Методологические аспекты изучения поля земной силы тяжести

В.В. Бровар, М.И. Юркина Методологию принято рассматривать как часть логики, изучающую правильные пути (методы) систематического изучения выбранного предмета. Она включает в себя методы описания (изложения) предмета, методы обучения предмету, но главное ее содержание составляют методы исследования предмета.

Математика использует в основном метод дедукции, по крайней мере при доказательствах. Так развивалась геометрия с античного времени. Гносеологическое обоснование этого подхода в 1781 г. дал И. Кант (1724-1804). Он утверждает возможность суждений, не зависимых от опыта, — априорных синтетических суждений. Именно на таких суждениях (постулатах) основана геометрия и математика вообще. В естественных науках, как, например, в физике, астрономии, химии, геологии, биологии, берущих наблюдения и специально поставленные опыты за исходное, приходится использовать более трудный путь исследования — индукцию. От опытно установленных зависимостей переходят к формулировке правила. Затем рассматривают различные следствия установленного правила, и если следствия подтверждаются новыми опытами, то правило получает возможность называться законом, законом природы. Знание законов радикально облегчает дальнейшие исследования, так как позволяет идти обратным путем — от закона к явлению, от общего к частному. Это уже — дедуктивный метод исследования.

Развитие науки при дедуктивном методе иногда сравнивают с плаванием по течению, а при индуктивном — с плаванием против течения.

В 1902 г. В.И. Вернадский ввел более широкое понятие о научном мировоззрении, отметив, что оно не является синонимом истины, а постепенно эволюционирует, будучи неразрывно связанным с господствующими философскими, религиозными, художественными и прочими представлениями, определяющими общий интеллектуальный климат и уровень духовного развития человеческого сознания той или иной эпохи. «Сухой остаток», переходящий из одного научного мировоззрения в другое, представляют собой лишь научно достоверные факты и эмпирические обобщения. Подробнее в работах [Вернадский 1981; Яншин и др. 2000].

Далее рассматривается в общих чертах развитие в геодезии методов изучения поля земной силы тяжести и их синтез. Аристотель (384-322 гг. до н. э.) в сочинении «О небе» описывает ряд явлений, доказывающих шарообразность Земли и известных еще пифагорейцам. Там же он упоминает выполненные измерения

земного радиуса, указывая, что длина окружности земного шара составляет 400000 стадиев, но длина эллинистической стадии неопределенна [Фирсов 1972].

Для современного читателя более интересны рассуждения Аристотеля о форме Земли. За первичное он берет силу тяжести и считает ее направленной к центру Вселенной. Образование Земли из частиц, падающих к центру, делает ее шарообразной. Если на какое-то время центр масс Земли и центр Вселенной не совпадут, то под действием центральной силы совпадение в конце концов все-таки произойдет.

В рассуждениях Аристотеля ценна неразрывная связь силы тяжести и формы Земли. Это очень важно и не всегда всем понятно. Именно в результате пренебрежения этой связью появились парадоксы с антиподами: поле тяжести считали однородным, а Землю — шаром. Только в новое время А.К. Клеро (1713-1765) придал этой связи общую афористичную форму: «... вопрос о фигуре Земли основан на законе действия силы тяжести» [Клеро 1947, с. 10].

Первое дошедшее до нас измерение земного радиуса выполнено Эратосфеном (ок. 276-194 до н. э.)* Ему удалось в момент солнцестояния измерить непосредственно разность Дер широт двух пунктов, а также расстояние AS между ними. Выбранные пункты (Александрия и теперешний Асуан) находятся в пойме Нила вблизи уровня моря и имеют небольшую разность долгот (~3°), поэтому измеренную длину AS дуги можно было рассматривать как меридиональное сечение Земли, а измеренную разность широт Дер — равной углу между отвесными линиями. Отношение Дф:Д5 определяет тогда среднюю кривизну отрезка AS. Эратосфен посчитал ее равной кривизне всей Земли. Точность радиуса Земли, по оценке С.У.Кэри [1988, с. 32 русского издания], получилась высокой, ~2%, хотя расстояние AS было измерено очень грубо: по средней суточной скорости каравана.

Использованный Эратосфеном комплекс измерений не только оказался пригодным для определения земного радиуса, но и обосновывал принцип универсального астрономо-геодезического метода изучения уровенной поверхности потенциала силы тяжести — геоида. В зависимости от целей исследования в разные эпохи длины дуг между астропунктами то старались увеличивать (градусные измерения), то, наоборот, делать короткими (астрономическое нивелирование), но метод сохранялся, а с некоторыми уточнениями понятий и дополнениями использовался и в астрономо-геодезических сетях XX века. Новое значение в геодезии приобретает чисто геометрический спутниковый метод сейчас благодаря синтезу с механическим методом изучения внешнего гравитационного поля Земли.

В эпоху великих географических открытий Гемма Фризий (1508-1555) для уточнения топографической съемки применил прямые засечки с концов измеренного базиса Брюссель-Антверпен. Он же для измерения длинных дуг предложил метод триангуляции. Идею Фризия о ряде триангуляции вскоре осуществил его ученик знаменитый Г. Меркатор (1512-1594), см. у Вернадского [1981, с. 183]. Более обстоятельно триангуляцию использовал Б. Снеллиус (1580-1626) для определения земного радиуса. С использованием триангуляции стали измерять дуги, отнесенные к геоиду. Открытия Н. Коперника (1473-1543), И. Кеплера (1571-1630), Г. Галилея (1564-1642) основаны на тщательном анализе опытов и астрономических наблюдений. Философ Ф. Бэкон (1561-1626) и Галилей с разных позиций, но оба призывали изучать природу, привлекая математику. В эти годы оформился новый метод изучения явлений — индукция. Появилась крылатая фраза: «знание — сила».

Теоретические предпосылки всестороннего изучения гравитационного поля, а вместе с ним и поля силы тяжести на земной поверхности заложены были в 1687 г. И. Ньютоном (1643-1727) в книге «Математические начала натуральной философии». Ньютон создал единый комплекс понятий и законов механики в результате гармонического соединения «правил» Н.

Согласно принципу инерции Галилея в инерциальной системе координат скорость должна изменяться под действием внешней силы, и изменение силы измеряется изменением скорости. Ньютон вычислял скорость по законам Кеплера, а силу — по своему закону. В результате движение получилось эллиптическим, в соответствии с законами Кеплера. Это, конечно, индукция. Затем, согласно закону Ньютона, дедуктивным путем была вычислена орбита Кеплера. При этом оказалось, что третий закон Кеплера получил небольшое уточнение, приведшее к лучшей сходимости вычисленной орбиты с наблюдениями. Дальнейшее расширение задачи (дедукция) привело к выводу, что движение под действием ньютонова притяжения может происходить не только по эллиптическим орбитам, но еще по параболическим и гиперболическим. Тем самым движения комет также получили объяснения. Далее рассмотрено было движение спутников планет, и непонятные отклонения их орбит получили объяснения в возмущающем влиянии Солнца.

