той идее, что пустота может быть независимо существующей сущностью, подобной diastema (21ба23 и сл.). Локальное движение состоит в том, что одно тело замещает другие тела. Пустота была введена не для того, чтобы быть замещенной телом, а чтобы вместить его (21ЗЬ5). Следовательно, она может вместить деревянный кубик. В этом случае две вещи находились бы в одном и том же месте, что невозможно (216Ы1). Интересно, что Герике (Experimenta Nova (1672), книга 2, глава 3) вновь вводит diastema как представляющую вакуум, не упоминая о критических аргументах Аристотеля, но отпуская саркастические замечания в адрес его философии.
Подход Аристотеля также подрываетодин из аргументов Галилея, направленных против предположения о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Согласно этому аргументу, тяжелое тело можно представить как состоящее из двух тел разной величины — маленького и легкого и большого и тяжелого. Легкое тело, падая медленнее, будет тормозить более тяжелую часть, следовательно, все тело будет падать медленнее, чем одна тяжелая часть, а это противоречит исходному предположению. Однако Аристотель не разрешает рассматривать (отдельное) действие некоторой части целого, если эта часть физически не отделена от целого. Тогда аргумент лишается своей силы. Аристотелевское истолкование математики имеет особенно интересные применения в области движения. В п. 5 мы видели, что для придания физического смысла утверждению о частях и подразделениях мы должны говорить о физических разделениях: непрерывное тело не имеет реальных частей до тех пор, пока оно не рассечено и его непрерывность не нарушена. В применении к движению это означает, что часть непрерывного движения может быть отделена от другой части того же движения только посредством реальной модификации (т.е. движение должно временно прекратиться; оно «должно остановиться и начать двигаться вновь» [262а24]). Так Аристотель разрешает парадоксы Зенона. Зенон указал на то (263а4), что движение на определенное расстояние сначала должно покрыть половину этого расстояния, затем половину половины и т.д. Это означает, что движение никогда не может завершиться. Согласно Аристотелю, движение разделяют, либо используя математические точки — тогда частей не будет, либо используя физические («актуальные» [263Ь6]) точки — тогда это разделение изменяет движение, превращая его в «прерывное движение» (263а30), которое действительно никогда не завершается. Немногие люди удовлетворятся таким решением. Причина состоит в том, что идея движения, которуюобыч- но связывают с этим парадоксом, отличается от той идеи, которую использует Аристотель для решения парадокса. Критик чувствует, что Аристотель не встретил парадокс с открытым забралом, а уклонился от него. И он уклонился от него слишком просто, сославшись на акты разделения, когда вопрос стоял о природе движения, происходящего без внешнего вмешательства. Можно предполагать, что идея такого движения верна, что парадокс возникает вследствие ее ошибочного использования и что задача состоит в исправлении этой ошибки, а не в том, чтобы начать говорить о совершенно посторонних вещах.

Если это предположение ошибочно, т.е. содержащаяся в нем идея движения неадекватна и, может быть, даже противоречива, то ее изменение не является уклонением, а даже необходимо. В таком случае аргумент Зенона уже не будет просто парадоксом, а будет стимулом к ее устранению. Основной вопрос заключается в следующем: как понимают движение те, которые говорят об уклонении от решения, и как можно защитить это понимание?

Это понимание мы можем установить следующим образом: для каждой точки А линии движения событие «прохождения точки А» есть часть движения независимо от того, вмешиваемся мы в него или нет. Движение состоит из индивидуальных точечных событий такого рода, а линия состоит из индивидуальных точек. Это интересная космологическая гипотеза, но можно ли ее принять? Аристотель говорит, что нельзя, и его главное основание (которое более подробно мы рассмотрим ниже, в п. 19) является очень простым: непрерывная сущность, подобная линии, и непрерывное движение характеризуются тем, что их части связаны особым образом. Неделимые сущности, такие как точки или прохождение точек, нельзя связать никаким способом, еле- довательно, линии не могут состоять из точек, а непрерывное движение не может состоять из прохождения точек.

Аналогичные, хотя и более сложные аргументы выдвинуты квантовой теорией, утверждающей, что мы можем иметь чистое движение (заданный момент), но без какого- либо прохождения точек, — тогда у нас больше нет никакого последовательного движения.

Следовательно, это допущение некорректно, такое понимание движения приводит к невозможному, поэтому необходимо его устранение, а не обход. Если движение можно разделить, только модифицировав его, то любое ясное разделение должно сопровождаться изменением времени движения: например, подброшенный вверх камень должен остановиться в высшей точке траектории (262Ь25; 263а4). Галилей (цит. по: [36], с. 96) подверг критике то, что говорил Аристотель при получении этого результата. Существует временная остановка, говорит Аристотель, «так как одну точку приходится считать двумя, ибо она является конечной точкой одной половины [движения] и начальной точкой другой половины» (262Ь23). Галилей возражает на это, говоря, что хотя точку поворота можно описать двумя разными способами — как начальную точку одного отрезка и конечную точку другого, — тем не менее она остается одной точкой и соответствует лишь одному моменту — моменту поворота. Однако это совершенно не учитывает того, что Аристотель требует некоторого интервала, «так как невозможно, чтобы А одновременно прибыло в В и ушло оттуда; следовательно, это происходит в разные моменты времени. Следовательно, в промежутке будет какое-то время» (262Ь5). Существование этого интервала вытекает также из его общего понимания разницы между математическими и физическими сущностями.

