Опровержения ложной аналогии между математикой и эмпирической наукой, между доказательством и экспериментом
Витгенштейн постоянно проводит мысль об отличии математического вычисления или доказательства от проведения эксперимента. Это отличие наглядно проявляется в реакции на неожиданный результат.
Если мы проводим математическое вычисление и его результат расходится с тем, что мы можем наблюдать, то мы делаем вывод, что некорректно не вычисление, а наблюдение. Например, если мы складываем два яблока и еще два яблока и, пересчитав кучку, обнаруживаем, что у нас три яблока, мы не скажем: «Значит, 2 + 2 не всегда равно 4». Мы просто скажем: «Одно яблоко пропало, хотя мы не успели этого заметить». Данный пример показывает фундаментальную разницу между математическими и эмпирическими (экспериментальными) предложениями. Она состоит не в формулировке, не в используемых понятиях, но в употреблении соответствующих предложений. Математические предложения так же не могут опровергаться экспериментами, как и предложение: «В одном метре сто сантиметров».Раз математические предложения не могут опровергаться фактами реальности, значит, они ничего не говорят о ней. Поэтому, утверждает Витгенштейн, математические предложения вообще не могут быть названы предложениями. Это — правила, чем и объясняется их неумолимость. Мы можем предсказать результаты вычисления (измерения, взвешивания и пр.), потому что, осуществляя эти процедуры, следуем тем правилам, на которых основаны наши предсказания.
Будучи правилами, математические теоремы указывают на допустимые словосочетания. Когда входящий в них термин начинает использоваться за пределами математики, то они дают
возможность определить, какие фразы с этим термином осмысленны, а какие — нет. Геометрия не описывает кубы, существующие в реальности, и не является наукой, изучающей и описывающей идеальные кубы. Она определяет смысл слова «куб» и дает правила использования этого слова. Например, если нам скажут: «У этого куба оказалось 13 ребер», то мы, не рассматривая его, можем заявить: «Это невозможно.
Либо у него 12 ребер, либо это не куб».Витгенштейновская трактовка математических предложений заставляет по-новому посмотреть на значение и функции доказательства. Если считать, что математические теоремы описывают особую математическую реальность, то доказательство будет играть роль гаранта истинности подобного описания. Оно требуется, если утверждение теоремы не очевидно. А для чего служит доказательство, если мы признаем, что доказываемое предложение не может быть ни истинным, ни ложным? Оно служит для установления смысла доказываемого предложения. Одновременно оно позволяет формулировать новые языковые правила.
Математическое предложение не имеет определенного смысла до того, как оно доказано. Пониманию данного обстоятельства, полагает Витгенштейн, мешает ложная аналогия: эксперимент верифицирует истинность физической гипотезы, а доказательство — теоремы. «Ни одно воззрение не сыграло такой роковой для философского понимания математики роли, как мнение, что доказательство и опыт являются двумя различными, но сравнимыми методами верификации» [Ibid., 1973, р. 361]. Когда мы убеждаемся, что некоторое эмпирическое предложение истинно (или ложно), это не влияет на его смысл, а просто добавляет какую-то внеязыковую информацию. Совсем по-другому обстоит дело с математическими предложениями. Здесь доказательство влияет на словоупотребление. Мы можем осмысленно говорить о кентаврах и единорогах, даже зная, что их не существует. Но когда мы узнаем, что с помощью циркуля и линейки угол нельзя разделить на три равные части, то фраза: «Я разделил этот угол на три равные части с помощью циркуля и линейки» — будет не ложной, а бессмысленной. Естественная Реакция на нее: «Вы допустили ошибку или не понимаете смысла данной задачи».
Следовательно, доказательства влияют на использование языка. Они создают новые языковые правила. Так, когда была
доказана основная теорема алгебры (что уравнение степени п имеет в точности п корней), то фактически было создано новое исчисление.
Данная теорема может показаться открытием не зависящей от нас истины об уравнениях, но это иллюзия, ибо теорема зависит от решения математиков и введения символики для комплексных чисел. Однако, для того чтобы обнаружить это, надо посмотреть на доказательство. Оно вписывает данное математическое предложение в систему других предложений и благодаря этому формирует его смысл.Итак, Витгенштейн убеждает нас в том, что математические предложения — это не идеализированные описания эмпирической реальности и не образы особой умопостигаемой реальности. Они суть грамматические нормы, управляющие нашими описаниями реальности.
