12.3. Методы  минимизации продолжительности  производственных испытаний

Проанализируем физические предпосылки минимизации производственных испытаний. Сокращение времени испытаний с помощью прогнозирования, а также использования форсированных режимов основано на следующем. Всякое изделие имеет конечный срок службы (ресурс), при приближении к которому работоспособность и свойства изделия ухудшаются. Ухудшение свойств определяется процессом старения,  происходящими в материалах и  узлах  изделий.

Старение материалов вызвано процессами самопроизвольного изменения во времени их физико-механических и химических свойств,

возникающего из-за термодинамической неравновесности исходного состояния. Процессы старения достаточно сложны. Их характер и интенсивность зависят как от внешних факторов (температуры, давления, механических воздействий, химической активности окружающей среды), так и от внутреннего состояния материала (наличия внутренних механических напряжений, примесей, способных ускорять или замедлять химические реакции, и т. д.). Поэтому процессы старения в условиях длительного хранения и эксплуатации протекают по-разному. Общей особенностью процессов старения является их направленность— изменение свойств происходит при переходе из метастабильного в более стабильное состояние. Процессы старения, несмотря на их сложность и многообразие, иногда удается описать с помощью общей физико-математической модели. Однако вопросы применимости такой модели могут решаться лишь при правильном понимании физики процессов в каждом конкретном случае.

Рассмотрим старение металлов и сплавов, наблюдаемое в таких металлических структурах, которые в результате какой-либо предшествующей обработки (например, неравновесного нагрева или охлаждения, закалки, наклепа) находятся в неустойчивом состоянии, связанном с появлением дефектов в кристаллической решетке либо с образованием несвойственной металлу или сплаву при данной температуре кристаллической структуры. Метастабильное состояние характеризуется в этом случае повышенным уровнем внутренней энергии. С течением времени металл стремится перейти в более стабильное состояние. Так, сплав, однофазный при высокой температуре, при более низкой температуре в результате диффузионных процессов распадается на две (или более) фазы в соответствии с диаграммой состояний.

В результате экспериментальных исследований было установлено, что в определенном температурном интервале интенсивность большинства процессов старения определяется диффузией. Температурная зависимость интенсивности таких процессов подчиняется закону Аррениуса

                                                                                (12.7)

где v — константа скорости процесса; v0 — размерная константа; Еа—энергия активации;   k = 1,38·10-23 Дж/К—  постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.

Таким образом, в пределах отдельных температурных интервалов каждый из протекающих процессов может быть описан как термоактивационный. Старение, обусловленное распадом пересыщенных твердых растворов, вызывает изменение механических и физических свойств: прочности, твердости, сопротивления и др.

Процессы старения диэлектриков связаны с изменением во времени их структуры и химического состава. Эти процессы могут быть сложными в отдельных деталях. Их многообразие не позволяет описать процессы старения в некоторой единой схеме.

При построении модели старения можно рассматривать два вида механизма старения:

1) под действием физических факторов (без химических изменений);

2) в результате химических изменений.

К первому виду можно отнести механизмы старения, в результате которых происходят изменения кристаллической решетки твердотельных диэлектриков под воздействием теплоты, а также электронной, ионной или нейтронной бомбардировки. К ним же относятся механизмы старения, связанные с диффузией атомов примесей из внешней среды, с изменением фазового состояния вещества, а также процессы перемещения отдельных молекул и т.д. В результате действия перечисленных механизмов старения диэлектрики изменяют свои свойства —диэлектрические проницаемость и потери, механические характеристики — твердость, прочность на разрыв и т. д. Для этих механизмов старения экспериментально установлена следующая зависимость свойств диэлектрика от времени. Если ввести некоторую обобщенную характеристику свойств диэлектрика у, определяющую зависимость от времени свойств, изменяющихся в процессе старения (диэлектрическая проницаемость, механическая и электрическая прочность, влагостойкость и т. д.), то можно записать следующее уравнение:

                                                                  (12.8)

где у0 начальное значение обобщенной характеристики; k неизвестный коэффициент; t— время. Таким образом, для любых процессов, происходящих при старении диэлектриков, зависимость логарифма обобщенной характеристики от времени линейна.

Ко второму виду механизмов старения диэлектриков относятся процессы, для которых справедливы законы кинетики химических реакций.

                                                                         (12.9)

где C1 ,С2, ... — концентрации реагирующих веществ; k — удельная скорость реакции (скорость, отнесенная к единице концентрации);

п1, п2, ...— величины, характеризующие порядок реакции. В случае, когда имеет место простая мономолекулярная реакция,   процесс описывается уравнением

                                                                                  (12.10)

Для константы k скорости реакции также справедливо уравнение Аррениуса.

