Интегральное уравнение для плотности простого слоя. Его разрешимость

Решение задачи об определении земного гравитационного поля [Молоденский 1948] предложил искать в виде

где Ф — плотность простого слоя на земной поверхности 5, г обозначает расстояние между фиксированной точкой и текущим элементом dS.

Стефен Грей заметил, что наэлектризованные тела, сплошные и полые, притягивают одинаково [Gray 1733]. Так возникло представление о простом слое, заменяющем притяжение объемных масс. Возможность такого подхода привлекла внимание Гаусса, он описал его в работе, впервые опубликованной в 1840 г. (русский перевод 1952 г.), Гаусс отметил, что существует единственное распределение массы тела по его поверхности, которое дает заданные значения потенциалов в точках поверхности. Исследованиям этого вывода Гаусса было отдано много усилий, в частности работы Пуанкаре [Ромсагё 1887, 1890, 1899], эти работы высоко оценил Адамар (1954, 1956 гг.), работы Брело [Brelot 1954, 1970, . Единственность представления гармонической функции потенциалом простого слоя доказывает Карцивадзе [1965]. Сведения о работах Гаусса и Пуанкаре можно найти у Сологуба (1975 г.).

Плотность простого слоя как вспомогательную функцию при решении задач теории приливов использовал Берстран в 1921, 1923 гг. Краевые условия его задачи содержат нормальную и касательную производные, в его работах появляются интегральные уравнения с интегралами, существующими в смысле их главного значения по Коши, сингулярными интегралами. В.Н. Страхов в 1977-1978 гг. [Страхов 1995] рассмотрел возможности использования простого слоя при геофизической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий.

Ранее [Еремеев, Юркина 1972] в зависимость (3.3.1) был добавлен член, содержащий как множитель разность Wo — Uo, что позволило исключить эту разность практически точно из интегрального уравнения относительно плотности Ф при использовании смешанных аномалий силы тяжести.

Гельмерт [Helmert 1884, с. 260] распределял простой слой на регуляризированном геоиде для определения гравитационного поля вне такого геоида. В этом случае производную следует вычислять по нормали к поверхности и возникают только абсолютно сходящиеся интегралы.

Будем считать функцию Ф равномерно непрерывной. Из формулы (3.3.1) следует внешнее предельное значение производной от возмущающего потенциала Т по касательной к координатной линии w. В фиксированной точке

(3.3.2)

где первый член правой части появляется из-за разрывности производной потенциала простого слоя на земной поверхности. Здесь В обозначает угол между касательной к координатной линии w и внешней нормалью к земной поверхности S. Следует иметь в виду главное значение интеграла правой части, отмеченного звездочкой — его предельное значение при стремлении к нулю радиуса г' сферы, описанной вокруг фиксированной точки и выделяющей из поверхности S часть so-

Такое главное значение интеграла будет существовать и будет непрерывной функцией плановых координат точки земной поверхности S, если высоты этой поверхности над отсчетной будут иметь непрерывные вторые производные по плановым координатам и поверхность S будет удовлетворять условиям Ляпунова [Liapounoff 1898]. Из краевого условия (3.2.9) следует интегральное уравнение для плотности Ф

(3.3.3)

Воспользовавшись оценками при выводе (3.2.13) и (3.2.14), можно перейти к сферической системе координат. Тогда где р — радиус-вектор в текущей точке, ро — в фиксированной,— угол между направлениями радиус-векторов р и ро при начале координат, можно найти производную по радиус-вектору ро, которая через зависимость (3.2.13) должна войти в уравнение (3.2.9).

(3.3.5)

Вместо уравнения (3.3.3), имея в виду (3.2.13), (3.2.14) и (3.3.5), можно вывести

(3.3.6)

Имея в виду уточнение Бровара [1965],

(3.3.7)

с относительной погрешностью порядка земного сжатия, что соответствует искажению свободного члена на величину не больше 1 мГал, можно получить интегральное уравнение

отличающееся от интегрального уравнения, опубликованного Молоденским [1948], последним членом слева. Этот член появился как результат уточнения Бровара. Несмотря на величинупод

знаком интеграла этот член пренебрегаем. Для доказательства нужно рассмотреть ближайшую окрестность фиксированной точки, представив ее плоскостью, касательной к земной поверхности з этой точке, а также плоскость в этой же точке, параллельную касательной к отсчетной сфере. В сферическом треугольнике на единичной сфере, описанной около фиксированной точки, нужно рассмотреть большие круги — пересечения упомянутых плоскостей с единичной сферой. Из текущей точки большого круга, представляющего neoevio из плоскостей, нужно опустить перпендикуляр на другой круг. Нетрудно видеть              где А — длина дуги этого круга, отсчитанная от точки пересечения

больших кругов. Получаем

где го — радиус выделенной центральной зоны, что доказывает утверждение.