С этим поначалу трудно согласиться. В самом деле, ведь реальность упорно подтверждает правила арифметики, алгебры, геометрии и прочих разделов математики. Например, часто ли приходится сталкиваться с ситуацией, когда мы сложим два яблока и еще два и обнаружим, что их у нас не четыре, а три или пять. Поэтому нам трудно согласиться считать математические законы чисто конвенциональными (ср. с позицией Пуанкаре).
Чтобы продемонстрировать конвенциональность принятой арифметики, Витгенштейн пытается показать возможность других способов счета или измерения. Он утверждает, например, что можно вообразить себе, что все линейки делаются из эластичного материала. «Но ведь они будут давать ложные результаты!» — так и хочется возразить ему. Однако разве есть такая вещь, как «истинная» длина? Длина является результатом выбора определенной единицы и процедуры измерения. Коль скоро они фиксированы, то относительно их становится возможным говорить о правильных или неправильных результатах. Однако говорить так о самих процедурах и единицах измерения бессмысленно. Они могут быть только удобными и неудобными.
Витгенштейн утверждает также, что возможна арифметика, в которой 2 + 2 = 3 или 5. «Но она будет неприменима!» — воскликнем мы. Она не будет применима тем же способом, каким применяется привычная арифметика, поправит нас Витгенштейн. Однако возможно, что она будет применяться по-другому, например, при пересчете предметов, которые могут испаряться, сливаться с соседними или раздваиваться.
Наша арифме-
тика рассчитана не на такие объекты, а на твердые, четко различимые и устойчивые предметы вроде палочек или кубиков, на которых всех учат считать в детстве. Поэтому, если результаты счета вдруг не согласуются с реальностью, мы не подвергаем сомнению арифметику, но заключаем, что пересчитываемые предметы слишком отличаются от парадигмальных твердых неисчезающих объектов счета. Однако отсюда не следует, что не может быть другого счета и других способов обучения. Просто мы не назовем другой образ действий счетом, и это создает иллюзию, что наша процедура счета является единственно правильным отражением некоей реальности: умопостигаемого универсума чисел и их отношений.
Счет является важной частью нашей жизненной активности. Он применяется. Но это, как постоянно подчеркивает Витгенштейн, не дает оснований говорить о его истинности. Поясняя свою мысль, он даже предлагает такой пример: в некотором племени принято начинать (или не начинать) войну в зависимости от результата шахматной партии. Здесь шахматы тоже применяются. Но это не изменяет их природы. Шахматные правила суть конвенции.
Но разве одни математические предложения не следуют из других с логической необходимостью? Разве нет истины, соответствующей логическому выводу? Подобный вопрос Витгенштейн парирует контрвопросом: а с чем мы вступим в противоречие, если сделаем иной вывод? Каким образом, например, мы вступаем в конфликт с истиной, используя эластичные линейки? Конечно, в этом случае будут получаться другие результаты. Но разве есть «истинные» размеры?
Для пояснения этой мысли Витгенштейна можно привести простые и известные всем примеры. Математики прошлого были убеждены, что результата вычисления 3 - 5 не может быть. Сейчас мы делаем это вычисление и пишем —2. Подобно этому, математики прошлого считали, что у уравнения х2 + 1 = О нет корней, тогда как современная математика утверждает, что у него есть два «мнимых» корня. Выводы, таким образом, изменились. Но где же здесь столкновение с реальностью? Его нет.
Есть Просто разные исчисления, имеющие разные применения.Поэтому Витгенштейн и утверждает, что переход от одного Математического предложения к другому в ходе математического вывода опирается на принятые правила, которые в принципе
могли бы быть другими. Здесь нет особой, «оккультной», как он выражается, связи между самими предложениями в цепочке вывода. Предложения следуют друг из друга не сами по себе, а потому, что у нас принята система, в которой есть правило, позволяющее осуществлять такой вывод.
Аналогия между математикой и опытными науками приводит и к вере в то, что математика описывает определенные объекты. В начале XX в. такая вера подверглась суровому испытанию из-за обнаружения парадоксов теории множеств. Ведь выяснилось, что теория множеств допускала и множества с противоречивыми свойствами, тогда как противоречивые объекты с точки зрения математики не существуют.