Старение полупроводников и полупроводниковых приборов, как и диэлектриков, обусловлено физико-химическими процессами, для которых справедливы уравнения (12.7)— (12.10).

Характерной особенностью полупроводниковых материалов и приборов является высокая чувствительность поверхности полупроводников к физическим условиям и химической природе окружающей среды, а также к примесям, неоднородностям и дефектам структуры. Влияние состояния поверхности полупроводника на его свойства проявляется в основном в появлении поверхностной проводимости и поверхностной рекомбинации. Влияние примесей и дефектов структуры, появляющихся в полупроводнике вследствие воздействия внешних факторов и взаимодействия с окружающей средой, в ряде случаев может определять весь механизм старения. Рассматривая появление примесей и дефектов в рабочей области полупроводникового прибора как результат их диффузии из нерабочего объема или через поверхность, удается описать многие явления, характерные для процессов старения полупроводниковых материалов и приборов.

Хотя магнитные материалы представляют собой металл, металлический сплав либо полупроводниковый материал с магнитными свойствами (феррит), их следует рассматривать особо, так как магнетизм является специфическим состоянием вещества.

Несмотря   на   разнообразие,   отдельные   элементарные  процессы старения можно описать единой обобщенной математической моделью, применимой в определенных температурных интервалах практически ко всем   реальным   явлениям. Модель предназначена для описания динамики перехода, в результате  которого  исходная   термодинамически неравновесная система переходит в более стабильное состояние.  Основной величиной, изменяющейся во времени и характеризующей состояние системы, будем считать концентрацию специфических элементов, возникающих в процессе перехода С(t). Если рассматривают процесс возникновения дефектов в кристаллической решетке, то С(t)— концентрация дефектов в момент времени t. Для химических реакций оксидирования   С(t) — концентрация   молекул,   содержащих присоединившийся в процессе реакции кислород. Для полупроводникового прибора С(t) может, например, означать концентрацию проникших в объем  через поверхность атомов вредных примесей и т. д. Кроме того, необходимо учитывать равновесную концентрацию дефектов Ср. В процессе   перехода   концентрация   образовавшихся   элементов стремится к некоторому равновесному значению, зависящему от конкретных условий. Для каждого типа кристалла определенному значению температуры соответствует своя равновесная концентрация Ср. Если в исходном состоянии дефектов было  меньше, то их концентрация нарастает, стремясь к Ср. При приближении к Ср, скорость роста уменьшается   При этом скорость изменения мгновенного значения концентрации dC(t)/dt не остается постоянной. Она велика в начале процесса, когда разность Ср — С (t) значительна, и уменьшается при приближении С(t) к значению Ср.

                                                               (12.11)

где k      константа скорости  процесса;    р — порядок процесса   (для    химических   реакций — порядок   реакции).

Уравнение (12.11) описывает динамику обобщенного перехода системы в равновесное состояние. Для простых механизмов старения р= 1   При этом (12.11) можно записать так:

                                                                  (12.12)

В уравнении (12.12) необходимо учесть начальное условие—значение концентрации в момент начала процесса старения, т. е. при t = 0:

                                                                              (12.13)

Решение уравнения (12.12) при начальном условии (12.13) имеет вид

                                               (12.14)

Динамику процесса старения, описываемую уравнением (12.14), иллюстрирует рис. 12.3.

Рис. 12.3

Полученное соотношение можно использовать для установления связи между временем и некоторыми характеристиками материалов либо приборов, изменяющимися в процессе старения.

Прогнозирование состояния изделий. После рассмотрения характера некоторых процессов старения стало очевидным, что изменения параметров изделий во времени, отражающие количественно те или иные стороны процесса старения, можно  описать с помощью некоторого математического выражения или определенной модели. В общем случае процесс прогнозирования математически можно описать следующим образом:

                                                                         (12.15)

где W — оператор (модель) прогнозирования; ti   —время контроля параметра изделия у(t).

Подобная трактовка прогнозирования основана на том, что последующие состояния изделия в значительной степени определяются предыдущими состояниями. Анализ механизмов старения материалов и изделий, а также механизмов   отказов подтверждают это. Это и является основной предпосылкой для успешного прогнозирования изменения состояния изделий в период производственных испытаний.

Таким образом, прогнозирование тем точнее, чем точнее выявлен механизм изменения состояния изделия и чем точнее он описан оператором (моделью) прогнозирования   W. Операторы (модели) прогнозирования W могут быть различными, однако можно выделить два класса операторов, которые отражают два различных подхода к прогнозированию:

1) экстраполяция изменения состояния изделия до заданных значений процесса или заданного момента времени;

2) статистическая классификация состояния изделия в начальный момент времени по классам, характеризуемым различной степенью работоспособности на заданный момент времени в будущем или различной долговечностью.