Жиро [Giraud 1936, 1939] (см. также [Миранда 1957, 87-93]) распространил альтернативу Фредгольма на задачу с косой производной при решении уравнения Лапласа, то есть на задачу Молоденско- го.

решение, что справедливо для уравнения (3.2.9), и тогда при любой непрерывной правой части краевого условия задача имеет одно и только одно решение, представленное формулой (3.3.1), где функция Ф — решение уравнения (3.3.3) или (3.3.8) — если требования к точности допускают. Или же соответствующая однородная задача имеет некоторое количество линейно независимых решений, тогда уравнение имеет столько же линейно независимых решений, и рассматриваемая задача разрешима в том и только в том случае, когда выполнены все условия, число которых равно числу упомянутых линейно независимых решений, которым должен удовлетворять свободный член интегрального уравнения. Если эти условия выполнены, рассматриваемая задача имеет неограниченно много решений. Учет земного сжатия уменьшает при выводе аномалий силы тяжести их значения с «2500 мГал вблизи полюса и экватора до нескольких сот миллигалов на отдельных особо аномальных участках земной поверхности. Однако соответственное относительное изменение коэффициентов краевых условий и интегральных уравнений, как оценено выше, невелико. Указанная близость коэффициентов может быть причиной плохой устойчивости численных решений. Хотя рассматриваемая задача является корректной с точки зрения математических требований (малым изменением краевых данных соответствуют некоторые определенные изменения решения), однако практически соотношение таких изменений может оказаться неблагоприятным. Как следует из оценки (3.2.8), смещение эллипсоида на 100 м изменяет аномалии силы тяжести не больше 0,1 мГал. Поэтому те слагаемые возмущающего потенциала, которые зависят от положения отсчетного эллипсоида в пространстве, можно определить по аномалиям силы тяжести только с низкой точностью.

Следовательно, при решении задачи Молоденского нужно заранее точно фиксировать положение отсчетного эллипсоида: поместив начало координат в центр инерции Земли и направив малую ось отсчетного эллипсоида по оси вращения Земли или — при топографо-изостатических редукциях — параллельно этой оси.

Изложенные соображения приводят к необходимости отразить в членах с поправкой Ди широты то обстоятельство, что при выводе аномалий силы тяжести могут быть не известны широты измерительных точек относительно эллипсоида, центр которого совпадает с центром инерции Земли. Теория решений интегральных уравнений (например [Красносельский и др. 1966, Забрейко и др. 1968]) распространяется и на рассматриваемый случай. Уравнение (3.3.8) можно преобразовать, заменив

Допуска я дополнительно относительную погрешность порядка —, имеем

R

(3.3.9)

М.С. Молоденский и др. (I960] предложили решать это уравнение разложением по степеням параметра к. Земная поверхность S преобразована в поверхность 5, в полярной системе координат сохранены при этом неизменными угловые координаты, а радиусы-векторы заменены р = R + кН, где R — радиус земной сферы, р — радиус-вектор текущей точки преобразованной поверхности S. При А: = 1 поверхности S и S совпадают, при к = 0 преобразованная поверхность совпадает с земной сферой. Уравнение (3.3.9) тогда можно записать

и получить

Первое уравнение, соответствующее к = О (нулевому приближению), и, следовательно, tg© = 0 и р = R, дает результат, который получили бы путем переноса аномалий силы тяжести по радиусу на поверхность отсчетной сферы, игнорируя внешние массы и любые поправки в аномалии и потенциал.

Все следующие уравнения можно решить, пользуясь функцией Стокса. Влияние рельефа проявляется во втором приближении, наклоны в явном виде появляются, начиная с третьего приближения.