Галилей прибегает к примеру, чтобы высмеять подход Аристотеля: линия ab движется по направлению кЬ, постепенно замедляя свое движение. Тело с, расположенное на этой линии, движется по направлению к я, постепенно ускоряя свое движение (рис. 3).

Ясно, что в самом начале с будет двигаться в том же направлении, что и вся линия... И так как движение с ускоряется, в какой-то момент с будет двигаться уже влево и, таким образом, изменит движение в правую сторону на движение в левую сторону. Однако сне будет находиться в покое в точке, в которой это изменение произошло. Причина состоит в том, что не может быть покоя, пока линия движется вправо с той же скоростью, с которой тело с движется влево. Никогда не может быть так, что это равенство скоростей будет длиться какой-то интервал времени, ибо скорость одного движения непрерывно уменьшается, а скорость другого движения возрастает.

о              е              о

а              b

Рисунок 3

В этом отрывке подвергнут критике аргумент (движение можно разделить только посредством внесения в него физических изменений), ведущий к некоторому утверждению (о временной остановке в точке поворота), посредством представления случая, который как будто бы соответствует этому аргументу. Ясно, что если этот аргумент является корректным, т.е. если движение можно разделить только внесением в него физических изменений, например остановки, то изменение движения с должно предполагать временную остановку с, а благодаря этому — временную остановку двух процессов ускорения, которые и создают это изменение.

Разделение разных физических сущностей (и разных математических сущностей) может порождать одни и те же математические сущности, например линии и плоскости, но это не означает, что их можно сравнивать. Так, кривые углы и прямые углы могут быть начерчены (рис. 4) на некотором линейном континууме (или, используя терминологию Аристотеля, линейный континуум «можетбыть отделен» от них), однако нельзя сказать, что данный кривой угол меньше, равен или больше прямого угла (нет способа вписать прямой угол в кривой угол [Евклид, «Начала», III, 16]). Точно так же площадь круга не может быть равна, меньше или больше площади многоугольника. Попытку измерить площадь круга посредством площади многоугольника (круг меньше, чем описанный вокруг него многоугольник, и больше, чем вписанный в него многоугольник; вещи, меньшие или большие, чем какая-то одна вещь, равны друг другу; следовательно, существует многоугольник, равный по площади кругу) Аристотель критиковал по той же самой причине. «Равное есть то, что не больше и не меньше, но может быть большим или меньшим в силу своей природы» (1056а23). Согласно Аристотелю, здесь используется «общий средний термин» («Вторая аналитика», 75Ь42), — слово «площадь» относится к сущности, которая была отделена и от круга, и от многоугольника, но не было исследовано, не обладала ли эта до сущность до отделения свойствами, которые различны в этих двух случаях и препятствуют сравнению: здесь не затронуто существо дела, а именно

площадь круга. (Геометр, говорит Аристотель, даже не будет рассматривать «исчерпание» круга многоугольниками, предлагаемое Антифонтом. Эта процедура не является ошибочной, она просто не затрагивает сути дела.) Эти рассуждения объясняют, почему Аристотель отказывался измерять качественные изменения посредством длины и почему он считал, чтолинейное и круговое движения несоизмеримы (227Ы5; 248а10). Они объясняют также, почему определение Евклидом математических пропорций («Начала», V, опр. 3) явным образом ограничено «однородными» величинами и почему греческие и более поздние математики, включая Галилея, никогда не вводили смешанных величин, таких как скорость, определяемую как частное отделения пространственных величин на время. Однако тот факт, что некоторые сущности, такие как площадь, могли быть отделены и от кругов, и от многоугольников, указывает на то, что они обладали некоторыми общими свойствами и относительно их можно было высказать общие утверждения. Согласно Аристотелю, такие общие утверждения играют важную роль в математике: «существует некоторые общие математические утверждения, которые не ограничены специальными субстанциями» (1077а9). Например,

положение о том, что члены соотношения переставляемы, раньше доказывали отдельно для чисел, линий, тел или отрезков времени, хотя можно дать одно доказательство для всех; поскольку все они, а именно числа, длины, отрезки времени, тела, таковы, что нет какого-то единого наименования для них и они по виду различны между собой, то их брали каждое в отдельности. Нынешнее же доказательство рассматривает то, что есть общее в них, ибо данное свойство присуще не поскольку они линии и числа, а поскольку они обладают тем, что предполагается им присущим как общее («Первая аналитика», 74а20).

Точно так же и некоторые принципы справедливы для нескольких наук. Примером может служить тот принцип, что «если от равного отнять равное, то остается равное же» («Вторая аналитика», 75а38). Однако общность не может считаться несомненной и должна быть обоснована с помощью специальных аргументов. Аристотель приводит такие аргументы для линейной протяженности, времени и движения. Линейная протяженность, время и движение во многих отношениях различны. Они не «однородны» в смысле Евклида (V, опред. 3 [см. п. 12]). Тем не менее у них есть общие свойства. Аристотелевская теория непрерывного линейного многообразия описывает эти свойства и выводит их следствия. Оставшаяся часть статьи будет посвящена рассмотрению этой теории.