Рассмотрим модели прогнозирования, используемые в обоих случаях для оптимизации производственных испытаний.

Экстраполяция       процесса      изменения     состояния     изделия     во   времени.    Количественно изменение состояния изделий характеризуется их техническими параметрами, которые  наиболее полно описывают изменение работоспособности изделия.

Поскольку оценку состояния изделия осуществляют количественно по значениям изменяющихся во времени параметров, в качестве модели прогнозирования берут математическую модель. Так как основным параметром при прогнозировании является время t, то математическую модель выражают как функцию времени W (t).

Модель прогнозирования может иметь различный вид. Это зависит прежде всего от вида (модели) процесса, а также от качества и количества поступающей   информации об изменении состояния изделия. Очевидно,  что модель процесса наиболее сильно влияет на модель прогнозирования. Основываясь  на  знании   механизмов  старения,   можно считать, что основной механизм старения будет определять необходимые изменения состояния изделия, которые характеризуют закономерность его старения. В то же время на процесс старения  влияет множество причин (в большинстве своем случайных), которые определяют случайные обратимые изменения состояния и параметров изделия (их можно рассматривать как шум или помеху).

Процесс изменения состояния изделия у (t) можно представить в виде

                                                                        (12.16)

где ?(t) — составляющая, характеризующая необратимые изменения; ?(t) —составляющая, определяющая обратимые изменения в изделии.

При этом процессом постепенного изменения состояния  изделий будет такой процесс, для которого выполняется соотношение

                              (12.17)

где — норма вектора; ?t gt; 0.

Можно определить класс моделей экстраполяции, которые позволяют описать изменение состояния изделий. Если реальный  процесс  характеризуется  отдельной  (индивидуальной) реализацией, т. е. одномерным временным рядом, то модель имеет общий  вид

                                                            (12.18)

где W[?(у), t] — одномерная функция времени, описывающая изменение необратимой составляющей и известная с точностью до коэффициентов — ошибка, связанная с колебаниями обратимой составляющей и погрешностью измерительных цепей.

Выбор модели (метода) прогнозирования процессов типа (12.18) сводится к выявлению структуры случайной составляющей ?(t), значения которой во времени могут быть независимыми или коррелированными (аддитивное или неаддитивное наложение ошибки — помехи).

Рассмотрим три способа построения модели прогнозирования

W[?(у), t] для случая, когда ошибка аддитивно накладывается на необратимую составляющую.

Первый способ можно определить как интерполяционный; он основан на использовании принципа построения интерполяционных полиномов для вычисления коэффициентов модели прогнозирования (экстраполяции). В этом случае изменения каждого или выбранного параметра у(t) изделия представляют в виде полиномиальной модели степени ?. Коэффициенты модели вычисляют из условия

                                                  (12.19)

где ti — время контроля параметра;    п — число контролируемых точек.

Примером такой модели является второй интерполяционный полином Ньютона, преобразованный для целей экстраполяции:

                           (12.20)

где

                                         (12.21)

— преобразованные для экстраполяции коэффициенты  Ньютона; т — число шагов прогнозирования; ?kyn-h —  конечная разность k-го порядка.

Основным достоинством такого подхода является простота реализации и возможность построения модели при малом п. Однако его целесообразно применять при достаточно гладких функциях у(t) и точных значениях у(ti). Если же дисперсия процесса велика, то необходимо использовать другой способ построения модели.

Второй способ [метод наименьших квадратов (МНК)] построения модели в условиях больших помех (ошибки) основан на принципе минимизации суммы квадратов отклонений:

                                                  (12.22)

С помощью данного метода можно построить различные  модели; при решении рассматриваемых задач его необходимо использовать для построения регрессионных моделей. В этом случае в качестве модели применяют полином (по крайней мере, после преобразования модели с целью вычисления коэффициентов), степень которого выбирают заведомо  меньше числа наблюдений а коэффициенты рассчитывают из условия минимума среднего квадрата отклонения  модели от значений параметров процесса изменения состояния в точках наблюдения t0, t1, …, tn. Алгоритмы построения регрессионных моделей рассматривались ранее.

Третий способ основан на использовании первых двух,  однако в отличие от них в данном случае производится взвешивание оценок значений временного ряда у(ti). При этом возможно применение метода экспоненциального сглаживания, когда текущей информации даются большие веса, а предшествующим значениям у(t) меньшие, что необходимо в тех случаях, когда следует «забыть» информацию, поступившую в отдаленном прошлом.

