4.3 Примеры геодезических функционалов

В самом деле, пусть У — истинное значение какой-либо величины, являющейся объектом измерений в геодезии геометрической, физической, космической или геодезической астрономии — неважно.

Это значение всегда зависит от координат одной или нескольких точек, расположенных на земной поверхности или вне ее, и от потенциала W силы тяжести Земли. Таким образом,

(4.3.1)

Здесь- вектор-столбец п параметров, состоящий, например, из координат точек, от кото

рых зависит У, или содержащий какие-либо неизвестные числа, скажем, смещение системы координат или параметры ее ориентировки; Еп — n-мерное евклидово пространство; W € G, где G — некоторое заранее оговоренное гильбертово пространство; F — функционал, в общем случае нелинейный, отображающий произведение[I] пространств Еп х G в множество действительных чисел Pi, т.

(4.3.2)

Другими словами, F — это некоторое правило, согласно которому каждой паре элементов, один из которых берется из Еп, а другой — из G, можно поставить в соответствие одно действительное число.

Рассмотрим некоторые примеры указанного подхода, описанные в работе [Мориц 1983). Не будем только пока конкретизировать то гильбертово пространство G, одним из элементов которого является потенциал W. Дело в том, что главной частью W является известный нормальный потенциал С/, а неизвестен лишь возмущающий потенциал Т = W — U. Поэтому практический интерес — это мы увидим в конце раздела — представляют те гильбертовы пространства Я, которые содержат Т.

Пример 4.3.1. Одним из основных объектов измерений физической геодезии является величина д силы тяжести, представляющая, по определению, следующий оператор от потенциала:

(4.3.3)

Здесь WXi Wy, Wz — частные производные W по я, у, z соответственно. Измеряемое значение величины силы тяжести в заданной точке Р есть значение соответствующего дельта-функционала 6р от д:

(4.3.4)

Таким образом, У зависит от трех координат точки Р и функции W, что согласуется с представлением (4.3.1).

Пример 4.3.2. Одним из основных объектов измерений геодезической астрономии являются астрономические широты ср и астрономические долготы Л, которые можно связать с потенциалом W следующим образом:

(4.3.5)

Измеряемые значения астрономических широты и долготы в заданной точке Р есть значение соответствующего дельта-функционала

(4.3.6)

Таким образом, У зависит от трех координат точки Р и функции W, что согласуется с представлением (4.3.1).

Пример 4.3.3. Одними из основных объектов измерений геометрической геодезии являются длины линий s и величиныгоризонтальных углов р. Пусть Pogt;Pi,P2 — три фиксированные точки земной поверхности;— разности координат точек Pi и Ро;— то же для точек

Рг и Р0. Тогда, как известно,

(4.3.7)

а величина угла есть разность астрономических азимутов:

(4.3.9)

Расстояние з — единственный объект геодезических измерений, не связанный с гравитационным полем. Однако зависимость s = F(X) естественно рассматривать как частный случай зависимости (4.3.1).

Пример 4.3.4. Одним из основных источников информации в космической геодезии являются допплеровские наблюдения спутников, позволяющие определить величину скорости 6! изменения дальности d от фиксированной точки Ро на земной поверхности до спутника. Дальность выражается формулой, аналогичной (4.3.7), но только теперь точкой Pi служит спутник, положение которого обычно характеризуется шестью элементами кеплеровой орбиты РъР2,и коэффициентами Фурье СтП разложения ньютоновского геопотенциала V по сферическим функциям. Эти коэффициенты представляют собой линейные функционалы на V типа:

(4.3.10)

Здесь а — единичная сфера; Snm(P) “ сферическая функция степени п и порядка т\ апт — некоторая константа, зависящая от п и т; интеграл — поверхностный 1-го рода. Таким образом,

(4.3.11)

где, а V отличается от W только отсутствием слагаемого за счет

центробежной силы вращения Земли.

Приведенные примеры показывают, что научиться обрабатывать разнородные геодезические измерения — это значит научиться обрабатывать функционалы. Поэтому дальнейшее изложение полностью посвящено соответствующим постановкам задач и возможным методам их решения.