Существование общих свойств у длины, времени и движения предполагается уже здравым смыслом. Например, «мы говорим «большая дорога», если [нам предстоит] много идти, и наоборот, о «долгом переходе», если дорога велика; также и о времени соответственно движению, и о движении соответственно времени» (220630). Мы замечаем также, что обыденное различие между тем, что «спереди», и тем, что «сзади», применимо к месту, следовательно, к протяженности, поэтому «необходимо, чтобы и в движении было предыдущее и последующее — по аналогии с теми. Но и во времени есть предыдущее и последующее, потому что одно из них всегда следует за другим» (219а20). Для Аристотеля такие аналогии «разумны» (220Ь25), поскольку протяженность, время и движение являются непрерывными и делимыми качествами (24) и связаны друг с другом таким образом, что все, истинное для одного, истинно для всех (231Ы9). «Непрерывность», «делимость» и «величина», определяемые в геометрии, являются техническими терминами. Кроме того, у Аристотеля была достаточно разработанная теория непрерывности. Следовательно, нужны специальные аргументы, чтобы показать, что отмеченные аналогии применимы также к этим техническим понятиям, и задать их ограничения. «Я разумею под непрерывным, — пишет Аристотель, — то, что делимо на всегда делимые части» (232625), которые отличаются друг от друга своим местом.

Вторая часть этого определения (и связанные с ней аргументы) ограничивается рассмотрением линейной непрерывности. Другие виды непрерывности, такие как звук, и другие свойства, не связанные с местом, упоминаются, но не рассматриваются. Это определение содержит предположения, которые могут казаться очевидными современному читателю, однако они требуют анализа и не считались тривиальными во времена Аристотеля. Этими предположениями являются следующие: (1) имеются сущности, которые можно делить в любой точке и в любом интервале, сколь бы малым он ни был; (2) деление не изменяет протяженности сущности и любой его части; (3) деление не уничтожает никакого интервала.

Против предположения 1 выступали математики (включая, возможно, Демокрита), допускавшие существование минимальной длины или «неделимых линий». Предположения 2 и 3 критиковал Зенон, отрицавший существование вещей, лишенных толщины, массы и протяженности. «В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от нее не делает ее меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее — это величина, а раз величина, то и нечто телесное» (1001Ь7). В XVIII и XIXстолетиях предположение 1 часто подкрепляли ссылкой на нечто, называемое «интуицией», и идея континуума как некоторой «субстанции, из которой мы выбираем точки» (Г. Вейль,

«О новом кризисе оснований математики» [257]), опиралась на этот сомнительный источник. Можно ли найти лучшие способы обоснования идеи линейного континуума и включенных в нее предположений? Одно из возражений против допущения неделимых линий состояло в том, что оно влечет наличие общей меры для всех длин и исключает существование несоизмеримых величин. Другое возражение указывало на то, что за каким- то порогом перестали бы действовать законы геометрии: уже нельзя было бы сказать, что линия, опущенная из вершины угла равнобедренного треугольника с двумя минимальными сторонами, делит пополам основание треугольника («О неделимых линиях», 970а). Для того чтобы лучше понять суть этой критики, рассмотрим одно важное следствие несоизмеримости.

Одним из методов нахождения наибольшей общей меры для двух величин был метод antanairesis (попеременного вы- чинания): вычитаем меньшее из большего, затем разницу вычитаем из меньшего и так далее до тех пор, пока не получим нуль (рис. 5). Последнее число в этой последовательности перед получением нуля и будет искомой мерой. Эту процедуру использовали математики, но ею также пользо-


вались плотники, архитекторы и географы при нахождении наибольшей общей меры для физических длин.

Для несоизмеримых линий, таких как сторона и диагональ квадрата, antanairesis не имеет конца. По мнению некоторых авторов, например Курта фон Фритца, несоизмеримость была открыта благодаря обнаружению этого факта.

Несоизмеримость могла быть открыта этим способом лишь теми людьми, которые считали несомненным, что геометрические отношения не зависят от размеров рассматриваемых фигур. Однако пифагорейцы не считали это несомненным. Они полагали, что пустота структурирована неделимыми единицами, отделенными друг от друга пустотой. При таком понимании геометрические отношения переставали быть верными после достижения некоторой минимальной длины, поэтому несоизмеримость не могла быть открыта. Это был сильный аргумент, предшествующий доказательству, воспроизведенному в «Началах» Евклида (книга X): допустим, что отношение между диагональю D квадрата и его стороной S можно выразить с помощью чисел dvis. Тогда d2 = 2s2. При минимальных значениях d и s, это означает, что*/2является четным, следовательно,dявляется четным, a s нечетным. Но если d является четным, то d = 2fn 2f = s, тогда ^ является четным. Таким образом, s является четным и нечетным.

Согласно Евдему (по сообщению Паппа, «Комментарии к Евклиду», I. 44), пифагорейцы заложили основания не только арифметики, но также и геометрической алгебры. Часто считают, что они пришли к этому в своем строгом анализе несоизмеримых: числа перестают работать, поэтому они заменяются линиями. Однако если они руководствовались таким мотивом, то представление о линии должно было подвергнуться серьезному изменению — из собрания индивидуальных единиц, разделенных пустотой, линия превращается в подлинную непрерывность, части которой, сколь бы малыми они ни были, обладают той же структурой, что и целое. Был ли этот переход результатом открытия, сделанного в пифагорейской школе, или был обусловлен идеями, пришедшими со стороны?