Разнообразные многолетние исследования подтвердили законы Кеплера. Только наблюдаемое вековое движение перигелия Меркурия не удалось полностью объяснить теоретически Леверье и Ньюкому. Этот факт напоминает, что дедуктивный процесс познания не обходится без индукции, то есть в права должны вступать новые понятия, новые гипотезы и их экспериментальные проверки. Но это, как мы теперь знаем, произойдет не скоро. Современники же с сомнением встретили ньютоново притяжение по другой причине. Возник вопрос: почему тела притягиваются друг к другу? Причина «дальнодействия» безуспешно обсуждалась в прошлом (Ж.Л. Лесаж, У. Томсон, подробнее см. [Розенбергер 1890, Виз- гин 1981)) и обсуждается в наши дни. Свой вклад в понимание гравитации внес А.Д. Сахаров в статье [ 1967], научных трудах [1995] и в «Воспоминаниях» [1996, т. 1, с. 570, т. 2, сс. 252, 300). Он развивает теорию гравитации Эйнштейна. Этот вопрос обдумывал, конечно, и сам Ньютон. Механического решения он не нашел, да и не мог найти, оставаясь в пределах своей системы понятий, но предложил несколько уточнить методологию изучения. Именно, первую задачу исследования он видит в установлении законов природы, а давать им объяснения — вторая задача исследования: «Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю... » («... в действительности имело место расхождение между словами Ньютона и его реальной практикой» — заметил В.С. Черняк в книге «Принципы историографии... », с. 259-260). И далее: «Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» [Ньютон 1989, с. 662].

Соединение Ньютоном закона притяжения с законами механики и новыми методами в математике привело к созданию новой парадигмы: системе жестко увязанных между собой исходных понятий (евклидова геометрия, пространство, время, масса, сила, скорость, ускорение, количество движения...) и соответствующих им методов изучения, охватывающих все более и более обширные области физики. Г.В. Лейбниц (1646-1716), использовав результаты X. Гюйгенса (1629-1695), открыл закон сохранения «живых сил» — дал первую формулировку закона сохранения энергии, Ю.Р. Майер (1814-1878), Г.Л.Ф. Гельмгольц (1821-1894), Дж.П. Джоуль (1818-1889) уточняли формулировку этого закона, его математическое и экспериментальное обоснования. Открылся невиданный простор для дедуктивного метода.

Разнообразные работы объединены одним методом, сформулированным еще в 1637 г. Р. Декартом (1596-1650): «... делить каждое из исследуемых ,. .затруднений на столько частей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления» [1950, с. 272]. Принцип прекрасно оправдал себя в математике и физике. На его идейной основе разработан мощный метод дифференциальных уравнений. В небесной механике он позволяет изучать движение отдельных тел Солнечной системы. В теории фигуры Земли новая ньютонова парадигма проявилась в книге III «Начал» в расчете сжатия однородного эллипсоида, уровенного для потенциала силы тяжести. В разделе «Найти и сравнить между собою веса тел в разных областях Земли» Ньютон доказывает, что приращение веса от экватора к полюсам приблизительно пропорционально квадрату синуса широты — первая формулировка формулы Клеро — и приблизительно в том же отношении возрастают длины радиуса меридиана с широтою. Допустив, что земная сила тяжести равна равнодействующей силы притяжения, всегда направленной, согласно представлению Декарта, к центру Земли, и центробежной силы, Гюйгенс в работе 1690 г. определил земное сжатие 1:578. Возник вопрос о возможности существования сфероидальных небесных тел. В этих исследованиях велика роль понятия о потенциале силы, появившемся еще в средние века. Этим понятием пользовались Гюйгенс, Ньютон, П.Л.М. де Мопертюи (1698-1759), Клеро, Л. Эйлер (1707— 1783). В книге 1736 г. Эйлер явно выразил потенциал силы притяжения точечной массы (подробнее [Юркина 1977, 1987, 1988; Yurkina 1985]).

В размышлениях о трудных задачах исследователи едва ли отдают себе отчет, дедукцией или индукцией они занимаются. В.И. Вернадский в 1902 г. заметил в письме жене: «... я смотрю на значение философии в развитии знания совсем иначе, чем большинство натуралистов, и придаю ей огромное, плодотворное значение». И далее: «Развитие научной мысли никогда не идет дедукцией или индукцией — оно должно иметь свои корни в другой — более полной поэзии и фантазии — области: это или область жизни, или область искусства, или область, не связанная с точной дедукцией или индукцией — рационалистическими процессами, — область философии. Философия всегда заключает зародыши, иногда даже предвосхищает целые области будущего развития науки, и только благодаря одновременной работе человеческого ума в этой области получается правильная критика неизбежно схематических построений науки... » Предполагалось сначала, что выведенные из градусных измерений кривизны дуг меридианов на разных широтах характеризуют сечения одного и того же эллипсоида. Но в конце 30-х — начале 40-х годов XVIII в. в работах «О фигуре Земли» и «О неравенстве силы тяжести в разных местах Земли» Р.И.Бошкович (1711-1787) делает вывод, что фигура Земли, образованная замкнутой поверхностью океанов, не может быть представлена единым сфероидом [Цверава 1986]. Взгляд Бошковича, энциклопедиста, члена многих академий, почетного члена Петербургской академии, не встретил поддержки, и Ж.Б.Ж. Деламбр (1749-1822), следуя А.М. Лежандру (1752-1833), при обсуждении материалов французских градусных измерений конца XVIII — начала XIX вв., выполненных для установления десятичной системы мер, объяснял такие расхождения местными влияниями [Mechain, Delambre 1810, t. 3,

р.              92]. Иногда стремились их исключить, вводя топографические поправки. Методология обработки градусных измерений в течение долгих лет в лучшем случае использовала указанный подход. Этот взгляд продержался в России до начала XX в. Ему следовал И.И. Стебницкий, обсуждал В.В. Витковский (подробнее см. [Бровар, Юркина 1997]). Факты заставили отказаться от этой точки зрения: введение поправок за местные влияния иногда не только не уменьшало, но увеличивало расхождения между астрономическими и геодезическими данными. Отклик этого взгляда проявился недавно в книге [Абалакин и др. 1996, с. 31], где уклонения отвеса объяснены локальными аномалиями силы тяжести.

