<<
>>

14.5. Оптимальность в планировании эксперимента для  дискретных переменных

  В практической деятельности экспериментатору часто приходится иметь дело с дискретными независимыми переменными. Это прежде всего переменные качественного характера. Если мы исследуем, например, влияние на некоторый технологический показатель изменения марки стали или способа обработки сырья, то мы не можем изменению уровней этих факторов поставить в соответствие некоторую числовую шкалу.
Мы можем только «перечислить» уровни факторов, присвоив им в произвольном порядке номера 0,1,...,s, имея при этом в виду, что здесь упорядоченность уровней имеет чисто условный характер.

Дискретный характер могут носить и количественные переменные. Например, при получении чистых веществ можно дистиллировать воду 1, 2, 3 раза, но не дробное число раз, фильтровать раствор можно через 1, 2, 3 фильтра, но не через дробное   число    фильтров.

Если мы хотим для дискретных факторов построить линейную по параметрам модель, то удобно записать ее, проведя несколько иную параметризацию, чем это делалось в случае непрерывных переменных. Мы можем каждому уровню переменной приписать свой параметр (эффект уровня), а каждому сочетанию уровней любой группы факторов также поставить в соответствие отдельный   параметр—эффект  взаимодействия  уровней.

Если иметь дело с одной переменной, то для непрерывной переменной можно, например, записать полиномиальную модель в виде:

                                         (14.43)

для дискретного же случая запишем:

                        (14.44)

где  ? — неизвестный параметр,   так   называемое среднее;

?i — эффект i-того уровня дискретного фактора;

?ij—ошибка j-того наблюдения на i-том уровне фактора.

   Если в модели (14.43)  мы имеем два неизвестных параметра, независимо от того,    на    скольких   уровнях в  плане мы варьируем переменную, то во втором  случае    при варьировании на двух уровнях мы имеем дело уже    с тремя неизвестными параметрами.

   Рассмотрим особенности моделей типа  (14.44)  для дискретных   переменных. Здесь следует обратить внимание на то, что у нас     не хватает степеней свободы для оценки всех параметров. Варьируя переменную    на    двух    уровнях, можно оценить только два параметра, но не три. Поэтому, чтобы справиться с задачей    оценки параметров, приходится налагать на них дополнительные ограничения. Если    мы положим

то  единственные оценки параметров по методу наименьших квадратов могут быть получены. Такого типа ограничение следует из определения параметров модели эффектов уровней .

Раздел математической статистики, который называется дисперсионным анализом, строится на моделях подобного типа. Обработка результатов наблюдений здесь ведется так, что сначала проверяется гипотеза о равенстве нулю совместного влияния изменения всех уровней данного фактора, т. е. о равенстве нулю величины

где

(для   s уровней фактора).

Отвергнув гипотезу о равенстве нулю можно оценить некоторые функции параметров, которые называются сравнениями. Сравнения—это   такие   линейные комбинации параметров

для которых коэффициенты сi удовлетворяют условию

Это условие например, выполняется для линейных комбинаций

(?i — ?j), где i, j=1,...,s, т. е.

мы можем оценить разности эффектов любых двух уровней фактора. Сравнениями будут и    соотношения  

представляющие собой разности между эффектом j-того уровня и средним по всем аффектам. Оценки параметров при дополнительных ограничениях — это по существу оценки сравнений последнего типа при этих ограничениях.

Здесь важно    обратить    внимание    на    следующее. Тесты в дисперсионном анализе могут быть различными, и поэтому необходимо совместно рассматривать и оптимальность плана и оптимальность теста. Оптимальность плана здесь может рассматриваться двояким образом, с одной стороны, так, как это было сделано в предыдущих разделах, т. е. для получения оптимальных оценок, а с   другой   стороны, в совокупности   с оптимальностью  тестов, которые используются    для    проверки    гипотез дисперсионного анализа.