Модель   прогнозирования    метода    экспоненциального сглаживания имеет вид рекуррентной формулы:

                                              (12.23)

где S(tn) — значение экспоненциальной средней в момент времени tn;   ? — параметр     сглаживания   (0lt;?lt; 1). Учитывая рекуррентное  соотношение  (12.23),   получаем

где S(t0) — величина, характеризующая   начальные условия для применения формулы (12.23).

В частном случае

где т — число начальных значений временного ряда.

При третьем способе используют модели Бокса — Дженкинса, основанные на процедурах взвешивания и сглаживания данных контроля. Однако они, как и метод экспоненциального сглаживания, мало пригодны для эффективного сокращения производственных испытаний, так как являются типичными методами краткосрочного прогнозирования.

Перечисленные способы приводились для построения модели прогнозирования отдельной (индивидуальной) реализации. Если процесс изменения состояния изделия представлен множеством одномерных и однотипных реализаций (испытывается партия однотипных изделий), то для его описания следует пользоваться математической моделью вида

                                                (12.24)

где — одномерная функция времени, описывающая изменение обратимой составляющей и известная с точностью до коэффициентов Модель процесса вида (12.24) является более общей моделью, чем (12.18); выбор модели (метода) прогнозирования зависит не только от вида W, но и от вида V. При этом общая модель прогнозирования состоит из моделей-прогнозирования необратимой W и обратимой V составляющих. Модели для W могут быть построены с помощью перечисленных способов. Для прогнозирования V необходимо использовать матричный метод, исходной информацией для которого является множество однотипных реализаций у(t); процесс в каждом временном сечении представляют в виде матрицы вероятностей:

                                              (12.25)

где i — индекс   временного интервала; v — индекс интервала на оси параметра

Изменение процесса во времени, т.е. переход от Рi к Рj (ilt;j), удобно характеризовать вероятностной мерой, а именно вероятностью перехода из одного состояния в другое. Для количественной оценки состояния изделий область возможных значений показателей (параметров) состояния разбивают на ? интервалов (рис. 12.4).

Рис. 12.4

Оценив вероятности перехода из одного интервала (в i-й момент времени)   в другой   (в (i + 1)-й момент времени), опишем процесс изменения состояния изделий. Матрица вероятностей перехода имеет вид (рис. 12.4)

                                                             (12.26)

где plv — вероятность перехода из v-гo состояния в l-е. Если обозначить вектор состояния в i-й момент времени через аi, то процесс прогнозирования можно записать в виде

                                                                                   (12.27)

В общем случае, когда соблюдается  условие

                                                                                 (12.28)

где Pj — матрица Р в j-и степени; N — число реализаций (изделий).

Таким образом, для процесса вида (12.24) требуется прогнозирование как необратимой составляющей с помощью экстраполяционных моделей, так и обратимой составляющей с помощью матричного метода.

Если распространить модель (12.18) на многомерные процессы как на более общие по сравнению с одномерными, то индивидуальный многомерный процесс (отдельный многопараметрический объект) описывают следующей моделью:

                                                                (12.29)

где

— вектор ошибок.

Для прогнозирования процессов типа (12.29) необходимо применять многомерный метод. Пусть модель прогнозирования для необратимой составляющей является линейной по коэффициентам, которые вычисляют с помощью выражения

                                                           (12.30)

где — простейшие функции времени. Дисперсионная матрица оценок коэффициентов

                                                     (12.31)

где — дисперсионная матрица ошибок наблюдений, вычисляемая на стационарном или квазистационарном участке процесса:

Распределение оценок коэффициентов подчиняется закону нормального распределения.

Многомерное прогнозирование, несмотря на сложность, является более эффективным при сокращении производственных испытаний.

Если процесс изменения состояния изделий характеризуется множеством многомерных функций, то для его описания необходимо использовать модель вида

                                                  (12.32)

где  - вектор функций времени t и коэффициентов ?.

Модель (12.32) является наиболее общей моделью процессов изменения состояния изделий. В настоящее время отсутствуют модели экстраполяции нестационарных процессов, описываемых моделью (12.32). Для их прогнозирования необходимо применять методы статистической классификации.

Статистическая классификация состояния изделия при минимизации продолжительности производственных   испытаний.     Сформулируем задачу статистической классификации как позволяющую сократить производственные испытания.

Пусть в процессе предварительных производственных испытаний сформированы (описаны) два класса изделий R1 и R2, характеризуемые плотностью распределения вероятностей f(y/R1); f(у/R2) в нулевой момент времени t0. В первый класс вошли изделия, у которых срок службы меньше некоторого граничного значения Tгр, а во второй — изделия, у которых срок службы больше Tгр (рис. 12.5, а).