Эта ситуация породила различные попытки определения того, что такое математическое существование. Велась активная полемика между формалистами, для которых оно было равносильно непротиворечивости, и интуиционистами, которые разрешали считать математический объект существующим, только если имеется эффективный способ его построения. Интуицио- нисты отвергали все доказательства существования «от противного». Размышления Витгенштейна привели к выводу о неправоте обеих сторон. Неправомерны сами попытки определить, что такое подлинное математическое существование.
Убеждение, что математическим понятиям-соответствуют особые абстрактные сущности, вытекает, по утверждению Витгенштейна, из неправильного представления о значении. Считается, что существительное должно обозначать какой-то определенный предмет или мысленный образ. В математических рассуждениях, в отличие от обыденных, числа ведут себя как существительные. Поэтому начинаются поиски предмета, который соответствует числу и является его значением, подобно тому как значением слова «яблоко» является реальное яблоко.
Поскольку ничего подходящего найти не удается, делается вывод, что значениями слов, обозначающих числа, являются абстрактные предметы. Фреге и Рассел предлагали в качестве таковых множества эквивалентных множеств. Но, как объясняет Витгенштейн, данное определение не объясняет природы натуральных чисел, ибо основной способ установления эквивалентности конечных множеств — это их пересчет.Как нам понять, что такое число? О чем говорит арифметика? Затруднение, полагает Витгенштейн, объясняется еще и тем,
что математика окружена особым ореолом значительности. Поэтому он предлагает начать разговор не о математике, а о шахматах. Попробуем вместо вопроса: «О чем арифметика?» — спросить: «О чем шахматы?» Что такое шахматная фигура? Очевидно, что не кусочек дерева или слоновой кости, а нечто большее, для чего фигурка выступает только знаком. В то же время мы понимаем, что она не является знаком какого-то идеального объекта. Шахматная фигура, знаком которой выступает данная фигурка, определяется через ее роль в системе правил шахматной игры. Никакого самостоятельного значения она не имеет. То же можно сказать и о любом математическом понятии. Его значение — это его употребление в соответствующей математической теории.
Однако шахматы не имеют применений, а арифметика или геометрия именит. Поэтому люди относятся к первым и вторым по-разному и не замечают, что проблема их значения решается в данном случае аналогично.
Математические объекты и факты конструируются доказательствами, которые включают их в определенную теоретическую систему и тем самым дают им жизнь. Витгенштейн подчеркивает, что доказательство не уточняет старые понятия, но просто создает новые. Доказательство определяет также правила употребления математического утверждения. До доказательства математический объект или факт просто не существуют, подобно тому как шахматные фигуры не существовали до того, как появились правила шахматной игры. А математические теоремы до доказательства — это правила, о которых еще не известно, из какой они игры, т. е. нечто, не обладающее смыслом. Смысл будет создан доказательством. Новые методы доказательства изменяют его.
Парадоксальным следствием витгенштейновских рассуждений оказывается вывод, что доказательство всегда доказывает не то, что собирались доказать. Результат — это осмысленное математическое утверждение, а доказывалось предположение; оно является всего лишь цепочкой символов, вызывающих у математиков определенные ассоциации. Математическое предположение, которое еще надо доказать, есть просто некий замысел.
Для Витгенштейна оказывается очень важной также и та Мысль, что доказательства бывают разными. Более того, «каждое Новое доказательство расширяет в математике понятие доказательства» [Ibid., 1982, р. 10].
Возьмем теоремы о существовании. Интуиционисты и конструктивисты утверждали, что они должны давать метод построения того объекта, существование которого доказывается. Иначе теоремы существования не имеют смысла. Но почему, спрашивает Витгенштейн, доказательства существования должны быть построениями? Защитники такого мнения убеждены, что знают, в чем состоит математическое существование, и поэтому могут судить, какие из доказательств являются доказательствами существования. Но «если бы была такая вещь, как существование... тогда можно было бы говорить, что каждое доказательство существования должно делать то-то и то-то... каждое доказательство существования отличается от другого, и каждая «теорема существования» имеет свой смысл, соответствующий тому, может или не может быть построено то, существование чего доказывается» [Ibid., 1982, р. 117]. «В действительности существование — это то, что доказывается теоремами, называемыми теоремами существования» [Ibid., р. 374]. Отрицание неконструктивных доказательств опирается на своего рода «натурализм» в понимании математических объектов: как будто можно непосредственно их узреть, а потом отобрать доказательства, которые доказывают именно существование, а не что-то другое.