Подынтегральные выражения в правых частях уравнений (3.3.14) убывают как или быстрее, эти ин-

го

тегралы определены ближайшими окрестностями исследуемых пунктов. Согласно зависимости (3.2.16), GPS-измерения ведут к интегральному уравнению

(3.3.19)

Из теории ньютонова потенциала следует единственность и безусловность решения этих уравнений. Поскольку этот вывод справедлив и для уравнения (3.3.3), согласно исследованию Вишика и Ладыженской (1956 г.), решение системы уравнений (3.3.3) и (3.3.19), (3.3.20) также единственно и безусловно, но описанное разложение может оказаться расходящимся.

Для устойчивости численного решения системы интегральных уравнений следует присоединить к ним условие о совмещении центра масс Земли с началом координат:

И условие о совмещении координатной оси z и главной центральной полярной оси инерции

Уравнения (3.3.19)-(3.3.22) образуют систему, которую возможно решить последовательными приближениями, опустив сначала интегральные члены, а затем последовательно их уточняя. Плотность Ф приближенно может быть представлена

Таким образом, система интегральных уравнений будет заменена системой линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов апт и Ьпт, а также в общем случае потенциалов Woi,

где номер г должен соответствовать использованному началу счета высот, и координат xot,yotgt;zoi- При использовании данных, связанных с геодезическими эллипсоидами, через эти координаты должны быть выражены поправки Аи и Aw в зависимости (3.2.9). Возможно использовать избыточные данные. Коэффициенты anm,6nm отразят влияние земного сжатия и основных форм земного рельефа. Поскольку

из уравнения (3.3.6) следует

где С — аномалия высоты. Она может быть получена из совместного использования GPS-измерений и результатов геометрического нивелирования. Полученное уравнение ведет к наиболее простому определению земного гравитационного поля: совместное использование упомянутых данных и гравиметрических наблюдений ведет в стоксовом приближении к взаимно независимым уравнениям. Получив таким образом плотность Ф, можно вычислить интегральные поправки Молоденского, отнести их к свободным членам и повторять вычисления плотности Ф. Если аномалия силы тяжести вычислена по полной высоте точки, выведенной по GPS-измерениям, полученное уравнение приобретает вид

В обсуждениях способов решения краевой задачи Молоденского получил распространение взгляд на возможность использования аналитического продолжения аномалий силы тяжести на отсчетную сферу. Этот прием отражен в книге [Moritz 1980]. Согласно его изложению (в русском варианте сс. 56-57), теорема Рунге и теорема Келдыша-Лаврентьева гарантируют возможность представления потенциала притяжения реальной Земли на ее поверхности и вне этой поверхности равномерно сходящимся рядом гармонических функций.

Как известно, функцию, достаточно гладкую на поверхности сферы, можно представить равномерно сходящимся рядом Лапласа. В частности, такой функцией может быть потенциал притяжения на поверхности реальной Земли, рассматриваемый как функция плановых координат. Построение такого ряда может служить хорошим интерполяционным приемом, этот ряд может служить базой для решения первой краевой задачи, то есть определения потенциала притяжения вне земной поверхности, но не непосредственной трансформацией ряда (что было бы возможно при сферической земной поверхности), а при предварительном пересчете в плотность простого слоя на земной поверхности с учетом земного рельефа через решение соответственного интегрального уравнения. Описанный подход соответствует теореме Рунге [Moritz 1980, с. 55], но ведет к более сложному решению, чем это следует из формулировок на упомянутых сс. 56 и 57 книги, хотя достигаемая цель вполне соответствует этим формулировкам.

Пусть на рис. 3.3.1 представлены: S — земная поверхность, a — отсчетная сфера. На с. 77 и следующих своей книги Мориц строит решение, используя аналитическое продолжение аномалий силы тяжести с земной поверхности S на отсчетную сферу сг. Автор имеет в виду возможные сингулярности

между поверхностями S и а, из-за которых задача аналитического продолжения может не иметь строгого решения. Исчезнет ли эта трудность при дискретных наблюдениях? Аналитическое продолжение аномалий силы тяжести с поверхности S на поверхность а невозможно, если между этими поверхностями находятся массы, гравитационное влияние которых нельзя объяснить массами, заключенными внутри поверхности о*.

