<<
>>

Теория Пицетти уроненного эллипсоида

Сравнительная простота теории Молоденского достигнута выделением линейного приближения. Это можно сделать благодаря близости Земли к ее простой модели — сжатому эллипсоиду вращения — сфероиду, уровенному для потенциала силы тяжести.

Модель Земли создает отсчетное (нормальное) гравитационное поле. Как отсчетную можно было бы использовать другие земные модели, например

фигуру неоднородной жидкости, вращающуюся как твердое тело в равновесии, или нормальный сфероид Гельмерта, включающий гармонику четвертой степени реального земного поля. Но такие модели Земли сложнее упомянутого эллипсоида вращения, часто называемого сфероидом, и не имеют преимуществ перед ним. Решение геометрических задач геодезии отработано только для сфероида. Этот круг задач составляет сфероидическую геодезию.

В теории фигуры Земли как решении задачи математической физики на основе выполняемых на земной поверхности геодезических и гравиметрических наблюдений достаточна такая близость Земли и ее модели — отсчетного эллипсоида, чтобы нелинейными членами можно было пренебречь без потери точности. Наибольшая возможная близость необходима при решении иебесномеханической задачи об определении ориентировки Земли в пространстве. В последнем случае положение эллипсоида должно соответствовать положению реальной Земли: центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли, их оси вращения должны быть совмещены и угловые скорости вращения должны быть одинаковыми, массы Земли и эллипсоида должны быть равны.

Математическая модель Земли в виде эллипсоида вращения полностью определена четырьмя параметрами, устанавливаемыми по астрономическим и геодезическим данным. Согласно решению генеральной ассамблеи Международного геодезического и геофизического союза (МГГС) в Люцерне 1967 года за основные параметры были приняты: а — большая полуось, GM — произведение гравитационной постоянной на массу Земли, J2 — стоксов параметр — коэффициент при шаровой функции Лежандра второй степени в разложении земного потенциала, си — угловая скорость вращения Земли.

Численные величины этих параметров периодически, между ассамблеями МГГС, получали поправки. Впоследствии членами Специальной комиссии МГГС по фундаментальным постоянным были выдвинуты два дополнительных условия [BurSa 1995b, Бурша 1996]:

А.              Фундаментальные постоянные должны быть естественными физическими величинами, то есть они должны иметь физический смысл.

Б. Их определение должно быть единственным без предварительных условий.

Этим условиям в большей степени, чем стоксов параметр J2. удовлетворяет разность С - (А + В)/2 моментов инерции Земли, полярного и среднего из экваториальных. Для уровенного эллипсоида вращения эта величина определена формулой Пицетти [1913]:

тесно связан с разностью моментов инерции. Большую полуось а ранее связывали с эллипсоидом, равным по объему с геоидом. Однако геоид как уровенная поверхность, по определению Гаусса и Листинга совпадающая со средним уровнем океана, все в большей степени не соответствует современному стремлению к точности и определенности получаемых решений, так как на материках проходит внутри их массы, а отличия в уровнях морей и океанов затрудняет их связь с геоидом. Это последнее затруднение преодолено в работах [Burfa et al. 2002]: по альтиметрическим данным они получили для среднего геопотенциала на поверхности Мирового океана W0 = (62 636 856,0 ± О,5) м2с-2.

В.В. Бровар [1995] предложил определять параметры земного эллипсоида из условия минимума аномального поля Земли. Это условие Бровар выразил формулой

где Т = W - U, W — потенциал силы тяжести реальной Земли, U — то же отсчетного эллипсоида, S — поверхность Земли.

Приближенно можно представить

alt="" />

Пренебрегая влиянием земного сжатия и углами наклонов земной поверхности, условие (1.6.3) в стоксовом приближении можно привести к виду

(1.6.4)

где Да — поправка в большую полуось отсчетного эллипсоида, — среднее из высот квазигеоида по всей Земле, Wo — потенциал в начале счета высот, то есть эта величина может быть отличной от среднего геопотенциала на поверхности мирового океана, Щ — потенциал нормальной силы тяжести у на поверхности отсчетного эллипсоида.