Итак, Витгенштейн заявляет, что для понимания любого математического утверждения надо обратиться к его доказательству. Однако результаты доказательств или вычислений формулируются в языке как самостоятельные предложения. Этим создается опасная языковая ловушка, способная порождать мифы относительно смысла таких предложений. Поэтому нельзя абсолютизировать формулировку теоремы и рассматривать ее как описание некоторого независимого факта. «Если ты захочешь знать, что означает выражение «непрерывность функции», посмотри на доказательство ее непрерывности; оно покажет тебе, что было доказано» [Ibid., 1973, р. 369—370]. Витгенштейн постоянно подчеркивает, что в математике «средства и результат — это одно и то же. Как только я начинаю различать средства и результат, это уже не математика» [Ibid., 1976, р. 53].
Позиция, согласно которой математика есть наука, описывающая особые, независимо от этих описаний существующие объекты, и до сих пор остается привлекательной для многих математиков и философов математики. Такая позиция называется ма-
тематическим платонизмом, или математическим реализмом (ряд концепций и авторов названы в [Барабашев, 1991, с. 82—83]).
Например, В.Я. Перминов утверждает: «Мы можем говорить о реальности первичных математических объектов, во-первых, в том смысле, что они являются элементами онтологически детерминированных понятийных систем. Арифметика и элементарная геометрия реальны, поскольку они порождены представлениями идеальной предметности в качестве их формального коррелята. Евклидова геометрия, несомненно, реальна, ибо она имеет онтологический статус, которого не имеет никакая другая геометрия» [Перминов, 1999, с. 96].
С.С. Демидов отмечает, что «вера в то, что математические сущности некоторым образом предшествуют нашим математическим изысканиям, разделяется большинством математиков. Это уже другой вопрос: какой смысл мы вкладываем в слово «предшествуют»? Считаем ли мы, как платоники, что они образуют некоторый существующий независимо от нас мир, знакомство с которым дается нам особой формой внутреннего зрения — интуицией, или же предполагаем, что сущности эти суть законы, по которым построен мир в итоге акта божественного Творения или в результате естественной эволюции» [Демидов, 2001, с. 145].
Особые математические объекты требуются потому, что, с одной стороны, невозможно трактовать математические теории как описания реальных объектов физического мира. В истории философии неоднократно выдвигались доводы, показывающие эту невозможность. Напомним хотя бы о том, что математические теории, в отличие даже от самых абстрактных теорий математической физики, не проверяются экспериментами. И невозможно представить себе, чтобы математическая теория была отброшена, потому что ее утверждения противоречат данным опыта и наблюдения.
С другой стороны, математические утверждения никоим образом не произвольны. Математик не свободен изобретать любые объекты с любыми свойствами и отношениями. Поскольку °н не свободен, у него складывается убеждение, что он открывает свойства математических объектов, а не изобретает их. На этот факт неоднократно обращали внимание математики и философы. Многим из них представлялось, что единственным способом объяснения всего этого может быть только допущение не-
зависимого идеального существования математических объектов как сущностей особого рода.
Такого убеждения придерживается, например, известный математик, автор знаменитой теоремы о неполноте формализованной арифметики, Курт Гёдель. Свое убеждение он сформулировал в статье «В чем состоит канторовская проблема континуума?» [Godel, 1964]. Он отталкивался от обсуждения вопроса: возможны ли разные теории множеств (с канторовской гипотезой континуума или с ее отрицанием[XXVII]), подобно тому как недоказуемость пятого постулата Евклида открыла путь для построения разных геометрий? В самом деле, из доказательства независимости континуум-гипотезы следует возможность построения альтернативных теорий множеств, а из этого обстоятельства весьма естественно было бы заключить, что теория множеств (и соответственно множество как математический объект) является конструкцией математика, а не описанием особой реальности. На такой вывод наталкивает аналогия с геометрией. Ведь неевклидовы геометрии очевидно являлись конструкциями математиков. Позднее вопрос об истинности определенной геометрической теории оказался перенесенным в плоскость физического рассмотрения. Физика, а не математика решает сейчас, какая из геометрий истинна в смысле соответствия реальности. Но объекты теории множеств, напоминает Гёдель, не принадлежат физической реальности. Тем не менее, утверждает он, «несмотря на их удаленность от чувственного опыта, у математика есть что-то вроде восприятия также и для этих объектов, ибо аксиомы теории множеств как бы сами навязываются нам в качестве истинных. Я не вижу, — говорит далее Гёдель, — никаких причин, по-
чему этому виду восприятия, т. е. математической интуиции, мы должны доверять меньше, чем тем восприятиям, которые приводят нас к построению физических теорий и к ожиданию, что будущий чувственный опыт согласуется с ними. Парадоксы теории множеств являются математически не более серьезной проблемой, чем обман чувств для физики» [Ibid., 1964, р. 271].
