8.3 Кинематика и динамика оболочек Земли

Н.А. Чуйкова, В.Е. Жаров, С.Л. Пасынок, Т.Г. Максимова, С.А. Казарян

8.3Л              Вступительные замечания

Кинематика и динамика Земли как системы связанных и взаимодействующих оболочек обусловлены действием внешних и внутренних сил.

Эффект внешнего воздействия различен для этих оболочек и зависит как от их геометрических и физических свойств (формы границ, расстояния от центра масс Земли, массы, вязкоупругих свойств), от параметров связи между оболочками, так и от длительности силы воздействия.

Если бы Земля находилась в состоянии гидростатического равновесия, то все силы давления внутри Земли были бы направлены по нормали к уровенным поверхностям, совпадающим с поверхностями равной плотности и давления. Поэтому внутри равновесной Земли не существует сил, которые могут вызвать какие-либо движения. Таким образом, имеет смысл говорить о кинематике и динамике оболочек только для неравновесной Земли.

В настоящее время имеется множество наблюдательных фактов, свидетельствующих о неравновесном состоянии всех оболочек Земли, к которым относятся: 1) временные вариации магнитного поля

Земли, 2) аномалии гравитационного поля, 3) горизонтальные и вертикальные движения земной коры, сейсмичность, 5) вариации скорости вращения Земли, 6) движения в атмосфере. Поэтому, прежде чем говорить о кинематике и динамике отдельных оболочек Земли, нужно исследовать неравновесное состояние этих оболочек. Только после решения этой задачи можно определить силы и моменты сил, действующие на отдельные оболочки Земли, и сравнить полученные кинематические следствия с наблюдательными данными.

Необходимость рассмотрения Земли как динамической системы взаимодействующих оболочек вызвана повышением точности и увеличением временного разрешения астрономических и геофизических наблюдений. Отличие результатов наблюдений от теоретических результатов дает основание говорить о несовершенстве используемых моделей Земли.

Одним из важнейших наблюдательных эффектов, обусловленных динамикой и кинематикой оболочек Земли, являются вариации параметров вращения Земли (ПВЗ). Под действием сил притяжения Солнца, Луны и планет мгновенная ось вращения Земли, ось ее фигуры и ось углового момента движутся относительно инерциальной системы отсчета. Это движение называется прецессионно-нутационным движением. Период прецессии равен ~26 000 лет. На прецессионное движение оси накладываются нутационные гармоники, периоды которых определяются параметрами орбит Земли и Луны, а также обращающихся вокруг Солнца планет.

Традиционным методом построения теории нутации Земли является следующий: на основе принятой модели Земли вычисляется амплитудно-частотная передаточная функция, которая умножается на амплитуды нутационных гармоник, вычисленных для абсолютно твердой Земли. Затем добавляются поправки, учитывающие отклонение модели от реальной Земли. Используя этот метод, автор [Wahr 1981] получил нутационную серию из 106 гармоник для упругой эллипсоидальной Земли с жидким внешним ядром и упругой мантией. Эта серия в 1980 г. была принята Международным Астрономическим Союзом (MAC) в качестве стандарта для астрономических вычислений [Seidelmann 1982]. Используемая модель Земли определяет ее нормальные моды, т. е. резонансные свойства Земли. В модели Земли, используемой Варом, определены три нормальные моды: чандлеровское колебание (CW), почти суточная нутация (FCN) и наклонная мода (ТОМ). Отличие реальной Земли от модели приводит к изменению частот нормальных мод (а также к появлению новых мод) и к изменению амплитуды усиления. Это особенно важно, если частоты лунно-солнечного потенциала лежат вблизи частот нормальных мод.