С помощью того или иного критерия необходимо изделие, подвергаемое испытаниям, отнести к первому или второму классу. При этом следует учитывать

                                                                      (12.33)

Рассмотрим вероятностный подход к определению класса для одномерного случая при гауссовском распределении параметров. Плотность распределения вероятностей обоих классов имеет вид

                  (12.34)

где — параметры распределения вероятностей.

Пусть параметр прибора, подвергающегося испытаниям, принял значение у = у* (рис. 12.5, б).

Рис. 12.5

Введем понятие отношения правдоподобия, которое позволяет принять решение — к какому классу принадлежит изделие:

                                                                        (12.35)

Для того чтобы в (12.35) исчезла экспоненциальная зависимость и упростились вычисления, удобнее рассматривать логарифм отношения правдоподобия. Для одномерного случая (рис. 12.5, б) он имеет вид

                            (12.36)

где — статистические характеристики распределения классов, вычисляемые согласно испытанной предварительно партии изделий (этап обучения); у* — параметр новой партии изделий, подвергнутой испытанию (этап экзамена).

Введем порог сравнения , при котором правило (12.33) принимает вид:

                                 (12.37)

Статистическая классификация как метод прогнозирования особенно эффективна, когда процесс изменения состояния описывается моделью (12.32), т. е. в случае многомерного процесса необратимой и обратимой составляющих.

Если прогнозирование осуществляют для многопараметрических изделий, то условные плотности распределения вероятностей f(у(R?), где ? — номер класса, будут многомерными. Выражение (12.36) для двух классов изделий запишем в виде

             (12.38)

где V? — ковариационные матрицы для изделий классов ?=1,2;

V?-1 — обращенные матрицы; |V?| — определители матриц; ?? — векторы средних значений параметров изделий у.

Элементы ковариационных матриц и векторы средних значений для каждого класса, как и в (12.36), оценивают по предварительно испытанной партии — обучающей выборке. Так, для первого класса элементы ковариационной матрицы вычисляют по формуле

                              (12.39)

где — индексы параметров; k — число параметров;   N1 — число изделий первого класса. Средние значения параметров приборов

                                                                      (12.40)

Для второго класса вычисляют   аналогично.

Достоинством методов статистической классификации является возможность прогнозирования (классификации по классам) по нулевому временному сечению, т. е. для прогнозируемой партии достаточно измерить параметры в начальный момент времени, вычислить для каждого из них логарифм  отношения   правдоподобия  (12.38)  и  сравнить с экспериментально установленным порогом   (12.37). Этот метод имеет и недостаток, который затрудняет его применение. При использовании модели (12.38) необходимо ее обучение, т. е. предварительное вычисление матриц V? и ?? по заранее испытанной партии изделий. Если учесть, что долговечность современных изделий составляет несколько десятков тысяч часов и испытывать их нужно до отказа, то испытание обучающей выборки практически не осуществимо. Для устранения этого недостатка необходимо применять композиционный подход к прогнозированию с целью минимизации производственных испытаний.

Композиционный метод прогнозирования.   Вследствие необходимости обучения модели статистической классификации нужно проводить предварительные испытания изделий продолжительностью Тгр, значение которой определяется поставленной задачей и сроком прогнозирования (часто это гарантийное время наработки изделий на отказ). Значение Тгр для современных изделий так велико (десятки тысяч часов), что предварительные испытания невозможно провести, следовательно, нельзя применить методы статистической классификации. Для использования этих методов необходимо применить ускоренные методы обучения моделей. Одним из таких методов получения информации для обучения является метод экстраполяции изменения параметров изделий, который был рассмотрен ранее. Сущность композиционного метода прогнозирования заключается в совместном использовании методов экстраполяции и статистической классификации. Причем методы экстраполяции используют для ускоренного получения матриц V? и ??,  а методы статистической классификации — для принятия решения при прогнозировании срока службы контролируемого изделия. Алгоритм метода следующий:

1)  проводят испытания   партии изделий — обучающей выборки — в небольшом  интервале  времени   tи,   достаточном для построения модели экстраполяции;

2)    по данным изменения параметров у(t) изделий в интервале tи    строят   выбранные   модели   экстраполяции

w (у, tи);

3)  осуществляют экстраполяцию изменения параметров до момента выхода их за допустимые пределы у*;

4)  устанавливают время  Тгр,   разделяющее испытываемые изделия на два класса R1 и R2;

5)  после разграничения изделий по срокам службы, установленным значением   Тгр, формируют классы R1 и R2 в нулевом сечении времени и вычисляют матрицы (12.39) и (12.40);

6) для вновь поступающих на испытание (экзаменуемых) изделий рассчитывают логарифм отношения правдоподобия (12.38) и на основе (12.37) принимают решение о долговечности изделия.