После основополагающих противоречивых работ Ньютона и Гюйгенса более близкий к реальной Земле этап исследования достигнут в книге Клеро 1743 г. Для этого автор дополнительно использовал представление о жидком равновесном состоянии Земли. В первой части этого труда разработана, можно сказать, аналитическая гидростатика. Во второй части рассмотрены фигуры равновесия жидких планет (однородных и неоднородных). Доказано, что неоднородная планета может существовать в виде семейства двухосных эллипсоидов малого сжатия, вращающихся с малой угловой скоростью, если справедливо некоторое интегро-дифференциальное уравнение, связывающее постоянные плотности слоев с их сжатиями (уравнение Клеро). Дальнейшие преобразования уравнения, исследование его неоднозначности и многие другие вопросы, связанные с изучением возможности существования фигур равновесия, нашли непосредственное продолжение в работах математиков и механиков Ж.Л. Д’Аламбера (1717-1783), П.С. Лапласа (1749-1827), Р. Радо (1835-1911), А. Пуанкаре (1854-1912), А.М. Ляпунова (1857-1918). Сейчас более точная теория неоднородных жидких равновесных и неравновесных планет развивается в работах геофизиков В.Н. Жаркова и В.П. Трубицына [1983], Б.П. Кондратьева [1989], а теория Клеро-Радо непосредственно используется для описания начального состояния Земли при изучении ее упругих колебаний [Молоденский 1989].

Для изучения поля силы тяжести на поверхности Земли Клеро установил в той же книге замечательную теорему: (а-Ь)а~х + (др-де)дё1 — 2,5аgt;2ад~1, где а и b — большая и малая полуоси земного эллипсоида, рв, др — сила тяжести на экваторе и полюсе, ш — угловая скорость вращения. Теорема определяет сжатие Земли в предположении, что квадратами каждого из трех членов можно пренебречь. Для уровенного эллипсоида произвольного сжатия подобная зависимость опубликована П.Пицетти в книге 1913 г.

Развитие теории потенциала и теории фигуры Земли в работах Эйлера, Ж.Л. Лагранжа (1736-1813), Лапласа, А.М. Лежандра и их дедуктивные построения, приведшие к экспериментальному изучению внешнего потенциала Земли без сведений о ее плотности и без предположения о ее жидком состоянии [Laplace 1785], отражены в нашей статье 1997 г. В частности, ряды Лапласа до сих пор остаются одним из основных математических аппаратов геодезии при решении глобальных задач. Точность решения исследована Буршей и др. [1998]. Особенно полезными они оказались в спутниковых исследованиях: низкие гармоники земного гравитационного поля, включая определяющий земное сжатие коэффициент при полиноме Лежандра второй степени, наиболее надежно получены по спутниковым наблюдениям.

Изучением гравитационного поля занимались выдающиеся математики последние три столетия. В XVIII-XX вв. разрабатывались способы решений дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных (математическая физика), охвативших единым подходом и собственно механику, механику сплошных сред, гидродинамику, акустику, а также теплоту и теорию поля, скалярного и векторного, теорию упругости, теорию электромагнитного поля.

Расчеты притяжения двух- и трехосных эллипсоидов как моделей Земли выполнены Эйлером, Лагранжем, Лапласом, Лежандром, К.Ф. Гауссом (1777-1885), С.Д. Пуассоном (1781-1840), М. Шалем (1793-1880) и многими другими. В течение многих лет такой подход был основой методологии изучения фигуры Земли и ее гравитационного поля. При этом были выяснены многие вопросы теории потенциала: Пуассон распространил уравнение Лапласа для вторых производных потенциала на точку внутри притягивающей массы, появились интегралы Гаусса, существенно облегчающие определение притяжений однородных тел, что нашло применение при вычислении поправок за рельеф в гравиметрии. Даже много лет спустя после появления формулы Стокса (1849 г.) продолжали появляться работы геодезической направленности о притяжении эллипсоидов. Например, в учебнике [Михайлова 1939] притяжению однородного двухосного эллипсоида посвящена глава 4, хотя такой расчет не нужен ни для изложения теории краевой задачи Стокса, ни для практических приемов геодезической гравиметрии.

Общий метод решения дифференциальных уравнений в частных производных в 1822 г. разработал Фурье (1768-1830). Метод позволяет представить общее решение в виде частных функций, удовлетворяющих исходному уравнению в частных производных в заданной области. Общее решение состоит в определении только постоянных коэффициентов по краевым и начальным условиям. Частным случаем рядов Фурье является разложение Лапласа.

Теория сферических функций второго рода, составляющих основу разложений в ряды по сфероидальным функциям, связанным с эллипсоидом вращения, разработана Г.Э. Гейне (1821-1881) — [Heine 1843, 1851, 1861]. В первой из этих работ решена первая внешняя и внутренняя краевая задача для эллипсоидов методом Фурье, во второй — рассмотрено притяжение эллипсоидов, двухосного и трехосного. В книге 1861 г. разработана теория упомянутых функций и введено их название (с. 41). Теперь практически применяются сфероидальные координаты разного вида: введенные в работе [Niven 1880] (в работах Молоденского и Мещерякова), Пицетти [1913] и в книге [Heiskanen, Moritz 1967], в работах Морица. Подробнее этот вопрос рассмотрен в подразделе 1.4.

Одно из решений Гейне (первая внешняя краевая задача для сжатого эллипсоида) в XX в. находит применение в теории фигуры Земли при определении нормального потенциала. Решение второй краевой задачи, основанное на разложении Гейне, получил в 1991 г. Г.А. Мещеряков (1924-1992). Данные о расхождении среднего уровня моря и эллипсоида постепенно накапливались, как и сведения о непостоянстве силы тяжести на параллелях и неправильном ее изменении вдоль меридианов. В письме Шумахеру в 1823 г. Гаусс ввел понятие геоида (термин ввел И.Б. Листинг [Listing 1873, с. 41]). В публикации 1828 г., обсуждая результаты ганноверского измерения разности широт Геттингена и Альтоны, а также французских, английских и итальянских градусных измерений, Гаусс [Gauss 1828] отвергает точку зрения Деламбра о локальных отклонениях отвеса и пишет: «То, что мы называем поверхностью Земли в геометрическом смысле, есть не что иное, как та поверхность, которая везде перпендикулярна направлению силы тяжести и часть которой образована поверхностью мирового океана». И заключает: «Нет сомнения, что будущие века очень много добавят к математическим знаниям о фигуре Земли».

