<<
>>

7*5.1 Методы представления возмущающего потенциала

Реальное применение при расчете траекторий полета ракет получили три метода представления возмущающего потенциала Земли: метод сферических функциям, метод точечных масс и комбинированный метод, использующий преобразованную формулу Стокса.

Метод сферических функций. Традиционно возмущающий потенциал Земли Т представляют в виде разложения в ряд по сферическим функциям (7.4.17). Выражения для составляющих аномального гравитационного ускорения получают как частные производные от возмущающего потенциала Земли по осям выбранной системы координат.

В методе сферических функций формулы для расчета этих частных производных имеют вид

(7.5.4)

На начальном этапе развития ракетной техники достаточно было учитывать только нормальный потенциал притяжения Земли. В дальнейшем с использованием моделей возмущающего потенциала в виде сферических функций были получены оценки влияния аномального ускорения, показавшие необходимость учета возмущающего потенциала Земли при решении баллистических задач (П.Ф. Иванов, Б.В. Бровар, 1969 г.).

Комбинированный метод учета влияния аномального гравитационного поля (АГПЗ) Земли базируется на работах М.С. Молоденского [1945, 1969], М.С. Молоденского, В.Ф. Еремеева, М.И. Юркиной [1960], Л.В.Огородовой [1966]. Применительно к расчету траекторий полета баллистических ракет этот метод разрабатывался П.Ф. Ивановым и Б.В.Броваром (1969-1970 гг.), а в дальнейшем — Б.В. Броваром, Ю.С. Соловьевым и В.С. Гречищевым. В комбинированном методе поверхность геосферы делят на две зоны — ближнюю, в виде сферического сегмента, и дальнюю (вся остальная часть геосферы). Влияние АГПЗ учитывают в дальней зоне — по гармоническим коэффициентам потенциала, в ближней зоне — по более детальной гравиметрической информации при помощи обобщенного интеграла Стокса.

Таким образом, в соответствии с комбинированным методом возмущающий потенциал представляется в виде

где

(7.5.6)

R — радиус отсчетной сферы;— угол между радиус-векторами точки gt;т ,, , внешнего пространства и текущей точки i поверхности сферы; а — азимут направления на текущую точку г сферы, определяемый в точке пересечения этой сферы радиус-вектором г точки) внешнего пространства;

нормальное УСТ;— центральный угол, определяющий радиус ближней зоны; N — предел суммирования сферических гармоник;— обобщенные (для внешнего пространства) коэффициенты влияния дальней зоны; 5(г,ф) — обобщенная функция Стокса, определяемая следующими выражениями:

(7.5.7)

где г» — расстояние между точкой| внешнего пространства и текущей точкой г геосферы в

пределах ближней зоны.

Первое слагаемое в правой части (7.5.5) учитывает влияние аномалий в ближней зоне С помощью второго слагаемого учитывается влияние аномалий в дальней зоне.

Как и в методе сферических функций, сначала получают составляющие аномального ускорения по осям системы координат Затем по формулам (7.5.4) они пересчитываются в проекции на оси прямоугольной системы координат.

где B0)Lo — координаты исследуемой точки; фу определяется выражением

(7.5.20)

В центральной зоне (радиусом примерно 5 км) формулы (7.5.16)—(7.5.18) не могут быть использованы, так как при г —gt; 0 значениястремятся к бесконечности. Поскольку значения

аномалий в центральной зоне изменяются незначительно, их влиянием на горизонтальные составляющие аномального ускорения можно пренебречь, а для вертикальной составляющей использовать аналитический способ учета, предусматривающий представление ACT в виде

(7.5.21)

alt="" />где = const в каждом направлении А.

В дополнение к этому при малых значениях ф функция Стокса может быть представлена в виде

С использованием выражений (7.5.21), (7.5.22) интеграл (7.5.15) в центральной зоне может быть представлен в виде

где r0 — радиус центральной зоны.

Формульная схема расчета составляющих аномального ускорения в комбинированном методе является более громоздкой и сложной, чем в методе сферических функций. Основным достоинством комбинированного метода является высокая точность, обусловленная использованием детальной исходной информации в ближней зоне.

В связи с этим он использовался как образцовый метод для оценки точностных характеристик других методов представления АГПЗ.