Исходными данными в традиционных методах уравнивания служат результаты измерений некоторых (в общем случае нелинейных) функций конечного числа искомых параметров. Задача состоит в оптимальном определении этих параметров, составляющих конечномерный вектор, либо в оптимальном вычислении значений каких-либо новых (не измеренных) функций этих параметров. Практически приемлемые алгоритмы удается получить лишь после линеаризации зависимостей измеряемых и используемых величин.

Теперь результаты измерений мы будем рассматривать как измеренные значения некоторых нелинейных функционалов типа (4.3.1), и задача состоит в оптимальном определении параметров, включая восстановление бесконечномерного вектора — непрерывной функции W, либо в оптимальном вычислении каких-либо новых (не измеренных) функционалов на W. При этом практически приемлемые алгоритмы опять-таки удается получить лишь для линейных функционалов.

Основная идея линеаризации геодезических функционалов состоит в следующем.

Пусть Хо — n-мерный вектор-столбец приближенных значений искомых параметров, a U — нормальный геопотенциал, так что

(4.3.12)

где АХ — п-мерный вектор-столбец поправок к Хо, а Т — возмущающий потенциал, являющийся элементом некоторого заранее оговоренного гильбертова пространства гармонических функций Я. Тогда дифференциал dF функционала (4.3.1) в окрестности точкиимеет вид:

(4.3.13)

Здесь— координаты векторов— линейный ограниченный функционал              ; нижний индекс 0 у частных производных напоминает о том, что значения частных

производных вычислены в точке Хо,17.

(4.3.14)

заменяем дифференциалом (4.3.13) и получаем нужную линеаризацию

(4.3.15)

где введено обозначение

(4.3.16)

Измерение У дает в результате число у, позволяющее в соответствии с (4.3.14) вычислить

(4.3.17)

и составить, таким образом, уравнение в соответствии с (4.3.15):

(4.3.18)

Неизвестными здесь являются п поправок Дх» и функция Т. Таких уравнений возникает столько, сколько проведено измерений.

Отметим, что каким бы большим ни было количество измерений, оно всегда конечно. Неизвестное же Т бесконечномерно. Поэтому добиться того, чтобы количество измерений превышало количество неизвестных — как это всегда бывает в традиционных задачах ТМОГИ — в рассматриваемой ситуации невозможно. Отсюда и невозможность ограничиться традиционным методом наименьших квадратов. Необходимо обобщение его на случай бесконечномерных пространств.

Пример 4.3.5. Рассмотрим линеаризацию астрономических и гравиметрических функционалов из примеров 3.1 и 3.2.

представляют собой, согласно (4.3.3) и (4.3.5), элементарные функции координат вектора gradW. Линеаризуя их в окрестности приближенных значений WXQ} WVo} WZo (WXo — значение Wx в точке с приближенными координатами хо,уо»^о). получим линейную зависимость дифференциалов dg,d(p и d\ от дифференциалов dWX} dWy, dWz. Далее в эту зависимость надо подставить найденные отдельно дифференциалы dWx%dWyydWz в окрестности приближенных координат хо,уоgt;*о точки Р и приближенных производных UXQ}UvoyUzo.

alt="" />

где Гио “ квадратная 3x3 матрица Гессе, (i,j) — позицию в которой занимает значение в точке яоgt;Уоgt;2о второй частной производной d2U/dxidxj (обозначено х = xi, г/ = х2, z = хз). Последнее

слагаемое — произведение членов первого порядка малости Дх» и элементов гессеана Т, и потому может быть отброшено. В результате

а)              ошибки измерении величин У пренебрегаемо малы, то есть у — У\

б)              приближенные значения Х0 параметров X настолько точны, что поправки АХ пренебрегаемо малы.

В указанных условиях уравнение (4.3.18), согласно (4.3.15)—(4.3.17), имеет вид:

(4.3.29)

где число I = Ду и подсчитывается по формуле (4.3.17). Именно информация типа (4.3.29) представляет новизну с точки зрения классической ТМОГИ.

В дальнейшем ограничения а) и б) будут сняты.

Доказать, что зенитное расстояние Z точки Р\, измеренное в точке Ро, можно следующим образом представить в виде (4.3.1):