С начала 80-х годов начались регулярные наблюдения на радиоинтерферометрах со сверхдлинной базой (РСДБ). К настоящему времени РСДБ вносят основной вклад в определение нутационного движения (IERS 2000). Ошибки определения нутационных амплитуд методами РСДБ в настоящее время не превышают 0,1 мс дуги для большинства нутационных гармоник. В результате 20-летних наблюдений РСДБ получены поправки к теории МАС1980 (IERS 2000). Разности «наблюдения—теория» лежат в пределах —15... 4-15 и -5... + 5 мс дуги для нутации в долготе и наклоне, соответственно. Эти разности значительно превышают ошибки наблюдений, что говорит о достоверности результатов.

Важнейшим результатом наблюдений является доказательство неравновесного состояния жидкого ядра: для согласия теории с наблюдениями необходимо дополнительно увеличить сжатие ядра примерно на 4% (по сравнению с гидростатическим сжатием).

Кроме прецессионно-нутационного движения оси вращения Земли в пространстве существует движение этой оси относительно земной системы координат. Основными причинами движения полюса и неравномерности вращения Земли также являются динамические процессы в ядре, мантии и атмосфере. Поэтому сравнение теории с наблюдениями позволит уточнить динамическую модель Земли, состоящую из неравновесных оболочек. Кинематика и динамика ядра Земли

Открытие существования твердого ядра и жидкого ядра Земли

В 1906 г. Олдгем обнаружил, что примерно на половине пути до центра Земли скорость Р-волн (продольных сейсмических волн) внезапно уменьшается, а 5-волны (поперечные сейсмические волны) исчезают. Известно, что поперечные волны не распространяются в жидкости. Скорость поперечных

волн(где ц. — модуль сдвига, р — плотность), в жидкости обращается в нуль в силу

равенства нулю модуля сдвига для жидкости. Таким образом, было обнаружено, что Земля обладает протяженным жидким ядром.

В 1936 г. датский сейсмолог Леманн обнаружила быстрое увеличение скорости продольных волн на глубине около 5000 км.

модуль всестороннего сжатия). Наблюдаемое увеличение скорости продольных волн легко объясняется, если предположить, что на этой глубине волна опять распространяется в твердом теле. Так было открыто существование твердого ядра Земли.

Сферически симметричная гидростатически равновесная модель распределения плотности внутри Земли

Для описания физического явления строится некоторая модель, отражающая основные характеристики рассматриваемого явления. Под моделью Земли понимают совокупность физических параметров Земли (сейсмических скоростей, плотности, температуры и т. д.), заданных как функции глубины (или радиального расстояния), долготы и широты. Если определить функцию Ф, как

и принять предположение о сферической симметрии Земли, то уравнение, описывающее распределение плотности гидростатически равновесной Земли, может быть записано в виде [.Жарков и др. 1971]:

(8.3.1)

где ос — коэффициент объемного расширения, т — нададиабатический градиент температуры, G — гравитационная постоянная, т(г) = 4n^py2dy — масса внутри сферы радиуса г. Последний член уменьшает dp/dr в среднем на 2% в химически однородных зонах и при построении сейсмических моделей распределения плотности нададиабатическим градиентом часто пренебрегают. В этом случае уравнение (8.3.1) называют уравнением Адамса-Вильямсона.

Физические и химические характеристики твердого ядра и жидкого ядра

Если заданы граничные условия для уравнения (8.3.1) и определена функция сейсмических скоростей Ф, то (8.3.1) может быть проинтегрировано, и функция распределения плотности в зависимости от радиуса может быть построена. Распределение плотности, сейсмических скоростей и добротностей согласно модели PREM [Dziewonski, Anderson 1981] приведены в табл.

В настоящее время предполагают, что жидкое ядро состоит из железа с примесью легкой компоненты. Обычно в качестве легкой компоненты рассматривается кремний [Брагинский 1964]. Постоянно идет процесс кристаллизации твердого ядра, в результате которого образуется избыток легкой компоненты. Фракции легкой компоненты всплывают, что и служит основной причиной конвекции, в

Таблица 8.2. Распределение плотности, сейсмических скоростей и добротностей по модели PREM

процессе которой и формируется магнитное поле Земли. Согласно оценкам Брагинского, запасов энергии для генерации магнитного поля Земли осталось приблизительно на 100-300 млн. лет. Марс уже израсходовал свой запас энергии и не обладает собственным магнитным полем (имеется в виду поле, возникающее в результате конвекции в ядре). Согласно Брагинскому, процентное содержание кремния в настоящее время составляет 25-30%.