Метод точечных масс. Использование достаточно громоздких формул метода сферических функций и комбинированного метода на вычислительной технике с ограниченными возможностями было затруднительным. В связи с этим получил распространение другой метод представления возмущающего потенциала — метод точечных масс, позволяющий получать компактные модели возмущающего потенциала Земли и вычислять составляющие аномального ускорения с меньшими затратами машинного времени. Существенный вклад в развитие теории и практики данного метода точечных масс в приложении к задачам расчета траекторий полета баллистических ракет внесли Ю.С. Соловьев, Е.Л. Македонский, И.П. Чугунов, П.Э. Яковенко, Т.М. Машимова, В.Л. Крамаренко,* В.В. Виноградов, Р.Г. Попко, А.Н. Беляков, В.Ю. Фрибель, Д.И. Плешаков.

Метод точечных масс основан на представлении возмущающего потенциала Земли в виде суммарного потенциала притяжения системы точечных масс

(7.5.22)

где              — прямоугольные геоцентрические координаты

точки внешнего пространства; Xtgt;YttZt — прямоугольные геоцентрические координаты точечной массы с номером t\ G — гравитационная постоянная; Mt — значение точечной маlt;Лы с номером t\ п — число точечных масс.

Составляющие аномального ускорения в геоцентрической системе координат определяются по формулам

(7.5.23)

Простота и однотипность выражений (7.5.23) способствовала широкому внедрению метода точечных масс в практику баллистических расчетов. Однако наиболее важным достоинством этого метода является то, что при определенных условиях он позволяет эффективно учитывать особенности влияния АГПЗ на траекторию полета ракет.

Составляющие аномального ускорения оказывают наибольшее влияние на начальном участке траектории (П.Ф. Иванов, Б.В. Бровар, 1969 г.). По мере удаления от точки старта это влияние постепенно ослабевает, на конечном участке траектории оно практически не проявляется. Исходя из этого, было предложено описывать возмущающий потенциал выражением Т = Гр + Тр + 7л, где Гг,Тр,Тл — компоненты, представляющие собой вклад глобальной, региональной и локальных подсистем модели гравитационного поля, каждая из которых имеет вид (7.5.22). Подсистемы создаются по принципу последовательного наращивания точности. Сначала формируется планетарная подсистема, описывающая гравитационное поле в целом, затем создается региональная подсистема, детализирующая представление гравитационных аномалий на значительной части земной сферы, а после этого — локальные подсистемы, еще более подробно описывающие аномалии, но на меньшей площади. Перед определением параметров точечных масс очередной подсистемы из исходных данных исключается влияние точечных масс всех предыдущих подсистем. Окончательные значения точечных масс региональной и локальной подсистем получают из их совместного уравнивания за выбор нормального потенциала.

При расчете траектории полета ракеты сначала существенное влияние оказывают все подсистемы модели гравитационного поля. Затем вклад локальной подсистемы становится незначительным. На конечном участке ограничиваются использованием только глобальной подсистемы модели.

Использование региональных и локальных подсистем точечных масс позволило не только существенно повысить точность учета АГПЗ на траектории полета ракет при сравнительно небольшом суммарном числе точечных масс в модели, но и реализовать эту точность в условиях неполной гравиметрической изученности Земли. Ранее на всю поверхность Земли имелись аномалии, осредненные по крупным трапециям. Этого было достаточно для определения параметров глобальной подсистемы модели. Средние значения аномалий по одноградусным трапециям обеспечивали получение региональной подсистемы модели.

Детальная гравиметрическая информация, имевшаяся на территорию страны, позволяла определять параметры локальной подсистемы модели.

Изложенный подход к построению моделей возмущающего потенциала Земли не утратил своей актуальности и в настоящее время, несмотря на то, что быстрыми темпами растут возможности вычислительной техники, уже получены коэффициенты разложения возмущающего потенциала Земли в ряд по сферическим функциям до 360-й и более высокой степени. В современных условиях расчет траекторий полета требуется выполнять в реальном масштабе времени с помощью бортовых вычислительных средств, причем делать это многократно. Здесь, может быть, в еще большей степени, чем раньше, требуется обеспечить высокую точность представления при небольшом количестве параметров моде-

ли возмущающего потенциала Земли. Эту задачу успешно решает метод точечных масс, с помощью которого можно вполне адекватно учитывать влияния аномалий, осредненных по трапециям 5 х 7,5'.