Существовала внешняя идея, содержащая в себе все элементы континуума — идея Единого у Парменида. Согласно Пармениду, бытие «полностью однородно (homoion), и нигде его не больше и не меньше» и оно «связано в единое целое» (Дильс—Кранц, В8). Слово, которым Парменид обозначает «связанность» — xyneches, было техническим термином, который употреблял в своем собственном подходе Аристотель. Мне кажется, что идея линии как непрерывной сущности, сохраняющей одни и те же свойства как в большом, так и в малом, восходит к пониманию Единого Парменидом. Однако линию можно разделить, а Единое — нет. С другой стороны, если сущность, обладающая свойствами Единого, может быть делима (заметим, что деление должно исходить извне, оно не является частью самой линии), тогда если ее можно разделить в одном месте, то вследствие ее однородности ее можно разделить в любом месте. Эти соображения могут дать нам некоторое историческое понимание предположения 1. Оно не было тривиальным и не опиралось на интуицию. Предположения 2 и 3 могли быть подкреплены аргументами, показывающими, что сущности, используемые для деления линейного континуума, являются непротяженными и неделимыми. Аристотель приводит такие аргументы для случая настоящего момента, т.е. момента, разделяющего прошлое и будущее. А поскольку он показывает, что время, протяженность и перемещение являются тремя разными, но структурно подобными линейными непрерывностями, его аргумент справедлив для всех делений.

Нужно доказать: Первое «теперь» неделимо (момент или интервал для события или изменения является «первым», если он не содержит в себе какого-либо интервала, в котором не происходит события или изменения (235Ь34); таким образом, утверждение о том, что Цезарь был убит в 44 г. до н.э., не дает первого или непосредственного момента для этого события).

Доказательство (233633): «Необходимо, чтобы «теперь»... было неделимым... Ведь оно представляет собой некий край прошедшего, за которым еще нет будущего, и, обратно, край будущего, за которым нетуже прошедшего, что, как мы говорили, есть граница того и другого... Необходимо, конечно, чтобы «теперь», как край обоих времен, было одним и тем же; если бы эти края были различны, они не могли бы следовать друг за другом [ибо следование предполагает отделение — см. п. 21]; если же они отделены друг от друга, между ними будет находиться время... Но если в промежутке находится время, то оно будет делимо»: Часть его будет принадлежать прошлому, а часть — будущему, так что мы опять не имеем дела с «первым теперь». Итог: первое «теперь» не может быть делимым (и, будучи пределом протяженности, оно само протяженности не имеет).

В небольшом сочинении о движении и непрерывности ([131], т. 4, с. 228 и сл., особ. § 4), содержащем систематическое изложение части аристотелевской теории движения и непрерывности, Лейбниц улучшил это доказательство и распространил его на все пределы и разделения. Возьмем линию АВ и рассмотрим ее начало — точку А (рис. 6). Разделим эту линию пополам в точке С. Отрезок СВ не содержит А, отрезок АВ содержит А, следовательно, СВ можно опустить. Разделим АС в точке D. CD не содержит конца, следовательно, АС не является первым концом и DC можно опустить, — и так далее мы поступаем с любым интервалом, сколь бы малым он ни был. Вывод: первый конец линии АВ (или первое разделение этой линии слева от А) неделим (см. также Евклид, «Начала» 1, опр. 1 и 3). Это дает обоснование предположениям 2 и 3.

Рисунок 6

Другой аргумент заключается в указании на то, что деления, концы и отрезки не принадлежат к той же категории, что линии: «поскольку «теперь» есть граница, оно не есть время, но присуще ему по совпадению» (220а23); «линии и связанное с ними [например, точки]... это не отдельно существующие сущности, а сечения и деления... и пределы... и все они находятся в другом» (1060Ы0); однако они присущи «не как части», которые могут существовать независимо и способны, следовательно, уничтожить соответствующий интервал линии при делении. Возражение Зенона устраняется тем, что добавление пределов или разделений увеличивает число (подразделений), но не размеры. Например, трижды деленная линия не становится длиннее дважды деленной линии, хотя и обладает иным свойством. Теперь я готов представить аристотелевскую теорию континуума и движения. Я не буду рассматривать всех разветвлений этой теории и не пытаюсь устранить все ее пробелы и неясности (их совсем немного). Я не стремлюсь, конечно, придать этой теории такой вид, который удовлетворял бы современным стандартам математической строгости. Во-первых, таких общепризнанных стандартов просто не существует, творческие математики, физики и систематики всегда идут разными путями. Во-вторых, если твердо придерживаться стандартов строгости, то это часто препятствует открытиям или делает невозможной формулировку открытий (см. работы Лакатоса и, в меньшей мере, Пойя). В-третьих, облачение Аристотеля в современные одежды умалило бы его достижения. Аристотель был крупнейшим философом-математиком своего времени, он был хорошо