Полагая основными параметрами GMyay J2 и ш, для определения вторичных без потери точности можно использовать формулу Морица [Heiskanen, Moritz 1967]

(1.6.5)

Пицетти [1894] первым предложил использовать эллипсоид вращения как отсчетную поверхность, а поле такого эллипсоида — как отсчетное в геодезических задачах, связанных с земным гравитационным полем. Теории уровенного эллипсоида вращения посвящена книга [Пицетти 1913] и несколько его более ранних статей. Пицетти решил первую краевую задачу (задачу Дирихле) для эллипсоида вращения, выразив это решение замкнутой формулой. Первая краевая задача может иметь только одно решение. Если получено несколько решений, они должны быть идентичными. Пользуясь иной, чем Пицетти, системой координат, [Молоденский 19456] построил иное решение задачи Дирихле для эллипсоида вращения. Схожее решение получил также Ламберт [Lambert 1961]. Поскольку во многих задачах геометрические данные неотделимы от физических, теория Пицетти играет выдающуюся роль в истории геодезии.

Далее мы сравним решения Пицетти и Молоденского. Но сначала следует напомнить не отраженную в геодезической литературе теорию Ламе криволинейных координатных систем [Ьатё 1837, 1838], описавшего эллипсоидальную ортогональную систему общего вида с координатными поверхностями второго порядка: софокусными трехосными эллипсоидом, однополостным и двухполостным гиперболоидами.

Ламе выразил условие ортогональности координатных линий и поверхностей, определение линейного смещения по приращениям криволинейных координат (были введены коэффициенты, получившие имя Ламе). В этих статьях эллипсоиды вращения кратко упомянуты. Им специально посвящена статья Ламе [Ьатё 1839], в которой описана координатная система для эллипсоида вращения общего вида:

(1.6.6)

варьируя определения функций / и /ь можно изменять систему координат и искать наиболее простое решение поставленной задачи.

Например, приняв

(1.6.7)

где координата и дополняет приведенную широту t до 90°, v — долгота, координата w соответствует счету высот. Эта система координат по всей вероятности впервые введена в статье [Niven 1880] о распространении теплоты в эллипсоиде вращения.

Предыстория криволинейных эллипсоидальных координат связана со статьей Гаусса [Gauss 1825] о конформном отображении некоторой заданной поверхности. Рассматривая эллипсоид вращения, Гаусс приводит формулы, связывающие декартовы координаты точек на поверхности эллипсоида с его полуосями а, 6, долготой v и приведенной широтой t:

(1.6.8)

Ha пространство вне эллипсоида эти формулы не распространяются.



или в более удобной форме

Подробности можно найти в работах [Pick et al. 1973; Pick 1978, 1990; Пик, Юркина 2004].

Системы сфероидальных координат удобны в теории фигуры Земли не только тем, что в них получены точные замкнутые выражения потенциала притяжения эллипсоида для точек вне эллипсоида и на его поверхности, но также сравнительной простотой представления величины, обратной расстоянию между такими точками, и разложений по сфероидальным функциям. Принцип последних разработан Ф.Э. Нойманом [Neumann 1848] на основе сферических функций второго рода через десять лет после его же способа разложения по сферическим функциям на основе выборки значений функции в определенных точках сферы [Neumann 1838], что ведет к определению каждого коэффициента независимо от других коэффициентов.

Некоторые полезные дополнения можно найти в работах (Thong, Grafarend 1989 г.; Ardalan, Grafarend 2001 г.) и других публикациях Графаренда, но авторы не согласны с его историческими комментариями. 

<< | >>
Источник: Бровар B.В.. ГРАВИМЕТРИЯ И ГЕОДЕЗИЯ. 2010

Еще по теме Теория Пицетти уроненного эллипсоида:

  1. Теория Пицетти уроненного эллипсоида