Экспериментально установленный факт поставил перед геодезией наряду с определением земного эллипсоида новую задачу — определить эту уровенную поверхность. Как следует из цитаты, Гаусс предполагает силу тяжести отнесенной к точкам геоида. В работе 1828 г. он первым применил астрономическое нивелирование (название дано Ф. Р. Гельмертом (1843-1917) в книге 1884 г., с. VIII и 599) для приращений AN высот геоида над отчетным эллипсоидом по составляющим ?,,т| угла между нормалями эллипсоида и геоида. Но, следуя предшественникам, многие свои исследования Гаусс посвятил изучению эллипсоидальной поверхности и геодезическим операциям на ней: геодезическим линиям и треугольникам со сторонами из геодезических линий, используя преимущественно только плановые координаты. Теория поверхностей, развитая Гауссом, была стимулирована геодезическими задачами. Геодезия представлялась Гауссу поверхностной. В зависимость декартовых координат с геодезическими широтами В, долготами L и высотами Я, высоты были введены Ф.Р. Гельмертом в книге 1880 г.,

с.              189. Следуя Гауссу и стремясь приблизиться к реальной земной поверхности, рассматривали решение геодезических задач на поверхностях более сложного вида, чем эллипсоид вращения [Беспалов 1980]. Практического применения эти исследования не нашли.

Гаусс ввел в астрономию и геодезию разработанный им метод наименьших квадратов — приводящий к определению вероятностных результатов метод обработки избыточных наблюдений, искаженных случайными влияниями. Этот метод касается измерений всех видов и широко используется. Большое практическое значение сохраняет вклад Гаусса в решение краевых задач [Гаусс 1952], а также вклад Грина [Green 1871].

Метод определения AN, ?,,т| одновременно с определением полуосей отсчетного эллипсоида описал Ф.В. Бессель (1784-1846). Методика Бесселя предполагала наблюдения по рядам триангуляции астрономических широт и долгот, благодаря чему стало возможно определение кривизны любых дуг, а не только меридиональных. Гаусс и Бессель заложили основы обработки измерений в астрономогеодезических сетях с учетом особенностей реального гравитационного поля, но без измерений силы тяжести. Эти приемы были развиты А.Ж.Ф. Ивон-Виллярсо (1813-1883) и^Ф.А. Слудским (1841-1897), в частности геометрический метод изучения земной поверхности совместно с геометрическим и астрономическим нивелированиями. Этим способом И.И. Померанцев [1897] построил карту геоида в Ферганской долине. Пуанкаре [Ротсагё 1901] рассмотрел астрономо-геодезический метод построения сетей большой протяженности, отметил возможность систематических быстро накапливающихся погрешностей, сопоставил применение методов развертывания и проектирования, описал роль уклонений отвеса, полученных методом проектирования нормалями к эллипсоиду. Эта статья Пуанкаре завершила теорию обработки астрономо-геодезических измерений без использования наблюдений силы тяжести.

Несмотря на огромное значение астрономо-геодезических работ в истории цивилизации и разнообразное повсеместное их практическое использование, сам по себе астрономо-геодезический метод изучения поля силы тяжести Земли ограничен. Кривизна уровенной поверхности, конечно, полезна, но это только одна локальная характеристика одной уровенной поверхности Земли. Даже необходимости определения понятия силы тяжести в этом методе не возникает (достаточно знать, что спокойная поверхность жидкости и отвес ортогональны). Геодезия имеет дело с измерениями силы тяжести на земной поверхности, а используемая уровенная поверхность потенциала силы тяжести обычно проходит на сотни метров ниже. Так возникает задача о приведении модуля и направления измеряемой силы тяжести на геоид. Поэтому введение геоида как объекта изучения геодезии позволило высшей геодезии подойти только к временному приближенному решению своей задачи. Дж. Г. Стокс (1819-1903) ввел в геодезию краевые задачи математической физики в двух публикациях 1849 г. Он свел решение задачи об определении геоида по гравиметрическим данным на нем к решению первой краевой задачи, до того как этой задачей занялся П. Г. Дирихле, и она получила его имя.

Исходная идея Стокса сводится к разделению потенциала силы тяжести Земли на два слагаемых — нормальный потенциал силы тяжести, представляющий в целом потенциал вращающейся Земли, и малый остаток — возмущающий чисто гравитационный потенциал. Польза введения нормального потенциала, близкого к реально существующему, в том, что формулы представления малого возмущающего потенциала могут быть значительно упрощены по сравнению с реальным потенциалом. У Стокса нормальный потенциал включает потенциал центробежной силы. При использовании топографических и топографо-изостатических редукций для повышения точности интерполяции аномалий силы тяжести центробежный потенциал и потенциал притяжения земного эллипсоида следует рассматривать порознь. На современном уровне точности возможно придется считаться со смещением центра земной массы с оси вращения из-за влияния других небесных тел. Возмущающий потенциал вне масс должен удовлетворять уравнению Лапласа. Стокс предположил, что масс вне геоида нет и сила тяжести на нем измерена. При этих условиях им установлена связь на геоиде между смешанной аномалией силы тяжести и возмущающим потенциалом. Эта связь играет роль краевого условия, которому должен подчиняться искомый интеграл уравнения Лапласа (возмущающий потенциал) на поверхности геоида. Разложение возмущающего потенциала по сферическим функциям Стокс подставил в краевое условие и нашел известный медленно сходящийся ряд (ряд Стокса). Он определяет возмущающий потенциал через разложение на сфере смешанных аномалий силы тяжести. При вычислениях Стокс заменил геоид сферой и вывел более удобную для точного счета, чем ряд, интегральную формулу. В нашей стране принципы теории Стокса, вывод его интегральной формулы и необходимые редукции силы тяжести впервые были описаны в учебнике А.А. Михайлова (первое издание вышло в 1933 г., второе — в 1939).

Решение Стокса открыло путь к экспериментальному определению геоида по измерениям силы тяжести, выполненным, конечно, на земной поверхности. Из-за отсутствия гравиметрической съемки Земли результат Стокса долгие годы не находил применения, но перспективность этого пути отмечалась, например, Гельмертом. Решение Стокса определяет возмущающий потенциал на эллипсоиде, а вместе с ним и высоту геоида над эллипсоидом. До настоящего времени и ряд, и формула Стокса употребляются на практике.

С современной точки зрения, теория Стокса приближенно представляет внешний возмущающий потенциал Земли. Приближенность появляется в результате замены сферой реальной земной поверхности. Что касается определения геоида, то для этого требуется регуляризация геоида и редуцирование на него измеряемой силы тяжести. Обе эти задачи Стокс решал приближенно. Для точного решения необходимы сведения о распределении массы внутри Земли. Затем следовало восстановить реальное распределение масс, чтобы перейти к геоиду реальной Земли. Вполне сознавая приближенность решения, Стокс отмечал, что у него речь идет только о внешнем гравитационном потенциале. Погрешность решения его устраивала. Учет сжатия краевой поверхности рассмотрен Д.В. Загребиным в работах 1976 гг. и М.С. Молоденским [1956] и др., но поиск практически более удобных решений продолжается и сейчас.