Температура в жидком ядре составляет (4-f5)-103 К, достигая 6-103 К в центре твердого ядра [Жарков и др. 1971]. Проводимость жидкого ядра составляет 0,6-1016 с”1, откуда для коэффициента теплопроводности по закону Видемана-Франца получают значение 0,155 кал/(см-К) [Брагинский 1964]. Удельная изобарическая теплоемкость (удельная теплоемкость при постоянном давлении) составляет 0,15 кал/(г-К). Коэффициент температуропроводности составляет 0,1 см2с~1. Давление в жидком ядре 1-=-3-106 атм, а адиабатическая скорость звука 9,5-103 м/с. Коэффициент температурного расширения равен 7-106 К-1.

Согласно работе Секко \Secco 1994], вязкость жидкого ядра, определяемая различными методами, лежит в диапазоне от 10-2 до 1012 Пуаз. Частично такой разброс значений объясняется тем, что кроме влияния молекулярной (реологической) вязкости свой вклад в наблюдаемую величину диссипации могут вносить и другие процессы. Например, на механические движения могут влиять и невязкие диссипативные процессы, такие, как Джоулева диссипация. Поэтому определяемая по ним вязкость будет отличаться от обычной (реологической) вязкости (табл. 8.3).

Важна также и радиальная зависимость вязкости. Недавно в институте физики высоких давлений (ИФВД РАН) в экспериментах по кристаллизации железа под сверхвысоким давлением была уточнена кривая плавления жидкого железа [Бражкин, Ляпин 2000]. На основе этих результатов была предложена новая модель распределения вязкости в жидком ядре Земли (рис. 8.3.1).

Если принять такую функциональную зависимость, то окажется, что результаты вычислений прецессии и нутации Земли требуют ограничения динамической вязкости на границе твердое ядро — жидкое ядро величиной т[8 = 1,318 • 108 Па-с IZharov, Pasynok .

В общем случае вязкость входит в уравнения вращения совместно с параметрами магнитного поля [Жаров, Пасынок 2001]. Как видно из рис. 8.3.1,

вязкость очень быстро возрастает с уменьшением расстояния до центра Земли и велика только в тонком слое толщиной около 100 км вблизи поверхности твердого ядра. Поэтому в большинстве задач по земному ядру вязкость можно не учитывать (как в задаче о собственных трансляционных колебаниях внутреннего ядра Земли) или считать малым фактором (как в задаче о вращении Земли). Разумеется, решение о том, учитывать ли вязкость, принимается исходя из требований к точности решения.

С вязкостью тесно связано значение коэффициента диффузии. Произведение коэффициента диффузии на кинематическую вязкость равно величине, которую в земном ядре приблизительно можно считать постоянной [Брагинский 1964; Мусихин, Есин 1962]. При динамической вязкости 1 Па-с коэффициент диффузии равен примерно 10_6 см2/с. Известно, что значения коэффициента диффузии кремния и железа в жидком чугуне составляют примерно 10~4 см2/с при температуре 2-103 К [Мусихин, Есин 1962]. Если же вязкость составит 108 Па-с, то для коэффициента диффузии получится около 10“14 см2/с. Увеличение значения коэффициента диффузии объясняется высоким давлениям в жидком ядре.

