<<
>>

Необходимые сведения о функционалах на гильбертовом пространстве

/> Характерной чертой классических задач ТМОГИ является ограниченность числа измеряемых (Х\,Х2и определяемых (Yi,Y2)...)Yn) элементов.
В самом деле, как бы ни велика была любая геодезическая сеть, число п измеряемых и число га определяемых элементов в ней конечно. Это означает, что для теории и практики уравнительных вычислений достаточно теории конечномерных евклидовых пространств, поскольку объектами уравнительных вычислений являются конечномерные векторы. Совсем другая ситуация в задачах физической геодезии. Там основными объектами изучения являются функции — характеристики гравитационного поля Земли. Эти функции определены на некотором множестве D (в каждом конкретном случае множество D различно: оно может быть отрезком числовой оси, частью поверхности или пространства). Обозначим V(D) множество функций, определенных на множестве D. Пусть среди элементов V(D) есть и функция /, которая нас интересует. Важно отметить, что / не входит ни в одно из конечномерных пространств Rк. Это обстоятельство подчеркивает различие задач геодезии геометрической и физической и выявляет потребность в векторном пространстве бесконечного числа измерений. Мы будем полагать в дальнейшем, что множество V(D) является гильбертовым пространством, например L,2(D), представляющим собой пополнение бесконечномерного евклидова пространства C2{D) всевозможных непрерывных функций со скалярным произведением

(4.2.1)

Необходимые подробности о гильбертовых пространствах можно найти, например, в учебном пособии [Треногий 2002].

Однако пространство L,2(D) слишком широкое. В L2(D) входят, в частности, функции, терпящие разрыв даже в каждой точке. Между тем, часто априорно известна некоторая информация о гладкости интересующей нас функции.

Например, известно, что сама функция и ее производные до порядка q включительно непрерывны. Эту информацию полезно использовать при выборе гильбертова пространства, которому может принадлежать исследуемая функция. Рассмотрим множество функций, непрерывных в замкнутой области D вместе со всеми производными до порядка q включительно, причем и сами функции, и их производные до порядка q включительно интегрируемы в D с квадратом. Обозначим это множество Cq(D). Ясно, что Cq(D) С V(D). Мало того, C9(D) С L,2{D). Превратим Cq(D) в евклидово пространство C%[D), определив в Cq{D) операцию скалярного произведения по формуле:

множестве D. В дальнейшем гильбертово пространство, если нет необходимости конкретизировать, будем обозначать буквой Я. Для операции скалярного произведения в Я сохранимобозначение Любой элементможет быть определен с помощью базисных функций

Для геодезических приложений наибольший интерес представляет понятие линейных функционалов на Я. Поэтому мы приведем здесь соответствующие справочные сведения.

Определение 4.2.1. Правило L, согласно которому каждому элементу              поставлено в соот

ветствие одно и только одно число Lf, называется функционалом, определеннымна Я.

Пусть, например,— множество непрерывных нафункций. Функционалами, определенными нав частности, являются: определенный интеграл L, где L(f) = J*nf(x)dx ;

правила а* и 6, вычисления коэффициентов Фурье по тригонометрической системе:

Функционал называется линейным, если для любых Д и /2 из Я и любых действительных чисел ai и сх2 справедливо равенство:

Пример 4.2.1.

Зафиксируем произвольный элемент Ф(Д) е Я. Линейный функционал на Я можно определить так:

(4.2.4)

Определение 4.2.2. Функционал L, определенный на Я, называется ограниченным, если при любом элементе / е Я имеет место неравенство:

(4.2.5)

Определение 4.2.3. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству (4.2.5), называется нормой ограниченного функционала и обозначается ||L||. Таким образом,

(4.2.6)

причем ||L|| нельзя заменить меньшим числом.

Докажем ограниченность функционала (4.2.4). Согласно известному неравенству Буняковского—Коши,

(4.2.7)

Неравенство (4.2.7) справедливо при любомЕсли, то (4.2.7) обращается в равенство.

Значит,

Ниже нам понадобится свойство непрерывности линейных ограниченных функционалов. Определение 4.2.4. Функционал L, определенный на Я, называется непрерывным, если из условия /„ —¦ / следует сходимость последовательностик числу Lf.

