Отношение Витгенштейна к дискуссиям об основаниях математики

Для философии математика всегда была образцом необходимого и достоверного знания. Правда, подобное воззрение не совсем соответствовало действительности, ибо в XVII—XVIII вв. бурное развитие математического анализа опережало возможности достижения строгости и обоснованности.

XIX в. шла работа по уточнению и обоснованию основных положений математического анализа, по введению все большей и большей строгости в его основания. Кульминацией этой деятельности можно считать перевод фундаментальных понятий математического анализа, например «числовая прямая», на теоретико-множественный язык. Однако в конце XIX в. в теории множеств стали обнаруживаться парадоксы. Это привело к возникновению кризиса в основаниях математики. Возникли опасения по поводу того, не лежат ли в основаниях математики еще не обнаруженные, скрытые противоречия.

Поскольку кризис в основаниях был связан с открытием парадоксов теории множеств, то естественно было считать, что парадоксы так или иначе связаны со свободным обращением с актуальной бесконечностью', допускавшимся в теории множеств.

Реакцией на кризис явилось формирование различных направлений в основаниях математики[XXV] [XXVI]. Важнейшими из них были логицизм, формализм, интуиционизм и конструктивизм. Логицизм стремился свести всю математику к логике и тем самым поставить ее на твердое, незыблемое основание логических истин. Формализм выдвинул программу формализации всей математики, чтобы затем, рассматривая математические теории как обозримые системы символов, в которых по строго определенным правилам из одних цепочек символов выводятся другие, доказать, что не может быть выведена такая цепочка символов, которая при содержательной интерпретации означала бы противоречие. Подобное доказательство обеспечило бы доказательство непротиворечивости формализованных математических теорий и давало бы гарантию, что в них не может появиться парадоксов.

С тех пор и практически до настоящего времени философия математики оказалась сведенной к обсуждению этих программ в исследованиях по основаниям. Появилось утверждение, что на современном уровне развития науки философские проблемы математики — это проблемы оснований.

Но Витгенштейн еще в 30-х годах критически оценивал замысел оснований математики, говоря: «Если в математике как таковой что-то ненадежно, то и любое основание будет столь же ненадежным» [Wittgenstein, 1976, р. 121]. Выражая свое отношение к идее подведения под здание математики какого-то особой прочности фундамента, он писал: «Математические проблемы того, что называют основаниями математики, составляют для нас ее основание не в большей степени, чем нарисованная скала — основание нарисованной башни» [Ibid., 1967, р. 171]. Подобные заявления шли вразрез с господствовавшим в философии математики умонастроением. Однако они представляются достаточно мотивированными. В самом деле, так ли очевидно, что обнаружение парадоксов в теории множеств Г. Кантора есть кризис в основаниях математики как таковой? Ведь, несмотря на парадоксы, математика продолжала развиваться, а ее результаты по-прежнему имели широчайшее применение в науке и практике, и доверие к ним никоим образом не было подорвано.

Почему же появилось представление о кризисе и сложилось то, что можно назвать «кризисным сознанием»? Объяснение скорее всего состоит в том, что парадоксы поставили под удар не саму математику, а определенные представления о том, какой она должна быть: стихийную и повсеместно распространенную философию математики. Ее разделяют и математики, и философы; и те, кто выступает против вмешательства философии в дела науки, и те, кто считает такое вмешательство необходимым.

Рассуждения Витгенштейна можно понять как деятельность по прояснению мыслей носителей такой философии.

Часть I. Глава 4

\

такими важными проблемами, как основания математики. Будучи философом, говорит Витгенштейн, он может рассуждать о математике потому, что собирается анализировать только те затруднения, которые вытекают из слов повседневного языка, таких, как «доказательство», «число», «последовательность», «порядок» и т. п. Такие затруднения можно продемонстрировать на примерах из элементарной математики. Но именно они наиболее навязчивы, и от них труднее всего избавиться.

Каковы же отличительные признаки этой стихийной философии математики? Согласно ей математика есть подлинное познание. Она открывает истины, так что ее теоремы представляют собой истинные утверждения, адекватно описывающие особые сущности: математические объекты и их отношения, которые существуют сами по себе, вроде платоновских идей. Когда человек наблюдает за реальными физическими предметами, они воздействуют на его органы чувств, и у него формируются представления об этих предметах. Точно так же, признав особую математическую реальность — универсум математических объектов, — приходится признать у математиков наличие особой познавательной способности, благодаря которой они постигают эту реальность. И стихийная философия математики признает, что ученые-математики с помощью какой-то внечувственной познавательной способности типа интуиции (или, быть может, логики) могут созерцать свойства математических объектов. Так, известный математик Дж. Харди сравнивал математика с наблюдателем, который рассматривает горный хребет и описывает то, что видит.

Если верить во все это, то парадоксы начинают выглядеть свидетельствами того, что в некоторых случаях (например, когда Речь идет о бесконечных совокупностях) математическая способность «плохо различает» и может ошибаться. Отсюда у математиков возникало чувство страха и неуверенности, коль скоро Ненадежна та познавательная способность, которой наделил математиков Господь Бог.

Скептические сомнения подрывают веру в обоснованность Любых результатов, и Витгенштейн пытается устранить их, про-

анализировав их мотивы и показав их безосновательность. С помощью разнообразных примеров и вопросов Витгенштейн наводит на мысль, что скептицизм относительно оснований математики вытекает из такой философии математики, которая полагается на ложные аналогии, например: между математикой и эмпирической наукой; между доказательством и экспериментом; между конечными и бесконечными совокупностями.