знаком и с техническими проблемами, и с наиболее точными способами их формулировки. Попытка изложить его взгляды в современных терминах разрушила бы эту историческую связь. Наконец, в-четвертых, те мыслители, которые либо критиковали Аристотеля (например, Галилей, см. п. 21), либо повторяли его (Г. Вейль, см. п. 25), пользовались языком, похожим на его собственный. Эта теория опирается на ряд определений (226Ы8): вещи находятся вместе, когда имеют одно и то же первое место (о «первом» см. п. 17; о «месте» см. п. 6); они раздельны, когда этого нет. Вещи соприкасаются, когда их края совмещаются. А соприкасается с В, когда А касается В. А непрерывно с В, если А соприкасается с В и концы А и В являются одним и тем же или «содержатся один в другом». «Промежуточное» определяется ссылкой на изменение (как и другие понятия аристотелевской физики). Каждое изменение включает противоположности (см. 190Ь34), которые являются противоречиями (227а7) и в качестве таковых — краями. Каждый этап непрерывного движения сданными краями, который проходит один край и еще не достигает другого, находится .между этими краями (края не обязательно являются местами; они могут быть звуками, цветами и иными свойствами, допускающими линейный порядок). А является следующим за В, если А и В относятся к одному виду и не существует ничего подобного вида между А и В. А и В являются чamp;стямн линейной непрерывности, если между А и В существует ряд С, С’, С”, С’”... С", такой что А соприкасается с С, С соприкасается с С’... и С" соприкасается с В. В дальнейшем рассмотрение будет ограничено только линейном непрерывностью в этом смысле.

Аристотель определяет «между» после «соприкосновения», предполагая, таким образом, непрерывность еще до определения. Я изменил эту последовательность, используя определение «промежуточности» для того, чтобы ограничить ранее введенные определения сериями событий. Эти определения делают ясным, что «непрерывность принадлежит вещам, которые становятся одним благодаря соприкосновению» (227а 14). Тем самым решается проблема получения единства индивидуальной линии, которое делает ее отдельной индивидуальной вещью (см. 1077а21). В физическом мире вещи становятся одним благодаря функциональному единству или благодаря душе, в противном случае они образуют распадающееся множество. Линейная непрерывность сохраняется благодаря тому, что ее части связаны описанным выше образом. Из этих определений следует:

Утверждение 1: линейная непрерывность не содержит (не состоит из) неделимых.

Доказательство: неделимые не имеют частей, следовательно, они не имеют концов и не могут быть связаны указанным выше образом.

Например, линии не содержат актуальных точек, хотя, будучи делимы, они содержатточки потенциально. Поскольку точки отмечают интервалы, постольку мы должны также сказать, что части линии — такие, как ее правая половина или вторая пятая часть слева, — содержатся в ней лишь потенциально, а не актуально. Линия является чем-то целым и неделимым, пока ее внутренняя связность не будет нарушена сечением.

Галилей («Беседы», [77], с. 42 исл.) высмеивает эту идею следующим образом:

Сальвиати. ...я прошу вас смело сказать мне, каково, по вашему мнению, количество частей континуума - конечно оно или бесконечно?

Симпличио. Я отвечаю, что оно и конечно, и бесконечно; их бесконечно много до деления, неактуально конечно (по числу) после деления. Части не присутствуют актуально в их целом до тех пор, пока оно не разделено или не помечено. До этого они считаются лишь потенциально существующими.

Сальвиати. Значит, линия, скажем, 20 пядей длины, не содержит актуально 20 линий в одну пядь длиной, пока ее не разделили на 20 равных частей. До этого она содержит их только потенциально. Хорошо, тогда скажите мне: когда такое реальное разделение выполнено, станет ли первоначальное целое больше, меньше или сохранит прежнюю величину?

Симпличио. Оно не возрастет и не уменьшится.

Сальвиати. Я тоже так думаю. Таким образом, выделенные части континуума - потенциальные или актуальные - не делают его ни больше, ни меньше...

Из этого краткого диалога следует, что отсутствие воздействия на размер делает бессмысленным различение актуальных и потенциальных частей. Стиллман Дрейк, переводчик и комментатор, согласен с этим: «Здесь Галилей стремится показать, что это различие математически бессмысленно, если оно не влияет на количество или величину». Однако линейный континуум в аристотелевском смысле обладает не только размерами, но также и структурой, и эта структура изменяется при каждом делении (аналогичным образом можно было бы сказать, что между литром вина и литром воды нет никакой разницы, ибо оба имеют один и тот же объем). Возражение, высказанное Галилеем как математиком, не устраняет трудности, ибо Аристотель считает, что наряду с величиной математические сущности обладают также структурой, иначе не существовало бы разницы между числом пять и линией в пять дюймов длины.

Из утверждения 1 следует:

Утверждение 2: линейные непрерывности (ЛН для краткости) разделяются на ЛН без ограничений и, следовательно,(231Ь5):

Утверждение 3: ни одна точка Л Н не может следовать за другой точкой ЛН (так как это предполагало бы, что линия между двумя точками не может быть разделена дальше).