Текст раздела § 13 «Применение к задаче Бьерхаммара» в книге Морица предполагает возможность аналитического продолжения внешнего потенциала вниз до уровня отсчетной сферы. Основание такой возможности автор видит в сколь угодно точной аппроксимации продолженного реального потенциала в свете теоремы Рунге. Но этой теореме была дана упрощенная трактовка.

Аронов в книге [1976] и серии статей 1963-1971 гг. (некоторые из них с разными соавторами) для интерполяции аномалий силы тяжести и определения разных характеристик гравитационного поля использовал аппроксимацию поля притяжением простого слоя на внутренних относительно краевой поверхности плоскости или отдельных плоских участках, то есть аналитически продолжал поле вниз. Как следствие некорректности такого подхода в решениях Аронова возникала осцилляция плотности простого слоя на соседних участках, однако точности полученных решений вполне соответствовали наблюдательной точности. Следовательно, притягивающие массы в основном допускали аналитическое продолжение.

Обсуждая возможную расходимость разложения по сферическим функциям, Мориц упоминает песчинку [Moritz 1980, с. 52]. Однако осцилляцию в сотни миллигал в результатах Аронова вызывали не песчинки, а нечто большее. Если мы хотим гарантировать высокую точность результата, исследования нужно продолжить, имея в виду критические замечания Страхова [1999].

Среди геодезистов, зарубежных и российских, распространено неверное суждение о теории Моло- денского определения фигуры Земли и ее внешнего гравитационного поля по выполняемым на земной поверхности и вне Земли измерениям. Основой таких суждений стала книга [Moritz 1980], в которой принято, что в теории Молоденского использована свободная краевая поверхность и что результаты можно получить на основе разложений по сферическим функциям. Предполагаемая Г. Морицем связь теории Молоденского с краевой задачей со свободной границей следует из изложения с. 256 русского перевода его книги. Но в теории Молоденского краевая поверхность фиксирована. Эти два вида измерений обеспечивают два краевых условия, необходимых для точного решения краевой задачи с неизвестной фиксированной границей — см. [Математическая энциклопедия 1977-1984, т. 1, стб. 79- 80].

Молоденским получено точное решение в двух вариантах, зависящее только от точности измерений: два интегральных уравнения относительно возмущающего потенциала [19456] и относительно плотности простого слоя [1948]. Каждое из этих уравнений дает полное решение задачи об определении внешнего земного гравитационного поля по измерениям силы тяжести, для вывода свободных членов этих уравнений должны быть использованы данные геометрического нивелирования. Интегральные уравнения, полученные Молоденским, относятся к типу интегральных уравнений, содержащих интегралы типа Коши — сингулярные интегралы. Французский математик Жорж Жиро в 30-х годах XX в. распространил на такие интегральные уравнения альтернативу Фредгольма. Это обстоятельство имеет большое принципиальное значение для обоснования разрешимости задачи Молоденского. Об этом был сделан вывод им самим в статье [Молоденский 1948] — со ссылкой на статью В.Д. Купрадзе, в которой изложены результаты Жиро [Giraud 1936, 3 serie t. 53, №1, 1-40].

Основное внимание Мориц уделил разложению Молоденского по степеням вспомогательного параметра к. Практика вычислений на моделях показала быстрое — в двух приближениях — повышение точности решения сравнительно со стоксовым, что удобно практически. Но это разложение составляет некорректный прием, при его использовании нельзя ставить вопрос о сколь угодно точном решении.

По воспоминаниям М.Е. Хейфеца, при защите Молоденским докторской диссертации в МИИГАиК’е работа была послана на математическую экспертизу и успешно ее прошла, трактовка Морицем теории Молоденского не могла бы преодолеть такую проверку.

Вывод Л.П. Пеллинена о равноценности и тождественности поправок при последовательных приближениях решения интегрального уравнения Молоденского также связан с допущениями о возможности некорректных методов решения упомянутого уравнения.

Библиографические данные упомянутых работ можно найти в русском переводе книги Морица.

Критика теории линейных некорректных задач, развиваемых на основе работ А.Н. Тихонова, изложена В.И. Страховым [1999, сс. 171-173].