<<
>>

Зависимость между возмущающим потенциалом и силой тяжести. Краевое условие

Продифференцировав выражение (3.1.1) возмущающего потенциала по направлению касательной к координатной линии wt можно найти

alt="" />

(3.2.1)

Для вывода краевого условия нужно член с разностью Aw умножить на коэффициент hw(uo,wo)t поделить его на эту же величину и, подставив вместо образовавшегося произведения — высоты квазигеоида — выражение этой высоты через возмущающий потенциал, найти



где р — радиус-вектор, 0 — полярное расстояние в сферической системе координат.

Приближенное равенство (3.2.13) имеет погрешность в ~1 мГал даже в аномальных районах. Эта погрешность в основном вызвана вторым членом последней части (3.2.13). Ошибка достигает наибольшей величины вблизи широты 45° и убывает к экватору и полюсам.

Как следует из (3.2.12) и предыдущих оценок, относительная точность замены

(3.2.14)

имеет порядок земного сжатия, а в искажение краевого условия будет не больше 0,1 мГал.

Таким образом, в сферической системе координат имеем

(3.2.15)

К функции Т в левой части краевого условия (3.2.9) нельзя добавить какую-либо гармоническую функцию, которая обратила бы в нуль правую часть этого условия. Таким образом, решение задачи Молоденского единственно. Упрощенное краевое условие (3.2.15) допускает добавление к возмущающему потенциалу Т любой сферической функции первой степени. Однако такую трактовку едва ли можно оценить как корректную. Если вывод краевого условия с самого начала выполнять в сферической системе координат, то величины правой части значительно превзошли бы обычно получаемые аномалии силы тяжести. В частности, если параметры отсчетного поля позволили бы сохранить порядок аномалий силы тяжести вблизи широты 45°, то их отличия вблизи полюсов и экватораот обычно

получаемых величин могли бы достичь «2500 мГал. Оценка (3.2.2) отличия производнойот силы

тяжести у широты 45° привела бы к «6 мГал. Возмущающий потенциал Т нужно определить по измерениям силы тяжести д на земной поверхности. Эту задачу можно решить хорошо разработанными способами, поскольку возмущающий потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа и краевому условию (3.2.9), а также регулярен на бесконечности

Возникает задача, к настоящему времени хорошо разработанная в теории линейных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа — краевая задача с косой, или наклонной производной, см. например, [Михлин 1962]. Иногда эту задачу называют именем Пуанкаре [Бицадзе 1982, Мазьл 1988, Янушаускас 1985]).

Стремясь к большей общности выводов, в краевом условии сохранено неравенство Wo Ф Uo (в работах Молоденского в аналогичных случаях принято Wo = Uo).

Впервые на необходимость такого уточнения вывода формулы Стокса обратил внимание Минео [Mineo 1933] при анализе вывода этой формулы, выполненного Пуанкаре с учетом земного сжатия. Вывод формулы Стокса при Wo Ф Щ выполнил В.В. Бровар [1958], сохраняя это неравенство, он изложил теорию Молоденского в учебнике [Бровар и др. 1961]. Демьянов и Майоров [2004] обосновали целесообразность подхода Молоденского при предварительном объединении нивелирных сетей. Теперь это стало возможным благодаря космическим методам. Измеренную силу тяжести g в свободном члене краевого условия всегда будем считать отнесенной к земной поверхности [Еремеев, Юркина 1969].

Это замечание сделано потому, что во многих публикациях ее относят к Земле, построенной в первом приближении по нормальным высотам — теллуроиду. Однако, при этом возникают в принципе те же трудности, что при регуляризации Земли, и затруднены последующие уточнения. Если же сила тяжести отнесена к земной поверхности, то при последовательных приближениях ее построение можно уточнять, имея в виду только ту структуру гравитационного поля, которая соответствует имеющейся гравиметрической съемке. Молоденский [19456] именно так трактовал вывод краевого условия. Если сила тяжести определена в пункте GPS-измерений, т. е. известна высота над отсчетным эллипсоидом с

центром, совмещеным с центром земной массы, тогда

Для использования морских измерений силы тяжести необходимы их плановые координаты и высоты над отсчетным эллипсоидом, т. е. данные GPS-измерений или в сочетании с альтиметрическими. Возникает уравнение того же типа, что (3.2.16), при более простом вычислении Г(и,щ). 

<< | >>
Источник: Бровар B.В.. ГРАВИМЕТРИЯ И ГЕОДЕЗИЯ. 2010

Еще по теме Зависимость между возмущающим потенциалом и силой тяжести. Краевое условие:

  1. Методологические аспекты изучения поля земной силы тяжести
  2. Зависимость между возмущающим потенциалом и силой тяжести. Краевое условие
  3. Интегральное уравнение для плотности простого слоя. Его разрешимость
  4. Интегральное уравнение относительно возмущающего потенциала