Динамика твердого и жидкого ядра как важная составляющая часть общей динамики земных оболочек. Система уравнений движения для жидкого и твердого ядер включает в себя следующие уравнения: уравнение Навье-Стокса для вязкой проводящей жидкости, уравнение непрерывности, уравнение для изменения концентрации процентного содержания легкой компоненты (кремния) для двухкомпонентной смеси, уравнение состояния вещества жидкого ядра, уравнение Пуассона для гравитационного поля, уравнение для магнитного поля (уравнение генерации и равенства нулю дивергенции магнитного поля), уравнение движения твердого ядра и уравнение вращения твердого ядра:

плотность жидкого ядра Земли; Г2 — угловая скорость вращения мантии и коры Земли в инерциальной системе отсчета; Н5 — момент импульса твердого ядра; и, наконец, Ts — момент сил, действующих на внутреннее твердое ядро.

Эти уравнения могут быть решены при задании начальных и граничных условий. Граничные условия на границе твердое-жидкое ядро зависят от относительного расположения твердого и жидкого ядер. Кроме того, сила сопротивления движению твердого ядра со стороны вещества жидкого ядра зависит от поля скоростей в нем. Это означает, что движение твердого ядра зависит от движения жидкого ядра. Но движение жидкого ядра в свою очередь зависит от движений твердой оболочки Земли и атмосферы за счет граничных условий на границе жидкое ядро-мантия. Таким образом, движение всех основных оболочек Земли взаимосвязано. Чтобы его определить, необходимо решать полную систему уравнений, в которую кроме уравнений для жидкого и твердого ядра входят также аналогичные уравнения для мантии и атмосферы. В общем случае эта задача очень сложна. Для решения задачи о вращении Земли ситуация аналогична. В случае решения задачи о генерации магнитного поля система уравнений осложняется еще больше, так как необходимо учитывать возможность возникновения развитой турбулентности [Брагинский 1964].

Оказывается, что задача может быть существенно упрощена, если разложить эту систему в ряд по малым параметрам, а затем отбросить несущественные члены. Какие из членов будут несущественными, зависит от рассматриваемой задачи и требований к точности результата.

Можно выделить следующие направления, в которых используются уравнения динамики ядра: Теория вращения Земли (и задачи о вращении твердого ядра и жидкого ядра). Теория поступательного движения ядра (и задача о собственных трансляционных колебаниях внутреннего ядра Земли как ее важный частный случай). Магнитная гидродинамика земного ядра (и объяснение возникновения магнитного поля Земли). Теория малых возмущений (собственные колебания Земли, магнитогидродинамические волны в жидком ядре и др.)

Собственные трансляционные колебания внутреннего ядра Земли. Сначала рассмотрим влияние неравновесной оболочки Земли на собственные трансляционные колебания внутреннего ядра Земли. В этой задаче рассматривается поступательное движение внутреннего ядра Земли как твердой сферы под действием гравитационных сил, сил гидростатического и динамического давления жидкости, а также сил инерции. Первой самой грубой оценкой спектра собственных трансляционных колебаний внутреннего ядра Земли является его оценка в рамках модели невращающейся Земли. Такие оценки были сделаны в работах Шлихтера [Slichter 1961], Монина [1973], Авсюка [1996]. Для невращающейся Земли спектр состоит из одной гармоники с единственным периодом, равным приблизительно 4 часам. При этом свободная мода существует для колебания ядра в любом направлении.

Учет вращения расщепляет единственную полярную гармонику собственных колебаний невращающейся Земли на три составляющих [Busse 1974]: приблизительно 4 часа — период колебаний в полярном направлении, приблизительно 4,4 часа для «прямой» экваториальной моды колебаний и 3,7 часа для «обратной» экваториальной моды колебаний. «Прямая мода» означает, что относительно вращающейся Земли ядро опережает в своем движении по эллипсу вращение Земли, а для «обратной» моды — наоборот. Таким образом, влияние вращения Земли сказывается в том, что движение ядра теперь непрямолинейно и является суперпозицией трех мод: полярной прямолинейной, прямой эллиптической экваториальной и обратной эллиптической экваториальной. При этом полярные колебания сохраняют то же значение частоты, которое они имели и для невращающейся Земли.