В утверждениях 1, 2 и 3 выражена идея, похожая на современное понятие всюду плотного множества. Различие состоит лишь в том, что современное понятие предполагает точки как нечто данное, в то время как для Аристотеля они существовали потенциально и актуализировалисьлишь благодаря делению. Конкретное движение является индивидуальным целым, не содержащим частей, и оно выполняется в один шаг. То же самое верно для пройденного расстояния и для времени, нужного для этого. Деление движения означает разделение времени и расстояния; деление расстояния означает разделение движения и времени. Мы можем предположить, что протяженность и время, как и движение, являются ЛН. Если дана непрерывность движения, длины и времени, то мы можем ввести определение «более быстрый», которое было принято в античности и все еще использовалось Галилеем: более быстрое есть то, что либо покрывает больший путь за то же самое время, либо покрывает тот же путь за меньшее время, либо покрывает больший путь за меньшее время (232а23). Это гораздо более длинное и громоздкое определение по сравнению с современным определением. «Громоздкость» здесь намеренная: путь и время могут обладать общими абстрактными свойствами (непрерывностью, делимостью), но они не являются «однородными» величинами. Следовательно, их можно соотносить лишь друг с другом — расстояние с расстоянием, время со временем, движение с движением.

Рассмотрим теперь два объекта — один быстрый, другой медленный. Допустим, что любое движение может длиться какой угодно промежуток времени (232Ь21) и что для любого периода времени можно определить разницу между быстрым телом и медленным (233Ы9). Мы видим (рис. 7 и 8 и 233а8), что более быстрое тело будет делить время, а более медленное — расстояние, из чего следует: если длина непрерывна, то и время непрерывно, и наоборот.


«Итак, из сказанного ясно, что ни линия, ни поверхность и вообще ничто непрерывное не будет неделимым — не только в силу только что сказанного, но и потому, что тогда при- детсяделитьнеделимое» (233Ы6). Допустим (поскольку скорости могут находиться в любом отношении), что одно тело покрывает расстояние АВ, а другое тело покрывает две трети этого расстояния за то же самое время (рис. 9). Пусть отрезки Аа = аЬ = ЬВ неделимы; и пусть то же самое верно для соответствующих отрезков времени: Rd = de = eS. Тогда более медленное тело, достигнув возможного разделения а, будет делить время в точке/, т.е. делить неделимое.


Это подтверждает предположение и демонстрирует непротиворечивость используемых понятий и связей между ними. Однако не существует абсолютного доказательства этих понятий и связей. Далее мы имеем ряд теорем, говорящих об отношении времени к движению и расстоянию.

Утверждение 4: движения в «теперь» не существует (234а24).

Если бы движение в «теперь» существовало, то существовало бы более быстрое движение и более медленное движение и более быстрое движение разделяло бы «теперь» так, как описано при рассмотрении рис. 7. Но «теперь» неделимо (17).

Утверждение 5: ничто не находится в покое в «теперь» (234а33).

Покой можно приписать объекту только в том случае, если этот объект способен двигаться. Но в «теперь» нет движения.

Дж. Оуэн в сочинении, посвященном рассмотрению роли времени в трудах Аристотеля [177], критикует эти два утверждения как опиравшиеся наложную интерпретацию здравого смысла и препятствовавшие прогрессу науки. Наука стала прогрессировать лишь тогда, говорит он, когда были введены функции, связавшие время и скорость, и стали использоваться при вычислении движений объектов.

Первое возражение легко устранить, если вспомнить о том, что аристотелевское понятие непрерывности обязано своим происхождением Пармениду (16). Верно, иногда Аристотель для иллюстрации непрерывности использует такие обыденные понятия, как клей или гвоздь (227а17). Однако содержание понятия заключено в его следствиях, а в число этих следствий входит утверждение 2 (безграничность делимости), которое можно доказать только на основе постулата однородности, похожего на постулат Парменида.

Второе критическое замечание говорит лишь о том, что ученые могут получить очень много из скудной мысли. В п. 21 я цитировал Галилея, чтобы показать, что его интересовала только длина линии, а не ее структура. Эта позиция хорошо служила ученым до тех пор, пока решаемые ими проблемы не затрагивали структуры. Сомнения возникли в квантовой механике, когда рассмотрение структуры приобрело важное значение. В попытках решить проблемы, связанные со структурой, физики прибегли к идеям, очень похожим на те, которые выражены в утверждениях 4 и 5 (отношение неопределенности между временем и энергией). Теперь можно сказать, что они согласны с принципом Аристотеля, гласящим: «необходимо, чтобы и движущееся двигалось, и покоящееся покоилось во времени» (234Ы0).

Утверждение 6: точка не занимает места (212Ь24).

Это вытекает из определения места в 6 в качестве пространственного коррелята утверждений 4 и 5. Эти три утверждения (и некоторые другие) были предвосхищены в рассмотрении Платоном Единого («Парменид», 137). В этом отрывке содержится также материал, который Аристотель, по-видимому, использовал в своем определении непрерывности (см. п. 20). Согласно п. 9, движение может быть разделено только с помощью временной его остановки: «движение должно остановиться и начать двигаться снова» (262а24). Когда движение останавливается, движущийся объект находится в определенном месте и обладает определенными свойствами: например, объект является серым, когда он останавливается при переходе от белого к черному (234Ы8). Находиться в определенном месте и обладать определенными свойствами характеризует объект, который не движется. Следовательно, двигаться означает не находится в определенном месте и не обладать определенными свойствами. По-видимому, Аристотель, хотя иногда и делал этот вывод (см. утверждение 14), не всегда был готов совершить этот шаг (см. ограничение: «объект как целое не может находиться в обоих [начальном и следующем состояниях движения] или ни в одном из них» [234Ы7]). Скорее, он приходит к выводу о том, что «в течение всего процесса изменения [объект] отчасти находится в одних условиях, а отчасти — в других», т.е. он должен делиться на части, которые находятся в разных условиях.