Со времени разработки и внедрения метода точечных масс в практику расчета траекторий полета ракет прошло несколько десятилетий. Появились многочисленные публикации, в которых этот метод упоминается. Однако в этих публикациях не описана методика определения параметров точечных масс, входящих в модель вида (7.5.22). Это наиболее сложная задача, которая в методе точечных масс решается заблаговременно. Причем труднее всего получить параметры глобальной и региональной подсистем модели. Параметры локальной подсистемы рассчитываются гораздо проще с использованием детальной гравиметрической информации, заданной в ограниченной области краевой поверхности. В связи с этим ниже дано краткое изложение методики определения параметров точечных масс глобальной и региональной подсистем модели.

Параметры локальной подсистемы точечных масс рассчитываются относительно просто с использованием детальной гравиметрической информации, заданной в ограниченной области. Более сложной задачей является вывод параметров глобальной и региональной подсистем модели. Решение этой задачи базируется на соотношении

(7.5.24)

Считается, что аномалии Ад заданы на поверхности общего земного эллипсоида как средние аномалии по трапециям заданного размера, как правило достаточно крупного. Необходимо определить координаты и значения точечных масс, при которых оптимально выполняется условие (7.5.24). В качестве критерия оптимальности обычно используют минимум среднего квадратического значения остаточных аномалий, или средней квадратической погрешности аппроксимации поля аномалий выражением :

(7.5.25)

(7.5.26)

где — исходная аномалия для трапеции с номером j; - вес исходной аномалии с номером j; к — число исходных аномалий.

Минимизируемая функция (7.5.24) представляет собой функцию многих переменных. Для определения ее минимума был разработан специальный комбинированный метод, в который вошли отдельные элементы известных детерминированных методов поиска. Сущность его состоит в следующем.

Вся совокупность неизвестных параметров модели делится на две группы: координаты и величины которые для простоты будем называть массами. Процесс поиска осуществляется путем последовательного уточнения этих групп неизвестных.

Поскольку зависимость функцииот \xt линейная, значения |х* при фиксированных координатах легко определяются по методу наименьших квадратов из решения системы нормальных уравнений

(7.5.27)

где — матрица коэффициентов и вектор свободных членов уравнений поправок; Р — весовая матрица исходных аномалий; ц — вектор определяемых масс; Т — операция транспонирования матрицы. В развернутом виде

/ ап

ai2

ain\

/р\

0

°\

/АдЛ

/ш\

А =

к X ti

а 21

а 22

Я2п

; Р =

кхк

0

р2

\9 =

Ад 2

Ц2

;ц= .

\а/ы

О-кп)

0

pj

\AgJ

\Цпgt;

После определения параметров ц* уточняются координаты точечных масс. Один из возможных методов решения этой задачи состоит в следующем.

Сначала производится два одномерных поиска минимума функции (7.5.25) по методу наискорейшего спуска (В.И. Дмитриев 1982 г.). Как известно, в методе наискорейшего спуска каждый одномерный поиск осуществляется в направлении, обратном градиенту. В данном случае

(7.5.28)

(7.5.29)

(7.5.30)

где

В результате одномерного поиска определяют величин)при которой в данном направлении имеет место минимум а.

После получения точек 1 и 2 производят одномерный поиск величины дающей минимум а по направлению 02 и получают точку

(7.5.31)

Далее при полученных значениях координат вновь определяют величины щ. Процесс продолжается до тех пор, пока суммарное уменьшение величины о станет меньше наперед заданного числа ?.

Известно, что из условий, накладываемых на выбор нормального потенциала, следует равенство нулю коэффициентов так называемых запретных гармоник в выражении возмущающего потенциала Земли. Применительно к моделям точечных масс эти условия имеют вид

Первое из условий (7.5.32) обеспечивает равенство массы уровенного эллипсоида массе Земли (равенство нулю гармонического коэффициента возмущающего потенциала нулевой степени). Следующие три условия соответствуют требованию совпадения центра уровенного эллипсоида с центром масс Земли (равенство нулю гармонических коэффициентов возмущающего потенциала первой степени). Согласно последним двум условиям, главная ось инерции уровенного эллипсоида должна совпадать со средним положением оси вращения Земли.

Включение условий (7.5.32) в алгоритм поиска минимума величины а приводит к задаче на условный минимум нелинейной функции многих переменных, для решения которой может быть использован метод неопределенных множителей Лагранжа [Крылов 1950]. В результате на этапе определения параметров \it вместо системы (7.5.27) решается расширенная система вида

где — вектор множителей Лагранжа.