  Форсированные испытания изделий.   Наряду с применением методов прогнозирования, сокращение производственных испытаний, как отмечалось, возможно при использовании форсированных испытаний, т. е. испытаний, основанных на форсированных режимах. Эти режимы в несколько раз ускоряют процессы старения изделий, в результате чего значительно раньше наступает отказ и изделия перестают работать.

При проведении форсированных испытаний необходимо:

1)  выбрать   воздействующие   факторы,   которые  могут быть использованы в качестве форсированных. Это следует осуществлять на  основе знания физических основ механизмов старения изделий и факторов, которые их ускоряют;

2)  определить уровни форсирования для установленных воздействующих факторов, причем при наиболее жестких уровнях механизм старения изделий не должен принципиально меняться;

3)  наметить план форсированных испытаний, определяющий объем испытаний (число испытуемых партий) и сочетание уровней воздействующих факторов, влияющих на каждую партию;

4)  определить взаимосвязь   состояний   изделий  в нормальном и форсированных режимах, т. е. вычислить коэффициент ускорения при использовании форсированных  режимов.

Существуют различные методы форсированных испытаний. Рассмотрим только те, которые можно классифицировать как одно- и многофакторные форсированные испытания.

Однофакторные форсированные испытания заключаются в следующем. Пусть испытываются две партии изделий и выбран режим форсирования. При этом одну партию испытывают в нормальном режиме ?0, а другую — в форсированном (ужесточенном) ?ф. Очевидно, что параметры партии изделий в форсированном режиме изменяются быстрее, чем в нормальном (рис. 12.6).

Рис. 12.6

В обоих случаях плотность распределения времени безотказной работы имеет среднее время безотказной работы

Коэффициент ускорения режима

                                                                     (12.41)

Уровней форсирующего режима может быть выбрано несколько соответственно столько же партий подвергается испытаниям (помимо партии в нормальном режиме). Для каждого уровня режима вычисляют свой коэффициент  ускорения    

Затем строятзависимость Для одного типа электровакуумных приборов выражение для интенсивности отказов имеет вид

где — интенсивность отказов; — анодно-экранные напряжения (форсирующий фактор) для нормального и форсирующего режимов.

Особенность многофакторных форсирующих испытаний заключается в следующем. Выбор форсирующих факторов и уровней форсирования аналогичен предыдущему. Однако планы многофакторных испытаний принципиально отличаются от однофакторных. Прежде всего многофакторные испытания обладают тем преимуществом, что они всесторонне ускоряют механизмы старения, следовательно, полученные результаты более объективны, чем результаты однофакторных испытаний.

Планы многофакторных испытаний строятся в соответствии с положениями теории планирования эксперимента.

Пусть  — матрица    плана    испытаний,   

   Воздействующий фактор может принимать различные значения. Тогда план и результаты испытаний можно записать в виде

                                                             (12.42)

Планы испытаний могут быть как первого, так и второго порядка. Как и при экстремальной оптимизации, порядок плана определяется порядком модели, описывающей изменение работоспособности изделия (или показателей надежности) в зависимости от воздействующих форсированных факторов.

Нетрудно видеть, что в случае (12.42) модель Тср = f (?) строится по известному алгоритму МНК. Например, если воздействующих факторов два а модель первого порядка

                                  (12.43)

строится по результатам испытаний согласно плану первого порядка

то коэффициенты модели вычисляют с помощью выражения

Коэффициент ускорения (12.41) для любого варианта сочетаний множества форсированных факторов определяют из отношения

                                                                      (12.44)

где — среднее время безотказной работы, найденное соответственно для вариантов воздействующих факторов ?0 и ?ф.

Многие изделия имеют сроки службы до нескольких десятков тысяч часов. В связи с этим даже самые жесткие форсированные режимы не всегда позволяют сократить производственные испытания до приемлемых сроков. Поэтому целесообразно применять комбинированный метод сокращения испытаний, основанный на совместном использовании форсированных испытаний и прогнозирования. В общем случае алгоритм метода следующий:

1)  выбирают воздействующие факторы, которые ускоряют процессы старения в изделиях испытываемых партий;

2)  устанавливают на основе  знания   физики процессов старения и априорных испытаний уровни воздействующих факторов  (режимы  форсирования). При этом необходимо, чтобы предельные уровни или совокупность форсированных уровней, воздействующих на изделия, не искажали существующих механизмов старения при номинальных режимах;

3)  выбирают модель описания форсированных испытаний первого или второго порядка ;

4)  уточняют план форсированных испытаний, порядок которого зависит от порядка модели;

5)  для каждой точки плана (условий проведения испытаний) определяют партию изделий и проводят форсированные испытания до момента времени Тф (рис. 12.7). Значение Тф устанавливают исходя из требований сокращения производственных испытаний;

Рис. 12.7

6)  по данным контроля параметра изделий у (t) на отрезке времени

[t0 — Тф] строят модель экстраполяции W (у, t);

7)  осуществляют экстраполяцию изменения параметров у(t) с помощью модели W(у, t) до момента, когда их значения достигают допустимых границ у*;

8)   по полученным предсказанным значениям сроков отказов для каждой из N партий вычисляют среднее время безотказной работы

9)  строят модель   Тср=t(?ф) согласно (12.43) и рассчитывают коэффициент ускорения (12.44).