Утверждение 7: то, что изменяется, делимо (234Ы0).

В применении к перемещению это означает, что мы имеем дело с эластичными и деформируемыми объектами. Отметим здесь сходство с релятивистским пониманием движения протяженных объектов.

Утверждение 8: когда изменение завершено, изменяющаяся вещь пребывает в состоянии, в которое она перешла (буквально: то, что изменилось, есть то, во что оно изменилось, [235Ь6]).

Это вытекает просто из значений терминов.

Утверждение 9: первое время, когда изменяющееся завершило свое изменение, неделимо.

Допустим, оно делимо и изменение присутствует в обеих частях. Но тогда изменение еще не завершилось. Если же изменение присутствует только в одной части, то мы имеем дело не с первым временем (235633).

Утверждения 8 и 9 связаны с тем, что отмеченные этапы движения сопровождаются прерыванием этого движения. Движение включает в себя противоположности (189а 10); одна из противоположностей есть то, «ради чего» совершается движение или его цель (telos) (194ЬЗЗ). Когда цель достигнута, движение завершено и, следовательно, прервано; прерывание дает неделимый предел (236а 13) движения. Об этом и говорят утверждения 8 и 9.

Утверждение 10: не существует неделимого первого времени, когда то, что изменяется, завершило свое изменение (239а 1).

Причина в том, что завершающее свое движение находится в движении, а (утверждение 4) в неделимый момент движения не существует. Похожим образом из утверждения 5 следует утверждение 11.

Утверждение 11: не существует неделимого первого времени, в котором имеется покой (239а 10).

Далее:

Утверждение 12: всякая вещь, которая изменяется в определенное время, изменилась до этого времени.

Допустим, АВ есть первое время для изменения. Изменение должно произойти в точке а, между А и В, но также и в Ь, между А и а, и в с, между b и А, и т.д. Следовательно:

Утверждение 13: не существует начала процесса изменения (236а 13). Результаты предыдущего раздела можно суммировать следующим образом. Каждое изменение характеризуется вполне определенным неделимым моментом, первым моментом, когда изменение завершено. Не существует последнего момента, когда движение прекращается, не существует первого момента, когда движение начинается, не существует первого момента покоя после того, как движение завершено.

Можно предположить, что эта ситуация является тривиальным следствием того факта, что ряд изменений, заканчивающихся при достижении цели, замкнут справа и открыт слева и что он является всюду плотным (см. гл. 4 в [ПО]). Однакотакое сравнение ошибочно во многих отношениях. Начать с того, что структура аристотелевской линии отличается от структуры плотных последовательностей. Все элементы плотной последовательности существуют и образуют эту последовательность. С другой стороны, аристотелевская линия является единой и неделимой до тех пор, пока ее части не будут актуализированы с помощью специальных средств. Во-вторых, конечная точка изменения является актуальной не потому, что все точки изменения актуальны, и не потому, что изменение прерывается внешним образом, а благодаря тому конкретному способу, которым завершается каждое изменение: это обусловлено внутренней структурой процесса изменения. В-третьих, изменение не имеет начала, поскольку нет движения в «теперь».

Разницу между аристотелевским континуумом и математическим континуумом очень ясно выразил (без ссылки на Аристотеля) Герман Вейль в своем сочинении «Континуум» ([256], с. 71):

Нет соответствия между интуитивным континуумом [так Вейль называет континуум, рассматриваемый как неделимое целое] и математическим континуумом [состоящим из точек]...; они разделены непроходимой пропастью. Однако имеются разумные соображения, побуждающие нас в наших попытках понять природу переходить от одного к другому. Это те же самые соображения, которые из мира человеческого опыта - места нашей обыденной жизни — направляют нас к «подлинно объективному», точному и количественному миру, лежащему «за» опытом, и побуждают нас заменять цветовые качества видимых объектов вибрациями эфира... Поэтому наша попытка построить анализ [из неделимых единиц] может рассматриваться как теория континуума, которую можно проверить экспериментом как любую другую физическую теорию.

Математическая реконструкция континуума, говорит Вейль в другом месте ([257], с. 42),

выбирает из текучей массы... множество индивидуальных точек. Континуум разбит на изолированные элементы, и взаимосвязанность всех его частей заменена определенными отношениями между изолированными элементами. Для Евклидовой геометрии достаточно использовать систему точек, координаты которых являются Евклидовыми числами. Непрерывный «пространственный соус» между ними не проявляется.