Весьма любопытно дальнейшее развитие Гёделем этой аналогии. Математическая интуиция, говорит он, необязательно должна мыслиться как способность непосредственного знания о множествах. Ведь и знание о физических объектах не является непосредственным знанием о чувственных восприятиях. Абстрактные элементы математики не являются чисто субъективными, «скорее они тоже представляют какой-то элемент объективной реальности, но, в отличие от ощущений, присутствие их в нашем знании объясняется каким-то особым видом отношения между ними и реальностью» [Ibid., р. 272]. В связи с этим Гёдель ссылается на И. Канта, утверждая, что существует глубокая аналогия между понятием множества (в его понимании) и категориями чистого рассудка в смысле Канта; функцией и первого, и вторых является синтез многообразного.
Позиция математического реализма, защищаемого Гёделем, применительно к канторовской континуум-гипотезе будет означать уверенность в том, что в правильной теории множеств самой по себе является фактом истинность или неистинность континуум-гипотезы. Задача математика — «разглядеть» этот факт и затем выразить его, переформулировав принятые аксиомы или введя новые. Эта позиция продолжает обсуждаться в современной литературе по философии математики. Так, П. Мэдди на основе подобной аналогии между математическими и физическими науками формулирует позицию «теоретико-множественного реализма», или «платонизма» [Maddy, 1981]. «Центральным для этой концепции является убеждение, что математические Утверждения либо истинны, либо ложны, что их истинностные значения зависят от свойств независимо существующих математических объектов (а не от структуры человеческого интеллекта, особенностей языка и пр.) и не зависят от нашей способности (или неспособности) определять, каковы именно эти истинностные значения» [Ibid., 1981, р. 495].
Еще один современный исследователь, Марк Стейнер [Steiner, 1983], показывая, что понятие существования может охватывать Разные типы существования (например, по-разному существуют
кусок сыра и дырочки в нем), выделяет понятие реального существования и предлагает для него следующий критерий: реально существующим является то, чему можно давать разные независимые (т. е. принадлежащие разным концептуальным схемам или теориям) описания. Подобный критерий мотивируется тем, что «быть реальным — значит быть независимым... от нашей концептуальной схемы...» [Ibid.]. Далее Стейнер утверждает, что можно найти основания для утверждения о реальном существовании математических объектов, ибо, как он полагает, можно доказать, что их существование независимо от наших концептуальных схем, если только будет показано, что для математических объектов могут быть даны различные независимые описания. А признание их реального существования необходимо, полагает он, ибо как иначе можно было бы объяснить открытия в математике. В качестве яркого примера подлинного открытия он предлагает формулу: с'" +1 = 0. Такая простая и элегантная связь этих важнейших математических констант действительно неожиданна. Каждая из них вводилась в математике совершенно независимо от других. Возможность появления их в одной формуле обусловлена тем, что для ж, е, i имеются независимые описания. Например, ж определяется в геометрии как отношение окружности круга к диаметру, а в теории комплексных чисел для него принимается другое описание: arg(~l)= ж.
Пример Стейнера, конечно, обращает на себя внимание. Но все же его аргументация нам представляется недостаточно убедительной. В самом деле, если для к имеется и другое определение, помимо исходного геометрического, этого еще недостаточно для утверждения, что ж вообще существует независимо от даваемого математиками определения. К тому же еще вопрос: в каком смысле определение ж в теории комплексных чисел независимо от геометрического (не имело его в виду, не было ориентировано на согласование с традиционным определением?)