Накопление гравиметрических данных сопровождалось ростом интереса к теории Стокса. Усилия геодезистов были направлены на совершенствование астрономо-геодезического и гравиметрического методов изучения не Земли, а именно геоида. Множество работ посвящено регуляризации Земли и приведению силы тяжести на геоид. Обсуждалась также возможная точность вычисления по формуле Стокса. Площадные гравиметрические съемки, специально выполняемые в геодезических, а также в гравиразведочных целях, послужили в СССР основой обработки астрономо-геодезической сети методом проектирования на отсчетный эллипсоид, что позволило создать единообразную по точности сеть на всей территории страны. Были разработаны методы вычисления уклонения отвеса и астрономо- гравиметрического нивелирования: гравиметрическая съемка позволяет выделить местные влияния на направления отвеса в астропунктах, остаточные уклонения отвеса изменяются медленно, их можно проинтерполировать на промежуточные точки и затем восстановить в них местные влияния. Таким образом, гравиметрическая съемка позволяет как бы сгустить астрономические пункты геодезической сети — произошел синтез геометрического и физического методов геодезии.

Высоты точек земной поверхности над некоторым отсчетным эллипсоидом определены при использовании теории Стокса как суммы ортометрических высот и высот геоида. Ортометрические высоты определены приращениями потенциала силы тяжести от некоторого начала счета (как правило, у уровня моря) до исследуемой точки геометрическим нивелированием и измерениями силы тяжести вдоль пути нивелирования. Для перевода приращения потенциала в линейную меру необходимы средние дт из величин силы тяжести вдоль ортометрической высоты от исследуемой точки на Земле до геоида.

Вычисления на моделях Земли, отражающих земные условия, выявили высокие требования к точности регуляризации Земли и редукции силы тяжести на регуляризованный геоид, а также к определению среднего дт из величин силы тяжести внутри Земли. Например, для вывода ортометрической высоты с ошибкой 1 мм при высоте в 1000 м среднее дт нужно получить с погрешностью в 1 мГал. Влияние неоднородности земной коры на среднее дт может достичь нескольких десятков мГал, а соответственная погрешность ортометрической высоты будет выражена несколькими сантиметрами. Швейцарский геодезист Нитхаммер в работе [Niethammer 1932) стремился к выводу ортометрических высот с наивысшей точностью, но не принял во внимание аномалии вертикального градиента силы тяжести, которые могут вызвать упомянутые ошибки. Разработанная Нитхаммером методика очень трудоемка: для учета поправок за рельеф местности вдоль силовой линии репера необходима тщательная выборка высот с топографических карт. В практических вычислениях производственного характера рекомендации Нит- хаммера никогда использованы не были, как и другие подобные исследования. Объяснить это можно тем, что неизбежные ошибки вычисления дт на силовой линии каждого репера влияют на ортометри- ческую высоту только этого репера и не накапливаются по ходу нивелирования, а поэтому и почти не влияют на точность нивелирной сети. Отсюда можно усмотреть, что геодезисты на практике не очень стремились к определению высот над геоидом, что приходило в противоречие с теорией. М.С. Молоденский (1909-1991) в работах 1945, 1948 и 1960 годов решил совместную задачу о счете высот, определении внешнего земного гравитационного поля и фигуры земной поверхности по гравиметрическим и геодезическим измерениям на этой поверхности, а теперь и совместно со спутниковыми данными. Сведения о внутреннем строении Земли, все еще полезные для интерполяции измерений, принципиального значения не имеют. Решение Молоденского основано на краевой задаче с косой производной (направление силы тяжести может составлять некоторый угол с направлением нормали к земной поверхности, в стоксовом приближении эти направления совпадают) и краевым условием на самой земной поверхности. Таким образом, решение краевых задач математической физики остается основным методологическим приемом теории фигуры Земли. Теперь на формулы Стокса и Венинг- Мейнеса установился взгляд как на приближенные выражения высот квазигеоида и уклонений отвеса согласно теории Молоденского. М.С. Молоденский разработал также геометрический метод решения задач на земной поверхности — передачи геодезических координат,— свободный, в отличие от прежних подходов, от изучения кривизн поверхности и использования геодезических линий на ней. Эти результаты Молоденского естественно соединились с его теорией определения возмущающего потенциала — был расширен синтез геометрического и физического методов геодезии.

С развитием и распространением техники GPS теория Молоденского приобретает значение в связи с задачей вычисления высот квазигеоида с сантиметровой погрешностью, что позволило бы контролировать геометрическое нивелирование или даже совсем отказаться от этого вида работ. А высокоточное определение уклонений отвеса, возможно, пополнит астрометрические наблюдения, приведя их к общим для всех обсерваторий в некоторый момент времени неизвестным: смещению мгновенного полюса с условного международного начала или постоянным нутации, что будет полезно для контроля ее теории. О теории Молоденского подробнее сказано в нашей статье 1996 г., в работе [Moritz 1980], а также в главе 3 настоящей книги. Знаменитый пятый постулат Евклида вызывал сомнения математиков в течение двух тысяч лет: старались его доказать, используя первые четыре постулата. Авторитет Канта независимо подкреплял априорные начала математики, представления о пространстве и времени, а вместе с тем подкреплял и парадигму Ньютона. В 1823 г. Н.И. Лобачевский (1792-1856) доказал необходимость пятого постулата Евклида тем, что, заменив его на противоположный, построил новую непротиворечивую геометрию. Геометрия Лобачевского и появившиеся следом другие неевклидовы геометрии могли зародить первые сомнения в кантовском априорном понимании пространства и времени, а вместе с ними — в системе Галилея-Ньютона. Возникал вопрос о соответствии реальности той или иной геометрии. Точка зрения Канта на априорность пространства и времени становилась сомнительной. Геометрия теряла свою априорную основу и гносеологически становилась вровень с механикой. Понимая все эти возникающие общенаучные проблемы, Лобачевский предлагал решать их экспериментально, опираясь на исследования параллаксов звезд.