Это как раз позиция Галилея (см. цитату в п. 21), только Вейль осознает ее ущербность и возможность того, что она проявится в физике. «Непрерывный пространственный соус» может проявить себя, когда мы перейдем к новым областям исследования. Некоторые физики считают, что это уже проявляется в микрофизике. Согласно утверждениям 4 и 5, в моменте не существует ни движения, ни покоя: каждое движение заполняет некоторый интервал времени. Местоположение объекта, движущегося в пространстве, является неопределенным в соответствии с величиной этого интервала. Если местоположение неопределенно, то неопределенна и длина.

Утверждение 14: то, что движется, не имеет определенной длины (в направлении движения).

И наоборот, определенную длину можно приписать объекту только в том случае, если он может «покрыть» устойчивый измерительный стержень, т.е. если он находится в покое. Нахождение в покое требует времени (утверждение 5), следовательно:

Утверждение 15: объект может иметь определенную длину только в том случае, если в течение некоторого интервала времени он находится в покое, сколь бы малым ни был этот интервал. Я завершаю кратким рассмотрением того, каким способом Аристотель разрешает парадоксы движения Зенона. Аристотель описывает четыре таких парадокса. Его описание является самым ранним подробным истолкованием аргументов Зенона.

Согласно первому парадоксу, движение невозможно, ибо прежде чем достигнуть некоторого пункта, движущееся тело должно сначала пройти половину расстояния до него, а перед этим — половину половины и т.д. Одно решение было представлено в п. 9. У Аристотеля имеется и второе решение, которое он считал менее удовлетворительным (263а4).

Согласно второму парадоксу, быстрый Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху, «так как преследователь сначала должен достигнуть пункта, с которого стартовал преследуемый, так что преследуемый всегда будет оставаться впереди». Аристотель рассматривает это как иной вариант первого парадокса и решает его аналогичным образом.

Третий парадокс, «летящая стрела», говорит о том, что в любой момент своего полета летящая стрела занимает место, равное своей собственной длине, следовательно, покоится в любой момент своего полета и в течение всего полета в целом. Этот парадокс решается ссылкой на утверждения 4 и 14.

Четвертый парадокс, который несколько труднее интерпретировать, показывает, что «половина времени есть уд

военное время». Имеется (рис. 10) три ряда предметов А, В и С. А находится в покое; ряд В движется вправо, ряд С — влево, скорости одинаковы. В то время как С проходит все В, В проходит только половину А. Предположив, что прохождение двух предметов занимает одно и то же время — независимо оттого, движутся они или покоятся, — мы можем сказать, что В проходит половину А и проходит все С, следовательно, затрачивает половину времени, в то время как С проходит дважды множество как В, так и А, и поэтому, затрачивает двойное время для того же самого процесса. Аристотель отвергает это предположение и тем самым устраняет парадокс.

Рафаэль Фербер в своей интересной и оригинальной книге («Парадоксы движения Зенона» [54]) высказал предположение о связи этого парадокса с некоторыми более ранними вариантами той идеи, что бесконечно делимое имеет одно и то же число неделимых, независимо от своего размера. В наши дни эту идею иллюстрирует чертеж, представленный на рисунке 11. Для каждой точки на АВ существует одна и только одна точка на CD, поэтому эти две линии состоят из равного числаточек. Согласно Арпаду Сабо ([235]), аксиома 8 из «Начал» Евклида, I: целое больше части (которая в доказательствах заменяется стереотипом «иначе то, что меньше, было бы равно тому, что больше, а это невозможно»), была сформулирована потому, что некоторые люди отвергали ее (нельзя вообразить другой причины для формулиров-

ки такого очевидного принципа). Одним из этих людей был Анаксагор (Дильс—Кранц, ВЗ):

Ибо ни у малого нет наименьшего, но всегда (еще) меньшее (ибо бытие не может перестать быть путем деления), и точно так же у большого есть всегда большее. И оно равно малому по множеству. Сама же по себе всякая вещь и велика и мала (рус. пер. [266], с. 531).


Можно предположить, что это утверждение, лежащее в основании идеи Анаксагора относительно того, что каждый кусок материи содержит в себе элементы всего — плоть содержится в металле, металл — в воздухе, воздух — в кости и т.д., — также связано с постулатом Парменида об однородности Единого (п. 16 выше). Если Единое однородно, то мельчайшая часть обладает той же самой структурой, как и целое, например, она имеет то же самое число частей (подразделений)173. Можно ли найти такую интерпретацию чет-

Рисунок 13

вертого парадокса, которая приводит к этому результату? Да, возможно! (См. рис. 12.) Возьмем любую точку на С, которая по предположению непрерывна. Когда эта точка, скажем О, проходит правый конец R линии В, то R будет ниже Р, на полпути между R и О, поэтому Р будет соответствовать О. Обратно, для каждой точки S на А существует одна и только одна точка на С, а именно та точка, которая находится в 2MS справа от N. На современной диаграмме (рис. 13) эти соотношения становятся наиболее наглядными: целое отображается на свою половину. Учитывая определение в п. 15, можно предполагать, что Аристотель согласился бы с этим результатом при условии, что отображение имеет место между сечениями, создающими точки, а не между предсуществующими точками. Трудно сказать, какие следствия мог бы он извлечь отсюда.

<< | >>
Источник: Фейерабенд П.. Прощай, разум. 2010

Еще по теме Некоторые соображения по поводутеории математики и континуумаАристотеля:

  1. Некоторые соображения по поводутеории математики и континуумаАристотеля