Анализируя аргументацию Гёделя, Стейнера и других защитников математического реализма, С.С. Демидов утверждает: «...за реалистической позицией скрываются очень сильные аргументы. С другой стороны, сколь бы основательными они ни выглядели, даже взятые в своей совокупности, доказательством они не являются. Впрочем, доказательств здесь и быть не может. К тому же в пользу антиреалистической конструктивной позиции (...предполагающей, что математические сущности и теории являются свободными конструкциями человеческого разума)
также выдвигаются серьезнейшие аргументы. Причем выдвигали их такие крупнейшие математики, как, например, А.А. Марков, имевшие большой опыт работы в классической математике... Основной, на мой взгляд, аргумент здесь все тот же, к которому мы прибегали для защиты позиции реализма: опыт работающих математиков, конструировавших свои результаты. Даже самые убежденные реалисты имеют в своем непосредственном творчестве опыт свободного математического конструирования. Особенно большой простор возможностям такого конструирования предоставляет современный аксиоматический метод...» |Демидов, с. 150].
Демидов предлагает соединить обе интерпретации математики. Тогда это будет выглядеть следующим образом: существует Математика как таковая — мир независимых математических сущностей. А люди-математики в конструкциях своего ума пытаются все точнее воссоздать ее. «Математика с большой буквы является для нас некоторым возможно (или даже — скорее всего) недостижимым идеалом. Если Математику мы открываем, то математику строим» [Там же, с. 152]. В результате получается картинка, полностью соответствующая наивно-реалистическим представлениям о том, как развиваются естественные науки.
Все это показывает, что витгенштейновский анализ той роли, которую играют в философии аналогии между математикой и естественными науками, до сих пор актуален. Похоже, что математический платонизм просто обречен возрождаться снова и снова. Один из современных исследователей, М. Маховер, видит причину его живучести в том, что математический платонизм подкрепляется определенными чертами самой математической деятельности, а именно неизбежным процессом отчуждения результатов математической деятельности от породившего их ума. Результаты, полученные любым членом математического сообщества, реифицируются, т. е. представляются как обладающие собственными законами и развитием. Таким образом, корень математического платонизма видится Маховеру в социальной природе математики, которую не осознают сами члены математического сообщества. Эти рассуждения достаточно близки духу витгенштейновских заметок по философии математики[XXVIII].
Проблема бесконечности
Проблема бесконечности является едва ли не самой захватывающей проблемой философии математики, причем не только для философов, но, как показал кризис в основаниях математики, и для самих математиков. И для тех, и для других бесконечность подчас становилась источником терзаний и мучений. Лекарство от этих мучений, по мнению Витгенштейна, заключается в том, чтобы «подчеркивать различия там, где обычно замечают сходство». Следуя этому принципу, Витгенштейн, например, фиксирует внимание на различиях между периодическими и непериодическими бесконечными дробями. Конечно, сама математика стремится к единой трактовке всех чисел. Однако, полагает Витгенштейн, такая тенденция приводит к серьезным философским недоразумениям. Затруднения здесь связаны с оборотом «и так далее до бесконечности» и его грамматикой. Когда мы продолжаем «до бесконечности» периодическую дробь, то, определив период, уже можем делать предсказания относительно всего бесконечного продолжения. Например, мы можем сказать, что в десятичном разложении дроби 1/3 нигде не встретится двойка. Как нам дано знание того, что произойдет в бесконечности? Ответ на подобный вопрос нашелся бы без труда, если бы не мешала аналогия с продолжением в бесконечность иррационального числа. Из-за нее мы начинаем представлять себе дело так, как будто речь идет о бесконечности в одном и том же смысле. Тогда наша способность предсказывать, какие цифры будут появляться в бесконечном продолжении периодических дробей, начинает выступать как свидетельство того, что,бесконечный процесс является завершенным, и божественный разум может обозреть его целиком в любом случае, а мы — только то- гда, когда имеем дело с периодическими дробями. При этом еще не выполненное разложение (например, разложение числа к до стомиллионного знака) рассматривается как уже существующее. Игнорирование специфики различных употреблений выражения «и так далее до бесконечности» способно породить иллюзию, что не вычисленные члены бесконечной последовательности уже имеются и подразумеваются.
Самый лучший способ убедиться, что равенство a = b имеет разный смысл для случаев, когда am b рациональны и когда они иррациональны, — это посмотреть на способы проверки равенства в обоих случаях.