Доклад Лобачевского (1823 г.) встретил у коллег резкое сопротивление. Первая публикация «О началах геометрии» могла состояться в Казани только в 1829 г. Несколько лет спустя автор, став ректором Казанского университета, все-таки добился публикации серии статей (1835-1838) в «Ученых записках Казанского университета». Но отношение к его работам не изменилось. Наконец, в 1840 г. Лобачевский опубликовал в Берлине брошюру «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Работу сразу оценил Гаусс и по его рекомендации в 1842 г. автор был избран членом-корреспондентом Геттингенского научного общества. Однако общее понимание возможности существования разных геометрий пришло еще лет через тридцать, после работ Б. Римана (1826-1866) и особенно Э. Бельтрами (1835-1900),

В 1868 г. профессор Болонского университета Бельтрами опубликовал статью об опыте пояснения неевклидовой геометрии, рассмотрев сферическую поверхность постоянной отрицательной кривизны и соответствующую ей планиметрию — плоские прямолинейные фигуры. Результаты оказались аналогичны результатам Лобачевского (Бельтрами пользовался французским переводом изданной в Берлине брошюры Лобачевского). В 1869 г. статья Бельтрами была издана по-французски.

Известный математик Ф. Клейн в книге «Неевклидова геометрия» [1928] дал ее анализ. В главе 7 «Соотношения между эллиптической, евклидовой и гиперболической геометриями» на с. 209 русского издания Клейн сделал вывод о логической равноправности этих геометрий, но оценил неевклидовы геометрии как логически непригодные к практическим приложениям. На с. 231 Клейн пишет «...ко внешнему миру евклидова геометрия подходит с такой большей степенью точности, что мы на земной поверхности и в области нашей Солнечной системы можем без всяких сомнений исходить из предположения о справедливости гипотезы Евклида, не впадая в противоречие с опытом...» Но это написано в 1928 г. С тех пор точности измерений возросли многократно и вопрос может представиться открытым. Однако в вышедшей первым изданием в 1903 г. книге «Наука и гипотеза» А. Пуанкаре смотрел глубже. В разделе «Геометрия и астрономия», отметив, что «... аксиомы геометрии... суть не более чем замаскированные определения» (выделено Пуанкаре), автор приходит к выводу: «Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная геометрия может быть только более удобной. И вот, евклидова геометрия есть и всегда будет наиболее удобной ...» На с. 67 издания 1990 г. читаем: «... евклидовой геометрии нечего... опасаться новых опытов», а на с. 72: «... опыт не может решить выбор между Евклидом и Лобачевским» [Пуанкаре 1990]. Пуанкаре склоняется к признанию априорности основ геометрии.

Эйнштейн (1879-1955) полагал, что только опыт может дать ответ, является ли практическая геометрия евклидовой или нет [Эйнштейн 1966, с. 85]. Одновременно он писал в той же работе (с. 91): «Из последних результатов теории относительности представляется вероятным, что наше трехмерное пространство... является приблизительно сферическим, то есть законы расположения в нем твердых тел определяются не евклидовой геометрией, а приближенно описываются сферической геометрией, если только рассматривать области достаточно большой протяженности». Между тем, Лобачевский понял невозможность определения кривизны пространства большой протяженности предложенным им способом, обнаружив, что гипотетическая кривизна неуклонно уменьшается, поскольку зависит от минимального звездного параллакса, доступного определению в данную историческую эпоху, в свою очередь зависимого от точности угловых измерений. Искривление, зависящее от точности измерений, то есть от наблюдателя, нельзя приписать свойству пространства-объекта наблюдений. Анализу исследований Лобачевского посвящены публикации Н.И. Идельсона [1949] и Л.И. Брылевской [1999].

В двух статьях, посвященных обсуждению гипотезы об искривленности пространства Вселенной,

С.А. Толчельникова-Мурри [1999а, б] утверждает, что евклидова геометрия является не только наиболее удобным методом, но и единственно возможным при определении расстояний во Вселенной, поскольку при решении параллактических звездных треугольников нет избыточных измерений для определения кривизны пространства. В указанных статьях отмечено, что практическую проверку математической теории нельзя осуществить без сопоставления идеального, математического понятия — в данном случае прямой — с чем-либо материальным, природным, поддающемся измерению. Используя луч света как аналог прямой, физики апеллируют к наблюдениям астрономов, якобы подтверждающих искривление лучей. Однако астрономы используют не лучи света между источником и наблюдателем, а направление от наблюдателя к видимому месту источника света. Очевидно, что направление не может быть искривленным. С.А. Толчельникова-Мурри полагает, что физики должны были бы начать с определения луча в рамках какой-либо модели света, что было бы первым шагом на пути к постановке задачи о практической проверке гипотезы об искривлении лучей.

Искривление лучей света в поле притяжения небесных тел, как правило, связывают с теорией Эйнштейна, но такое предположение высказывал Ньютон [Вавилов 1989, с. 86], упомянул Лаплас и, следуя его указанию в первом томе трактата по небесной механике, оценил Зольднер [Soldner 1801] как величину, имеющую в поле притяжения Солнца порядок О", 001.

Также до появления теорий Минковского и Эйнштейна Вернадский записал в 1885 г. в дневнике: «Бесспорно, что и время, и пространство отдельно в природе не встречаются, они неразделимы».

Известные опыты Х.К. Эрстеда, М. Фарадея и А.А. Майкельсона привели к новым фактам, не согласующимся с ньютоновыми силами и в целом с парадигмой Ньютона. Еще более ощутимый удар пришлось выдержать ньютоновой парадигме на рубеже столетий при появлении знаменитой формулы Е = тпс2, ее часто связывают с общей теорией относительности (ОТО) А. Эйнштейна, но эта формула и представление о непостоянстве массы т при изменении энергии Е возникли до появления ОТО. Историю формулы с двух противоположных позиций — с точки зрения как ОТО, так и отрицания ОТО — описали Окунь [1989] и Сухоруковы [1993]: эта формула появилась в трудах Дж.Дж. Томсона (1856-1940) и Ж.А. Пуанкаре (1854-1912), в частности в статье [Ротсагё 1900]. Формула не вписывается в механику Ньютона, но из этого не следует, что только ОТО должна заменить эту механику. ОТО, хотя и получила широкое признание, все еще остается по существу гипотезой, поскольку не имеет надежной ни индукционной, ни тем более дедуктивной опоры. Было принято считать, что только теория Эйнштейна может объяснить движение перигелия Меркурия. И этот вывод способствовал утверждению теории. Однако такое представление основано на недоразумении. При расчете влияния Солнца на движение Меркурия не был принят во внимание указанный Эйлером эффект смещения действующей силы притяжения с центра масс Солнца. Эффект Эйлера ведет к появлению в потенциале притяжения Солнца и Меркурия гармоники первой степени, убывающей пропорционально расстоянию от Солнца в третьей степени. Влияние же членов, принятых во внимание при таких расчетах, убывает пропорционально этому расстоянию в пятой степени (подробнее [Юркина 1997]). П. Гербер [Gerber 1898] объяснил наблюдаемое движение перигелия Меркурия, допустив, что потенциал притяжения распространяется со скоростью света. Конечная скорость распространения может объяснить и выводимое из радиоинтерферометрических данных по эволюции орбит двойных пульсаров представление о гравитационных волнах [Постное 1998]. Веселов [1998] связывает особенность движения Меркурия с гипотезой об увеличении массы планет. Троицкий [1995] отрицает гипотезу о расширении Вселенной, Стрельцов [1997] утверждает независимость распространения света от гравитационного поля, Окороков [1998] отмечает противоречия в подтверждениях некоторых выводов ОТО, Цицин [1994] полагает, что необходимо вернуться к концепции неопределенно большого (бесконечного) возраста Вселенной.