Учет условий (7.5.32) при определении координат точечных масс приводит к необходимости уточнения координат путем поиска минимума функционала

(7.5.36)

Реализация изложенной методики предполагает, что заданы число и начальное положение точечных масс. Определение начального расположения точечных масс — сложная самостоятельная задача, решение которой связано с необходимостью привлечения дополнительной информации*

Известно, что положительные аномальные массы порождают положительные высоты квазигеоида над общим земным эллипсоидом. Это позволяет использовать для определения начальных геодезических координат точечных масс карту ВКГ. Начальные глубины точечных масс могут быть определены в предположении, что экстремальное значение высоты квазигеоида обусловлено гравитационным эффектом одной массы, расположенной под точкой экстремума. При таком допущении расстояние от массы до поверхности эллипсоида может быть получено по формуле

(7.5.37)

(7.5.38)

(7.5.39)

Возможны другие подходы к определению начального расположения точечных масс, например, использование поля радиальных производных от возмущающего потенциала Земли более высокого порядка и другие.

Веса исходных данных при определении параметров планетарной подсистемы точечных масс можно назначить исходя из средних квадратических погрешностей средних аномалий с учетом площади трапеций осреднения. Для региональной подсистемы веса исходных данных могут назначаться исходя из требуемой точности выполнения краевого условия в заданной области земного шара. В пределах этого региона измерениям должны быть приписаны наибольшие веса, по мере удаления от региона веса могут уменьшаться в соответствии с уменьшением влияния аномалий в этой области на точность расчета траекторий полета ракет, стартовые позиции которых находятся в данном регионе. Например, закон изменения весов может быть задан в виде

где Ро — максимальное значение веса; ф — сферическое расстояние от точки старта до текущей точки области; С — коэффициент, определяющий степень убывания Р(ф).

Предварительные значения параметров региональной и локальной подсистем определяются под условием наилучшего представления соответствующей исходной информации методом итеративного подбора. Суть метода состоит в пошаговой минимизации суммы квадратов остатков, получаемых исключением из исходных аномалий суммарного влияния всех точечных масс, параметры которых определены. На каждой итерации определяют параметры нескольких пробных масс. Из них выбирают ту, которая обеспечивает минимум. Влияние этой массы исключают из исходных аномалий для данной итерации. Полученные остаточные аномалии принимают в качестве исходных для следующей итерации. Пробные массы размещают под наибольшими по абсолютной величине исходными аномалиями на глубине, определяемой размерами трапеции и значениями остаточных аномалий в данной и соседних трапециях. После определения значения пробной массы уточняют ее глубину по остаточным аномалиям в ближайшей окрестности. Исходные аномалии должны быть свободны от влияния всех ранее подобранных точечных масс. Уточненное значение глубины получают из решения системы линеаризованных уравнений, связывающих исходные аномалии с определяемой массой. Далее по уточненному значению глубины рассчитывают уточненное значение массы. В результате на последнем шаге процесса получается совокупность точечных масс, уравненных за минимум дисперсии остаточного поля аномалий силы тяжести.

Окончательные значения точечных масс региональной и локальной подсистем уравниваются с целью взаимного согласования различных видов исходных данных с учетом точностных характеристик. Уравнивание выполняется по методу наименьших квадратов с дополнительными условиями, аналогичными (7.5.32). Экспериментальным путем установлено, что, как правило, достаточно использовать только первое условие. В данном случае это обеспечивает приемлемую точность выполнения остальных условий. 

<< | >>
Источник: Бровар B.В.. ГРАВИМЕТРИЯ И ГЕОДЕЗИЯ. 2010

Еще по теме 7*5.1 Методы представления возмущающего потенциала:

  1. 6. МАГИЧНОСТЬ СЛОВА
  2. 5.2. Темы докторских диссертаций Тема 1. Социально-психологические методы и технологии управления персоналом организации1
  3. § 2. Здоровье в системе ценностно-смысловых ориентаций личности
  4. Глава 6 Представления о реальности, истине, времени и пространстве
  5. Методологические аспекты изучения поля земной силы тяжести
  6. Зависимость между возмущающим потенциалом и силой тяжести. Краевое условие
  7. Интегральное уравнение для плотности простого слоя. Его разрешимость
  8. Интегральное уравнение относительно возмущающего потенциала
  9. 3.5 Вывод высот квазигеоида и уклонений отвеса по плотности простого слоя на земной поверхности. О вычислении производных от возмущающего потенциала
  10. 4.3 Примеры геодезических функционалов
  11. Гравиметрическая аппаратура, используемая для решения задач геодезии
  12. Системы геодезических параметров Земли