В результате применения подобного алгоритма удается сократить длительность производственных испытаний в несколько десятков раз. Рассмотренные методы можно представить в виде классификационной схемы (рис. 12.8).

Рис. 12.8

12.3.  Регрессионно – временные модели

Регрессионно-временные модели (РВМ) отражают зависимость исследуемого параметра изделия у от множества воздействующих факторов ? и от времени t. Иногда их называют пространственно-временными моделями. Достоинством подобных моделей является возможность оценки поведения параметра при любом сочетании воздействующих факторов (для выбранного факторного пространства), а также при прогнозировании параметра для определенного момента времени.

При миниимзации продолжительности производственных испытаний РВМ позволяют выбрать необходимое сочетание воздействующих факторов, сокращающее испытания в требуемое число раз. РВМ строят на стадии обучения модели по результатам предварительных испытаний.

Введение фактора времени t в многофакторную регрессионную модель влияет на методы построения подобных моделей и на алгоритмы определения их коэффициентов. Специфика построения РВМ заключается в том, что время является необратимым и, следовательно, не поддается рандомизации. Кроме того, изменение во времени параметра (отклика) ?у для современных изделий значительно меньше, чем его изменение от варьируемых воздействующих факторов ??. Поэтому нужны достаточно большие интервалы ?t для получения заметного изменения ?у (при отсутствии воздействующего фактора ?), что усложняет эксперимент и построение модели. Для оценки временного изменения функции отклика необходимо определить, каким образом она изменяется во времени и соответственно как, и ввести в модель слагаемые, показывающие зависимость у от t.

Это следует учитывать при выборе функции отклика, воздействующих факторов ?, вида РВМ, плана испытаний, а также при вычислении коэффициентов модели и анализе ее адекватности.

Выбор функции отклика у для ряда изделий часто очевиден — это выходные параметры изделий, характеризующие его техническое состояние, или показатели надежности (интенсивность отказов, среднее время безотказной работы и т. п.).

Воздействующими варьируемыми факторами могут являться климатические, механические и электрические (нагрузочные) воздействия, среди которых можно выделить температуру, влажность, давление, вибрацию и др. Возможны также циклические воздействия указанных факторов.

Регрессионно-временная модель может быть первого и второго порядка; при этом введение фактора времени может осуществляться разными путями. Это зависит от вида влияния времени t на функцию отклика у.

Можно выделить три вида влияния фактора времени на зависимость

у = f (?, t):

1) поверхность отклика смещается во времени в факторном пространстве без «деформации», т. е. изменяется только свободный член модели b0, остальные постоянны. Этот случай можно рассматривать как невзаимодействие фактора времени с факторами, воздействующими на изделие в процессе испытаний. Подобное изменение состояния изделия получило название аддитивного дрейфа:

                                                               (12.45)

Это соответствует случаю, когда состояние изделия изменяется в результате процессов старения, которые не зависят от воздействующих факторов;

2) поверхность отклика искажается во времени, не смещаясь в факторном пространстве, т. е. влияние факторов на функцию отклика меняется во времени. Это означает, что состояние изделия под воздействием только фактора времени не меняется, т. е. старения изделия не происходит. Подобное возможно для высоконадежных изделий на относительно небольшом отрезке времени. Модель состояния изделия в этом случае имеет вид

                                                                  (12.46)

3) поверхность отклика, смещаясь в факторном пространстве, искажается со временем (фактор времени взаимодействует с воздействующими варьируемыми факторами). Такое изменение состояния получило название неаддитивного дрейфа:

                                                             (12.47)

Методы построения математических моделей испытаний часто оказываются различными для объектов с аддитивным и неаддитивным дрейфом. Следует, однако, отметить, что процессы старения, происходящие с течением времени, могут зависеть от совокупности воздействующих факторов и от значений их уровней, т. е. модели, описывающие изменение состояния изделий, как правило, имеют вид (12.47).

Рассмотрим алгоритм построения модели (12.47) при оптимизации производственных испытаний изделий электронной техники. Для построения зависимости работоспособности от воздействующих факторов необходимо провести испытания по плану типа (12.42), а для оценки зависимости следует составить план испытаний во времени. Подобным планом может служить план

                                                                          (12.48)

где    - моменты   контроля;    — частота контроля.