В.Я. Бровар [1996], в посмертно опубликованной книге критикует эту теорию совсем с другой точки зрения. Общепризнанное представление об одновременности состоит в том, что все сосуществующее считается и одновременным. Так считали все — Ньютон, Кант и даже сам Эйнштейн. Однако Эйнштейн первым установил, что две движущиеся инерциальные системы разновременны, хотя и сосуществуют. Из этого факта следовало бы заключить, что сосуществование не имеет отношения к одновременности, но Эйнштейн такого заключения не сделал, предпочитая парадокс: движущиеся инерциальные системы «одновременны», но у них разное время. Без парадоксов следовало бы сказать следующее: движущиеся инерциальные системы сосуществуют, но у них разное время.

Отличия общей теории относительности от механики Ньютона проявляются в движениях с большими скоростями и энергиями, но теперь при все возрастающей точности измерений релятивистские поправки становятся заметными. В Международном астрономическом союзе и Международном геодезическом и геофизическом союзе установился взгляд на общую теорию относительности как на теорию, отражающую реальность, в наблюдения принято вводить релятивистские поправки. С.М. Копейкин [Kopeikin 1991] рассмотрел релятивистские поправки силы тяжести и ее градиентов, а также релятивистские определения геоида. Релятивистские эффекты в геодезии Г. Мориц описал в статье [1993] и в книге [Moritz, Hofmann- Wellenhof 1993]. Опытную проверку общей теории относительности и других теорий гравитации [Логунов 2006] необходимо продолжать. В методологии научного познания все большее распространение находит системный подход, в основе которого лежит выявление связей в рассматриваемом объекте; их изучение и установление их взаимодействий, а в итоге — рассмотрение изучаемых объектов как взаимодействующих систем. Наиболее ярко необходимость системного подхода проявляется в биологии. Исследуя эволюцию животных и растений, необходимо иметь в виду их вес. В «Беседах... », работе 1638 г., Галилей писал (публикация [1934, с. 52-53]): природа не могла бы создать лошадь величиной в двадцать лошадей, или гиганта, в десять раз превышающего обычный человеческий рост, иначе как чудом, или изменив в достаточной мере пропорцию членов, в особенности костей, весьма и весьма усилив их по сравнению с пропорциями обычного скелета. Целесообразность размеров человека в связи с силой тяжести на Земле обсуждал К.Э. Циолковский (1857-1935) в работе, начатой в 1882 г., датированной 1920 г. и опубликованной в 1964 г. В этой работе, в частности, есть раздел: «Уклонение от внутреннего подобия при изменении размеров».

При движении животного все его массы приходят в закономерное движение, все части взаимодействуют одна с другой и подчинены общей цели — движению. Другими словами — массы тела образуют систему, сформировавшуюся в поле силы тяжести и позволяющую животному двигаться. Но животному приходится решать и множество других задач (осязать, слышать, обонять и ориентироваться в пространстве, переваривать пищу и др.), и для каждой из них в организме находится специализированная система взаимодействующих частей. Животное имеет множество взаимодействующих систем, и в совокупности они образуют единую систему систем — организм.

Реально существующую систему центров масс четвероногого обнаружил в 1940 г. В.Я.Бровар. Метод описан в его работе, опубликованной посмертно [Бровар 1960). На замороженном трупе определяется центр тяжести, через него делается распил, перпендикулярный позвоночнику (в естественной позе плоскость распила вертикальна). Центры тяжести частей определяются также. Процесс повторяется, и найденная система частных центров масс представляет собой последовательно сменяющие одна другую эквивалентные системы из возрастающего числа слагаемых. При разных типах движения реально проявляется та или иная, в частности, при рыси или галопе. При семи распилах скелет оказался разделенным на шесть анатомически естественных частей: череп, шею, грудь, поясницу, крестец и хвост. Распилы прошли через точки опоры передней конечности и задней. Только первый распил оказался не связанным со скелетом. Использованная система объективна: анатомические границы частей оказались связанными со строением животного. Несложные механические соображения показывают, что расположение частных центров масс в суставах минимизирует работу, затрачиваемую четвероногим при движении. Устойчивость животного достигается смещением центров масс вниз. Можно предположить и другие механические аргументы в пользу выявленной системы. Можно допустить, что в общих случаях она оптимальна.

Земля естественно сформировалась, эволюционирует и деформируется внешними и внутренними силами. Строение планеты должно допускать вынужденные и свободные колебания без чрезмерных напряжений. У Земли могут быть аналоги суставов, сочленений, узлов. Используя стандартную сферическую модель распределения плотности в Земле, первый «разрез» нужно провести через ее центр, по экватору, а затем искать центры масс полушария и его частей. Три разреза близко подошли к внешним границам зон ядра, по Буллену, два центра оказались на границе внутреннего и внешнего ядра. Наибольшая точность достигнута на внешней границе ядра, известной наиболее точно, и обнаружилось согласие с выводом Дж. Роуза (G.R. Rouse) о существовании плоскостей, в 19 пересечениях которых — по кругам Роуза — находятся зоны наибольшей сейсмической или вулканической активности — зоны Беньофа. Если через сейсмически активную область провести плоскость, то диаметрально противоположная область сечения (круга Роуза) также будет сейсмически активна. Только 10% зон сейсмической активности не попадает под эту закономерность. По кругам Роуза расположены горные хребты и островные дуги. Расположение плоскостей «разрывов» Земли на очагах глубоких землетрясений или горных хребтов показывает существование здесь наибольших деформаций в настоящем (сейсмическая активность) и прошлом (основные дуги и горные хребты). По пересечениям плоскостей устанавливается геометрическая форма поверхности земного ядра, которая коррелирует с фигурой геоида [Bisque, Rouse 1968; Роуз 1969]. В оглавлении рефератов популярного журнала «Science news» сказано: «Плоскости через земной шар выдвигают теорию наук о Земле» (подробнее см. «Круги» Дж. Роуза [1969]).