Слово «бесконечность» имеет разные употребления, которые не надо путать или отождествлять. Например, сказать, что в бесконечном разложении дроби 1/3 не встретится цифра 2, — значит сказать, что ее нет в периоде: и это все содержание данного утверждения. Иррациональные числа являются процессами. Мы не можем сказать, какая цифра стоит на стомиллионном месте в десятичном разложении некоторого числа, не потому, что наш разум не может, подобно божественному, обозревать завершенную бесконечную совокупность, а потому, что это разложение пока еще не существует.
В аналогичном ключе Витгенштейн анализирует общие арифметические предложения типа: «Для всякого х Ах». Он подчеркивает, что грамматика подобных предложений различна в зависимости от того, пробегает ли х по конечным или по бесконечным областям. Чтобы убедиться в этом, надо обратить внимание на употребление предложения и прежде всего на способы его проверки: «Прежде чем говорить обо «всех этих объектах» или «совокупности этих объектов», я обязан хорошенько поразмыслить над тем, каким условиям должно удовлетворять в этом случае употребление слов «все» и «совокупность» [Wittgenstein, 1973, р. 457]. Бытует ложное представление, что процедура проверки общих бесконечных предложений аналогична проверке конечных и состоит в последовательной проверке всех единичных предложений А(1), А(2), А(3)... и т. д. до бесконечности. При этом считается, что проверка бесконечных предложений отличается от проверки конечных только практической невозможностью осуществить бесконечный перебор из-за нехватки времени и бумаги. При этом «то, что называется «логической невозможностью», смешивается с физической невозможностью» [Ibid., 1973, р. 452]. То есть бесконечное в математическом смысле понимается как чрезвычайно большое. И тогда начинает казаться, что трудность, связанная с проверкой бесконечного числа единичных предложений, в принципе не отличается от затруднения при проверке очень большого, но ограниченного числа высказываний и упирается только в нехватку времени и бумаги. Дело же в том, что предложения о бесконечном множестве и об «очень большом конечном» имеют разную природу.
Игнорирование различия между ними укрепляет веру в то, что бесконечное лежит в одном ряду с конечным, только дальше; бесконечное начинается тогда, когда кончается конечное, а это
очень-очень далеко. Вспомним упоминавшееся выше сравнение Дж. Харди: математик подобен путешественнику, который наблюдает и описывает горную цепь. Ему просто описать то, что он видит ясно, но с самыми отдаленными вершинами могут возникать затруднения. А тогда, если продолжить сравнение Харди, насколько значительными будут затруднения при описании бесконечно удаленных вершин! Ведь это так далеко! В такой дали, конечно же, наше умственное зрение плохо различает математические факты и может подвести нас, как это показали парадоксы теории множеств. Парадоксы начинают восприниматься как свидетельство того, что «в бесконечности» мы «плохо различаем» и можем ошибиться. Отсюда у математиков возникает чувство неуверенности. Рассуждения Витгенштейна преследуют терапевтическую цель: внести успокоение. Для этого он стремится отделить математическое понятие бесконечности от ассоциаций с чем-то предельно большим или крайне удаленным: «Представление о бесконечности как о чем-то огромном производит очень сильное впечатление на некоторых людей, и их интерес связан именно с такой ассоциацией... Без ассоциации с чем-то огромным никто и внимания не обратил бы на бесконечность» [Ibid., 1982, р. 194], ибо «бесконечность вообще не связана с размером» [Ibid., р. 189], она связана с оперированием определенными символами по определенным правилам, и в самом этом оперировании нет ничего бесконечного. Например, вычисление предела функции / (х) при х —^ °° есть манипулирование формулами по определенным правилам и не предполагает ассоциации между -»со и «чем-то огромным». Математическая бесконечность, говорит Витгенштейн, вообще не является количеством. Поэтому грамматика слова «бесконечное» отличается от грамматики слов, обозначающих числа.
Витгенштейн заметил однажды, что математикой иногда занимаются из-за особого эстетического наслаждения, доставляемого ею. Причем иногда, в случае исчислений, не имеющих практического применения, эстетическое наслаждение вообще становится определяющим мотивом работы. Тогда, предостерегает Витгенштейн, это может привести к серьезным недоразумениям, потому что особое очарование имеют результаты, вызывающие своего рода головокружение от неожиданности и непостижимости полученных открытий. Лекарство от голово-
кружения состоит в том, чтобы не принимать за открытие простую переинтерпретацию понятий [Ibid., 1976, р. 14 ff].