Теорема 4.2.1. Всякий линейный ограниченный на Я функционал L непрерывен. Доказательство. Так как L — линейный функционал, то согласно (4.2.3) имеет место равенство:

Из последнего равенства и ограниченности L вытекает, согласно (4.2.6), неравенство:

По условию теоремыприпоэтому              приТеорема

доказана.

Из нее, в частности, следует, что функционал (4.2.4) является непрерывным на Я.

Наша ближайшая цель — изучить множество линейных ограниченных функционалов, определенных на Я. Будем обозначать это множество Я*.

Теорема 4.2.2. Н* — векторное пространство.

Доказательство. Пусть Li и L2 — любые элементы из Я* и оц, 0С2 — произвольные действительные числа. Определим операцию равенства элементов в Я*. Будем говорить, что L\ = L2. если при любом / 6 Я имеет место равенство:

(4.2.9)

Операции сложения элементов из Я* и умножения их на действительные числа определим так:

г

(4.2.10)

Покажем, что операции сложения и умножения на число определены корректно, то есть что L = [г              Имеем:

Это означает линейность и ограниченность функционала L, то есть. Нулем в пространстве

Я назовем такой функционал 0*, значение которого на любом элементеГ равно нулю:

Проверку аксиом векторного пространства мы предоставляем читателю. Теорема доказана.

Следующая замечательная теорема, принадлежащая Ф. Риссу, полностью характеризует пространство Я*.

Теорема 4.2.3. Пространство Я* является гильбертовым пространством, изометрично изоморфным пространству Я. Это значит, что для всякого линейного ограниченного функционала существует единственный элементтакой, что присправедливо равенство:

(4.2.11)

причем

(4.2.12)

Мы не приводим здесь доказательство теоремы Рисса, но обращаем внимание на то, что эта теорема играет важнейшую роль в дальнейших рассуждениях.

Смысл ее состоит в том, что значение любого линейного ограниченного функционала L на каждом элементе _можно представить в виде скалярного произведения этого элемента / и некоторого другого элемента _, зависящего от L

и играющего роль определенного представителя L. Ниже будет указан элегантный способ вычисления элемента Ф^,, что приводит к универсальному способу вычисления значений любого линейного функционала L.

Формула (4.2.12) также очень важна для геодезических приложений, поскольку определяет смысл точностных расчетов.

Определение 4.2.5. Гильбертово пространство Я* называется сопряженным данному гильбертову пространству Я. Элемент Фд е Я, однозначно определяющий линейный ограниченный функционал L € Я*, называется элементом, сопряженным данному функционалу L, или представителем функционала L.

В гильбертовом пространстве Н*, элементами которого являются линейные ограниченные функционалы. заданные на Я, определена операция скалярного произведения (Li,i/2)* для каждой пары V Действительно, в силу вытекающего из теоремы Ф. Рисса изометричного изоморфизма между Я и Я*, скалярное произведение в Я* можно вычислить следующим образом:

(4.2.13)

Здесь— элементы из Я, сопряженные функционалал

В результате для пространства Я* справедливы все понятия гильбертовых пространств. В частности, символоммы будем обозначать пространство, натянутое на линейно

независимые функционалы

Заметим, что теорема 4.2.3 остается справедливой и для любых конечномерных евклидовых пространств в силу полноты последних.

Завершим этот раздел важным для приложений примером простейшего линейного функционала.

Определение 4.2.6. Пусть Я — гильбертово пространство функций, определенных в какой-нибудь области Я, а В е D — какая-нибудь точка области. Дельта-функционалом называется функционал 6в, значение которого 6в/ на любой функции / G Я равно значению этой функции в точке В:

(4.2.14)

Отметим, что, строго говоря, дельта-функционал определен не на всяком гильбертовом пространстве. Например, функции, заполняющие ?2(0), могут быть не определены на множествах нулевой меры. Однако это не имеет значения для геодезических приложений.

<< | >>
Источник: Бровар B.В.. ГРАВИМЕТРИЯ И ГЕОДЕЗИЯ. 2010

Еще по теме Необходимые сведения о функционалах на гильбертовом пространстве:

  1. Необходимые сведения о функционалах на гильбертовом пространстве