Разработке роли вращательных движений в формировании Земли посвящен сборник статей «Ротационные процессы в геологии и физике» 2007 г. Рассмотрев вихревые аспекты геодинамики, В.В.Низовцев и В.А. Кривицкий в этом сборнике предлагают альтернативу тектонике плит. Излагая историю вопроса о формировании Земли, Л.И.Иогансон отметила работы Е.В.Быханова (1877 г.),

М.В.Стоваса (1967 г.) и Б.Л. Личкова (1965 г.) и многих других о роли изменений во вращении Земли на ее развитие и появление при этом критических параллелей и меридианов.

Разрабатывать теорию изучения систем начали сравнительно недавно, хотя философия (Лейбниц, Гегель) давно указывала на необходимость такого подхода. Общий метод системных исследований пока что не разработан. Ясно, что необходимо четко поставить цель исследования и найти объективный метод выявления элементов той системы, которая соответствует поставленной цели. При этом целое следует рассматривать как исходное данное. Элементы системы должны реально существовать, следует искать наименьшее число взаимодействующих элементов. Свойства целого определяются не столько свойствами частей, сколько их отношениями, их организацией, их системностью. Если методология Декарта имеет дело с «организованной простотой», в случайных процессах возникает — «неорганизованная сложность», то в системных исследованиях «организованная сложность».

Идейная основа системных исследований выражена Аристотелем в афоризме: «целое больше суммы его частей». Этим утверждается, что в целом проявляются такие свойства, которых нет в частях. Идею о системных исследованиях иногда приписывают Л. фон Берталанфи [1973; Bertalanffy 1969], датируя ее 1937 г. Против такой точки зрения решительно высказался Блауберг [1973] в своем историческом обзоре. Отметив, что стремление к целостности исследования можно проследить вплоть до античности, Блауберг указывает на исследования кристаллографа Е.С. Федорова, врача и физиолога Н.А. Белова, опубликованные в 1911 г., и логика и математика Гр. Грузинцева (1928 г.) как выполненные в соответствии с принципами системного подхода. В 1906 г. Е.С. Федоров опубликовал идеи об универсальных научных принципах и свое учение, названное им перфекционизмом, об общих законах совершенствования в природе. Работа была написана в 70-х годах XIX в. В 80-х годах Е.С. Федоров опубликовал работу [1885], в которой развито геометрическое обоснование кристаллографии, эту работу он также долго не мог опубликовать, поскольку П.Л. Чебышеву казался странным аспект исследования, а кристаллографы не понимали, для чего оно нужно.

В нашей стране издавались ежегодники «Системные исследования». Один из них, изданный в 1997 г., посвящен методологическим проблемам.

В геодезии системный подход еще не нашел ясно выраженного применения. Примером системного подхода в геофизике может служить исследование Э.Л. Шэна 1 (также [Шэн 1977а, б, 1980]). Использовав теорию оптимальных процессов, Шэн описал изменение структуры сферически симметричной планеты при ее эволюции с сохранением массы и моментов инерции до достижения устойчивого состо-

хШэн — в работах на украинском языке фамилия автора пишется Шен яния, которое возникает при минимуме гравитационной потенциальной энергии, отметил, в частности, возникновение верхней мантии, пришел к выводу о существовании ядра.

Следующий шаг в использовании системного подхода к изучению строения планет сделал Б.В. Васильев [1998], описав эффекты, связанные с электрической поляризацией, индуцированной тяготением в электронно-ядерной плазме. Минимизировав полную энергию планеты при заданных массе, радиусе, плотности на поверхности, Васильев пришел к выводу, что разделение массы на ядро и мантию происходит при скачке давления.

Примером отсутствия системного подхода в геодезии и геодинамике может служить пренебрежение изменением гравитационного поля при изучении вертикальных движений земной коры геометрическим нивелированием, хотя на картах таких движений отдельные участки могут быть объяснены именно изменением поля и, следовательно, будут искажены выводы о движениях при их пересечении. Изменения гравитационного поля могут быть вызваны, например, изменением влагонасыщенности грунта (подробнее [Серкеров 1999; Серебрякова, Юркина 1998]). Если анализировать только результаты повторного геометрического нивелирования, то будут получены изменения той величены, которую определяет этот вид геодезических работ, — геопотенциала. Его изменение характеризуют изменения в течениях воды — очень полезные сведения, но все-таки не вертикальные движения земной коры. Теории Стокса и Молоденского основаны на краевых задачах математической физики. Однако эти задачи разные и связанные с ними методы обработки измерений и решений настолько различаются, что переход на практике от первой теории ко второй потребовал изменения концепции геодезии. Если следовать Куну [1977], то можно считать, что названные теории соответствуют разным парадигмам — разным моделям постановки проблем и их решениям, разным правилам и стандартам научной практики.

Все же многие факты развития теории фигуры, гравитационного поля Земли и астрономии не согласуются со взглядами Куна на научные революции — смены профессиональных предписаний, разрушение традиций. Суждение таких корифеев, как Ньютон и Вернадский, противоречат взглядам Куна. Известные слова Ньютона в письме Гуку 1676 г.: «Если я видел дальше, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов» — указывают на преемственность в развитии, а не только на опровержение полученных ранее результатов. Вернадский отмечал, что, как правило, последующие достижения включают в себя предыдущие. Это непосредственно иллюстрируют теории Молоденского и Стокса, первая включает вторую как нулевое приближение.

Если радикальные изменения в подходах к решению задач и происходят, то их роль меньше, чем это следует из теории Куна. Действительно, если Коперник и совершил революцию в астрономии, то последующее развитие: вклады Галилея, Ньютона, Эйлера, Лагранжа... были последовательным эволюционным развитием, а разве их роль не велика? Популярности концепции Куна способствовала, по-видимому, мода XX в. на революции и перевороты.

В своей книге Кун много внимания уделил трудностям перехода от одной парадигмы к другой, отметил, в частности, стремление подавить инакомыслие (с. 44), обратил внимание на мнение Макса Планка, высказанное в его научной автобиографии: истина прокладывает себе дорогу не убеждениями оппонентов, но скорее потому, что оппоненты умирают и заменяются новым поколением (с. 199).

Как переворот в принятых методах решения задач теории фигуры Земли можно оценить введение краевых задач и отказ от расчетов притяжения эллипсоидов. Приближается еще один переворот в связи с широким развитием метода GPS: определение высоты над отсчетным эллипсоидом в каждом гравиметрическом пункте ведет к переходу от смешанных к чистым аномалиям силы тяжести. Тогда на суше и море краевые задачи будут сводиться к интегральным уравнениям одинакового типа.