13.3.9. Становление и развитие планирования эксперимента

Среди методов планирования первым был дисперсионный анализ (Фишеру принадлежит и термин «дисперсия»). Фишер создал основы этого метода, описав полные классификации дисперсионного анализа (однофакторный и многофакторный эксперименты) и неполные классификации дисперсионного анализа без ограничения и с ограничением на рандомизацию. При этом он широко использовал латинские квадраты и  блок-схемы.  Вместе с Ф. Йетсом он описал их статистические свойства. В 1942 г. А. Кишен рассмотрел планирование по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов. Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого (1946—1947 гг.) Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы X. Манна (1947—1950 гг.). Здесь следует отметить, что начиная с работ Р. Муфанга (1935 г.) развивается теория квазигрупп, т. е. множеств Е с бинарной операцией на Е, для которой существуют обе обратные ей операции. Теория квазигрупп имеет прямую связь с теорией латинских квадратов. Так, если область определения конечна и задана списком ее элементов, то эта операция может быть эффективно определена квадратной таблицей с двумя входами, в каждом столбце и в каждой строке которой без повторений помещены все элементы из области Е. Такая таблица является  латинским  квадратом.

Первое глубокое математическое исследование блок-схем выполнено Р. Боузом в 1939 г. Вначале была разработана теория сбалансированных неполноблочных планов (BIB-схем).

Исследования Р. Фишера, проводившиеся в связи с работами по агробиологии, знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью полного факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов. Это вполне пригодно в агробиологии, но связано со значительными трудностями в технических приложениях.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило резко сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

Г. Хотеллинг в 1941 г. обратил внимание на то, что многие практические, особенно технические, задачи можно рассматривать как экстремальные. Он предложил находить экстремум по экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента (подробно для случая одной независимой переменной). Проблемы, поставленные второй мировой войной, привели к интенсификации  исследований  в этом  направлении.

Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Этот принцип, высказанный в 1947 г.

Чтобы построить современную теорию планирования эксперимента, не хватало одного звена — формализации объекта исследования. Это звено появилось в 1947 г. после создания Н. Винером теории кибернетики.  Кибернетическое понятие «черный ящик» играет в планировании важную роль. Кроме того, кибернетика стимулировала развитие вычислительной техники, дав в руки  исследователей инструмент, позволяющий быстро решать возникающие при планировании математические задачи .

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. Эта работа подытожила предыдущие. В ней ясно сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движения по градиенту и отыскания интерполяционного полинома (степенного ряда) в области экстремума функции отклика («почти стационарной» области).

В 1954—1955 гг. Дж. Бокс, а затем Дж. Бокс и П. Юл показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических механизмов процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Здесь планирование эксперимента пересекалось с исследованиями по химической кинетике. Следует отметить, что кинетику можно рассматривать как метод описания процесса с помощью дифференциальных уравнений, традиции которого восходят к И. Ньютону. Описание процесса дифференциальными уравнениями, называемое детерминистическим, нередко противопоставляется статистическим моделям. Указанные работы наметили конкретный путь сближения этих подходов. Если кинетическая модель уже известна, возникает вопрос о планировании эксперимента для уточнения полученных ранее констант.

Если для первого этапа развития планирования эксперимента характерны полевые и лабораторные агробиологические исследования, то второй этап — это этап лабораторных, главным образом  химических, исследований. Хотя развитие этого направления еще не закончено, но уже можно говорить о третьем этапе — этапе промышленных экспериментов. Он начался в 1957 г., когда Бокс модифицировал свой метод, приспособив его для использования в промышленности. Этот метод стал называться «эволюционным планированием».

Почти одновременно с эволюционным планированием Бокс и Дж. Хантер сформулировали принцип ротатабельности для описания «почти стационарной» области, развившуюся в важную ветвь теории планирования эксперимента. В той же работе показана возможность планирования с разбиением на ортогональные блоки, указанная ранее независимо де Бауном. Дальнейшим развитием этой идеи было планирование, ортогональное к неконтролируемому временному дрейфу, которое следует рассматривать как важное открытие в экспериментальной технике — значительное увеличение возможностей экспериментатора.

Слабым местом было отсутствие метода оценки риска, связанного с тем, что в рассмотрение не включен какой-либо важный фактор. Для преодоления этой трудности в 1957—1959 гг. Ф. Сатерзвайтом был развит метод «случайного баланса» . Этот метод возник не в связи с общим ходом развития статистических идей, а скорее как прием формализации психо-физиологических методов решения сложных задач человеком. Поэтому он вызвал острую дискуссию.

В 1958 г. Г. Шеффе предложил новый метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм состав— свойство. В этом методе, названном методом «симплексной решетки», используется то обстоятельство, что состав многокомпонентной системы дается точкой в правильном симплексе. Здесь произошло пересечение с химической топологией, созданной Н.

Симплексы оказались пригодными и для построения ротатабельных планов, что было показано в 1960 г. Дж. Боксом и Д. Бенкиным. С. Адельманом в 1961 г. обобщена идея Финни о дробных репликах. Им построены нерегулярные дробные реплики, которые в ряде случаев позволяют существенно сократить число опытов,

С развитием средств автоматизации и вычислительной техники возник  вопрос о  возможности использования какого-либо алгоритма планирования при автоматическом управлении процессом с помощью вычислительной машины. Этот вопрос был теоретически решен в 1962 г. В. Спендлейем, Дж. Хекстом и Ф. Химсворстом, Боксом и Дж. Дженкинсом, создавшими основы теории адаптационной оптимизации, в которой сочетаются идеи планирования и теория случайных функций.

Следует отметить, что ряд научных концепций, развивающихся параллельно с планированием эксперимента, оказывает влияние на его развитие: к их числу, кроме уже упоминавшихся, относятся теория консалтинга, теория принятия решений, теория игр, линейное, нелинейное и динамическое программирование, правдоподобные рассуждения, введенные Д. Пойа. Планирование эксперимента входит как составная часть в более общие концепции: общую теорию систем, исследование операций и системотехнику,   теорию управляющих  систем и др..

Отметим,  что наиболее характерной чертой, является объединение подхода Дж. Бокса с подходом американского математика Д ж. Кифера, рассматривавшего формальные аспекты теории планирования.

Растут возможности методов планирования эксперимента, расширяется сфера их приложения. Надо полагать, что развитие уже достигло такого состояния, когда можно писать с большой буквы — «Математическая теория эксперимента», когда накоплен значительный практический опыт.