Решение уравнений гидродинамики [Пасынок 1999а, б, в] показывает, что тензор присоединенных масс зависит от частот экваториальных мод. Для полярных колебаний эта задача была решена Буссе [Busse 1974]. В результате влияние частотной зависимости тензора присоединенных масс приводит к расщеплению полярного периода на две составляющих с величиной расщепления около 0,01 часа, так что суммарный спектр состоит из четырех частот.

Влияние неравновесной оболочки Земли на динамику ядра Земли. Влияние гравитационного поля неравновесной оболочки приводит к дополнительному расщеплению экваториальных частот (величина расщепления составляет 0,001 часа), так что суммарный спектр состоит из шести гармоник [Баркин. 1996; Пасынок 1997; Чуйкова и др. 1997]. Другим эффектом влияния неравновесной оболочки Земли является смещение положения равновесия относительно геометрического центра мантии (приблизительно на 400 м), которое определяется коэффициентами Сю, Си и Du в разложении гравитационного потенциала в ряд по сферическим функциям.

Влияние гравитационного поля неравновесной оболочки Земли на вращение внутреннего ядра Земли было рассмотрено Пасынком [1999а, б, в]. Было показано, что влияние гравитационного поля неравновесной оболочки Земли на вращение внутреннего ядра Земли составляет несколько секунд дуги и должно учитываться в современной теории нутации.

Сравнение с наблюдениями. Свободные колебания являются общим решением однородного дифференциального уравнения второго порядка. Чтобы из него выделить частное решение, необходимо задаться начальными условиями. При этом часть коэффициентов общего решения может обратиться в нуль. Д.Е. Смайлом [Smylie 1992] в результате обработки длинного ряда наблюдений на сверхпроводящих гравиметрах были получены следующие периоды: 4Л,015 ± 0Л,001, 3h, 5820 ± 0h, 0008, 3h, 7677 ± 0\0006. Эти периоды близки к трем из полученных модельных периодов. Поэтому можно предположить, что эти периоды соответствуют собственным колебаниям внутреннего ядра Земли. Сам Смайл объясняет эти колебания собственными колебаниями жидкого ядра при неизменном положении твердого ядра за счет сил упругости. Однако такие колебания должны были бы иметь, по крайней мере, в 1000 раз меньшие амплитуды, чем собственные трансляционные колебания твердого ядра для создания такого же гравитационного эффекта на поверхности Земли. Если принять, что амплитуда колебания твердого ядра составляет 1 м, то соответствующая амплитуда изменения ускорения свободного падения составит около 0,17 мкГал. Амплитуда, выделенная Смайлом, по порядку величины совпадает с этой оценкой. Энергетические оценки показывают, что источником возбуждения таких колебаний вполне могут являться землетрясения [Busse 1974].

Магнитная гидродинамика земного ядра. В настоящее время разработаны, в основном, кинематические аспекты динамо: по заданным скоростям находят магнитное поле как решение уравнений генерации и условия соленоидальности магнитного поля. И.С.Брагинский показал [Магницкий 1995], что существует распределение скоростей, которое может полностью объяснить наблюдаемое магнитное поле Земли и его особенности. При этом сам механизм динамо связан с крупномасштабными движениями. По теории И.С. Брагинского, изменение дипольной компоненты (приблизительно в 1,5 раза) с периодом 8000 лет обусловлено взаимодействием между тороидальным и полоидальным полями в процессе крупномасштабной конвекции. Движение и распад крупных неоднородностей магнитного поля с периодами 600-1800 лет обусловлено неустойчивостью осесимметричного радиального потока вещества в низких широтах. Возмущения с периодами около 60 лет вызваны крутильными колебаниями в системе ядро-мантия, возникающими при движении альвеновской волны в жидком ядре Земли. А возмущения с периодами 4-40 лет — мелкомасштабной турбулентностью в верхних частях ядра.

Однако, как уже отмечалось выше, уравнения для магнитного поля связаны с уравнениями движения проводящей жидкости, и чтобы понять, насколько хорошо теория описывает генерацию магнитного поля Земли, необходимо совместное решение полной системы уравнений.