Замечание Витгенштейна об исчислениях, которые строятся в основном ради получения особых эстетических переживаний, «головокружений», и о таящейся в этом опасности раскрывает его отношение к теории множеств Г. Кантора и ее поразительным результатам (например, различению бесконечностей различной мощности и установлению того факта, что бесконечности, подобно натуральным числам, можно упорядочить по величине). Витгенштейн выступав." не против теории Кантора как некоторого формализма (верный своему принципу, что философия не должна пересматривать существующую математику), а против той ее интерпретации, в которую верил Кантор.
Интерпретации, которые сами математики дают своим сим- волизмам, Витгенштейн называл «прозой» и считал, что именно эта «проза» создает концептуальную путаницу, требующую философского вмешательства. «Проза» Кантора состояла в том, что он принимал некую онтологическую аналогию между натуральными и трансфинитными числами. Для Кантора трансфинитные числа были реальны в том же смысле, что и обычные натуральные. Однако эта «проза» не определяет построенную им систему, ибо у него трансфинитные числа представляют собой бесконечные последовательности следующих друг за другом чисел, т. е. явно принадлежат иной грамматической категории, нежели натуральные числа. Поэтому Кантор не имеет права употреблять понятия «больше» и «равно» одновременно и для конечных, и для трансфинитных чисел, ибо они имеют различный смысл в первом и во втором случае. Если отказаться от уподобления этих случаев, то исчезает видимая головокружительностъ результатов Кантора, например открытие того, что мощность совокупности точек отрезка [0, 1] «равна» мощности совокупности точек квадрата со стороной [0, 1].
Подведем итог: для Витгенштейна математика — это не описание какой-то особой идеальной реальности, а человеческая конструкция. Она свободна в том смысле, что не детерминируется никакой реальностью — ни материальной, ни идеальной.
По отношению к естественным наукам и повседневным рассуждениям математика является частью их «грамматики». Она Дает правила, которым должны подчиняться осуществляемые в Них рассуждения о реальности. Невозможно говорить о соответ-
ствии или несоответствии этих правил и реальности, ибо они как раз являются частью того концептуального каркаса, в рамках которого только и можно ставить вопрос о соответствии или несоответствии реальности тех или иных фрагментов человеческого знания.
В то же время деятельность любого математика несвободна в том смысле, что подчиняется принятым математическим правилам, которые носят достаточно жесткий характер. Можно сказать, что для Витгенштейна математика — это оперирование с языковыми символами, подчиняющееся определенным правилам.
Обсуждая проблемы математических теорий, Витгенштейн постоянно употребляет термин Kalkiil, который в зависимости от контекста надо понимать как «исчисление» или «вычисление». В любом случае это манипулирование с математическими формулами по определенным правилам. Поэтому для Витгенштейна любая математическая деятельность выступает как вычисление. Инженер по первоначальному образованию, Витгенштейн постоянно подчеркивает этот операциональный характер математики. «Математика целиком состоит из вычислений», — говорит он [Ibid., 1973, р. 468]. Математика видится ему как пестрая совокупность разнообразных техник. Поэтому она ничего не описывает. Достоверность математических предложений состоит в том, что в них нельзя сомневаться. Не потому нельзя, что они якобы имеют абсолютно незыблемое обоснование, а потому, что правила — неподходящий объект для сомнения. Математика есть система правил, и этим объясняется ее природа, а также дается решение «проблемы обоснования». Математика достоверна, ибо не подлежит сомнению. Но ее достоверность имеет совсем иную природу, нежели достоверность эмпирических наук.
Однако тот факт, что математик, работая в определенной системе правил, уже не свободен получить такой-то либо противоположный результат, порождает впечатление, что математика есть описание независимо от математиков существующей реальности. Вообще, по мнению Витгенштейна, любые знаковые системы способны порождать подобные представления. Поэтому от человека, занимающегося любым видом интеллектуальной деятельности, будь он философом, математиком или физиком, постоянно требуется усилие воли, чтобы не попасть под власть метафизических иллюзий.
Еще по теме Опровержения ложной аналогии между математикой и эмпирической наукой, между доказательством и экспериментом:
- II. ЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ВСЯКОЙ МЕТОДОЛОГИИ 54.
- Опровержения ложной аналогии между математикой и эмпирической наукой, между доказательством и экспериментом