Общий план испытаний

                                                                               (12.49)

где знак «?» означает совместное применение планов.

План испытаний можно раскрыть с учетом (12.42) и (12.48):

                                  12.50)

Подобная запись плана предполагает следующий порядок построения модели—сначала строят многофакторные модели, отражающие зависимость у от ? для каждого момента времени , затем по полученным временным функциям bj = fj (t) ищут fj для каждого коэффициента. В общем случае это полиномиальная регрессионная модель, коэффициенты которой А определяют методом наименьших квадратов:

                                                                       (12.51)

где

                                                                         (12.52)

Последовательность построения модели может быть изменена. Тогда (12.49) можно представить в виде

                                                                                 (12.53)

Рассмотрим построение модели работоспособности электрического изделия на основе  проведения   производственных  испытаний  по  плану (12.53).

В качестве наиболее информативных параметров электрических изделий, т. е. наиболее полно характеризующих их работоспособность, контролировались: напряжение запирания Uэ, т. е. напряжение на модуляторе, при котором ток катода равен 1 мкА (для этого параметра установлен двусторонний граничный предел: —55 В ? Uэ ? —25В), яркость свечения экрана L, измеряемая при заданной силе тока катода и заданных напряжениях на электродах — она характеризует качество экрана (L = 25 кд/м2), ток катода Iк при напряжении модуляции

UM = 0,2Uэ (Iк ?100 мкА).

Таким образом, необходимо построить регрессионно-временные модели при воздействии нагрузочных электрических факторов, которые позволяют минимизировать продолжительность производственных испытаний.

Выберем факторы, которые, воздействуя на изделие, ускоряют процессы старения. Поскольку основным элементом изделия, определяющим ее надежность, является оксидный катод, первым форсирующим фактором является напряжение накала UH. В качестве второго воздействующего фактора выберем ток луча Iл. Увеличение тока луча способствует ускорению старения, так как при этом увеличивается плотность тока эмиссии, а следовательно, скорость процесса старения катода. Кроме того, возрастает яркость свечения люминофора экрана, приводящая к его ускоренному старению. Третьим воздействующим фактором возьмем коэффициент производственного запаса по току пятого анода ?. Этот показатель во многом определяет срок службы изделия:

где Iа5, Iа5ном — соответственно фактический и номинальный ток пятого анода. Этот фактор следует рассматривать как пассивный, представляющий собой индивидуальную характеристику изделия, которую желательно иметь в модели.

В результате общая модель работоспособности изделия будет представлена моделями трех упомянутых параметров, зависящих от выбранных воздействующих факторов и времени: у = f(Uп, Iл, ?, t)

Предварительные (обучающие) испытания для построения моделей проводились по плану первого порядка, по полуреплике 23-1, состоящей из четырех опытов. В табл. 12.7 приведены интервалы варьирования воздействующих факторов, причем нижние уровни у факторов Uп и Iл равны номинальному значению, а уровни задаются подбором соответствующих приборов.

Т а б л и ц а 12.7

План условий испытаний каждой выборки приведен в табл. 12.8.

Таблица 12.8

В соответствии с выбранным планом были проведены испытания отдельных выборок изделий. Результаты измерения тока катода Iк приведены в табл. 12.9, тока спирали Icп - в табл. 12.10, яркости L — в табл. 12.11.

                                Таблица 12.9

Таблица 12.10

Таблица 12.11

Так как общий алгоритм построения модели выбран по плану (12.53). то сначала следует построить временные модели Iк, Icп, L=f(t), подбирая по экспериментальным данным соответствующий их вид   В результате диализа были выбраны модели

где  bj — неизвестные коэффициенты, вычисленные после окончания  испытаний (табл. 12.12)

Таблица 12.12

Таким образом,  каждый коэффициент зависит  от условий проведения испытаний, т. е.   от воздействующих факторов Uп, Iл и ?.

Поскольку был  выбран план первого порядка, то и модель можно построить только первого порядка:

                                                          (12.55)

Ускорение процессов старения в основном характеризуется значением  коэффициентов b1.  Поэтому зависимость (12.55)     построим только для b1, а значение b0 возьмем усредненным по всем четырем опытам.

Таким образом, для b1 имеем:

Модели выбранных параметров имеют вид:

Полученные составные части общей регрессионно-временной  модели работоспособности изделия позволяют оценить его состояние в любой момент времени и для различных воздействующих и форсирующих режимов. Кроме того, можно вычислить срок службы изделия для заданных режимов. Таким образом, можно выбрать и воздействующие режимы, которые сокращают производственные испытания до требуемой  продолжительности.