Вторая особенность планирования с дискретными уровнями факторов состоит в том, что планы строятся на множестве целых чисел. Модель накладывает новое ограничение на построение плана: план строится на той многомерной решетке, которая определяется числом уровней каждого фактора и членами, входящими в модель. Задача построения плана, в отличие от случая непрерывных переменных, превращается в комбинаторную задачу.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство: план, построенный для дискретных переменных, может быть использован и для модели с непрерывными переменными. Например, хорошо известный план 23, включающий всевозможные сочетания уровней трех двухуровневых факторов, может быть использован для моделей как с непрерывными, так и с дискретными переменными. В непрерывном случае, когда мы строим полиномиальную модель на кубе, точек, входящих в дискретный план, достаточно для получения оценки этой модели. При этом план оказывается оптимальным по многим критериям. Однако здесь был рассмотрен только очень простой частный случай; в общем случае построение оптимальных планов для непрерывных переменных не сводится к целочисленным задачам.

Приведем некоторые сведения исторического характера. Планы для дискретных переменных появились еще в 20-х годах ХХ века , в связи с необходимостью выбрать экспериментальные точки так, чтобы результаты сельскохозяйственных исследований не зависели от неоднородностей почвы. Одно из возможных решений здесь — рандомизация опытов относительно неконтролируемых переменных. При этом, конечно, существенно увеличивается дисперсия наблюдений. Другое решение—построение планов с разбиением на блоки. При этом вводятся новые переменные, ограничивающие влияние неконтролируемых переменных. Долгое время свойства планов для дискретных переменных диктовались этими требованиями. Только в 50- и 60-х годах ХХ века старые комбинаторные схемы стали рассматриваться с точки зрения критериев оптимальности, учитывающих статистические свойства оценок.

Исторически сложилось также и то, что для каждого типа планов с дискретными переменными строилась своя схема проведения вычислений. Это позволяло получать компактные простые вычислительные схемы, но число их было слишком велико.  Задачу дисперсионного анализа легко переформулировать в терминах регрессионного анализа, тогда вычислительные процедуры существенно унифицируются, хотя вычисления становятся более громоздкими. Далее будут рассмотрены типы моделей и соответствующие им планы с дискретными переменными.

<< | >>
Источник: А.Е. Кононюк. ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ (Общая теория эксперимента) Книга 3. 2011

Еще по теме 14.5. Оптимальность в планировании эксперимента для  дискретных переменных:

  1. 2.2 Выбор уровней варьирования факторов при планировании эксперимента
  2. ИЗМЕРЕНИЯ ДЛЯ ПОРЯДКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
  3. ИЗМЕРЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
  4. ИЗМЕРЕНИЕ СВЯЗИ И ЗНАЧИМОСТИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
  5. ИЗМЕРЕНИЕ СВЯЗИ И ЗНАЧИМОСТИ ДЛЯ ПОРЯДКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
  6. 10. Методы оптимизации в планировании эксперимента
  7. 11. Другие методы оптимизации в планировании эксперимента
  8. 13. Примеры решения задач оптимизации  при планировании эксперимента и классификация экспериментальных планов
  9. 13.3.6. Планирование эксперимента на диаграммах состав—свойство
  10. 13.3.9. Становление и развитие планирования эксперимента
  11. 14. Оптимальные планы выполнения эксперимента
  12. 14.1. Логика понятия эффективного эксперимента
  13. 14.5. Оптимальность в планировании эксперимента для  дискретных переменных
  14. 14.5.1. Классификация планов для  дискретных независимых переменных
  15. 14.5.3. Постановка задачи об оптимальности планов с дискретными независимыми переменными
  16. 14.7. Критерии оптимальности в отсеивающих экспериментах
  17. 14.7.2. Планирование эксперимента при поиске неисправных элементов
  18. 14.7.3. Планирование эксперимента в  экономических задачах
  19. 14.7.4 Критерии оптимальности планов дискриминирующих экспериментов
- Коучинг - Методики преподавания - Андрагогика - Внеучебная деятельность - Военная психология - Воспитательный процесс - Деловое общение - Детский аутизм - Детско-родительские отношения - Дошкольная педагогика - Зоопсихология - История психологии - Клиническая психология - Коррекционная педагогика - Логопедия - Медиапсихология‎ - Методология современного образовательного процесса - Начальное образование - Нейро-лингвистическое программирование (НЛП) - Образование, воспитание и развитие детей - Олигофренопедагогика - Олигофренопсихология - Организационное поведение - Основы исследовательской деятельности - Основы педагогики - Основы педагогического мастерства - Основы психологии - Парапсихология - Педагогика - Педагогика высшей школы - Педагогическая психология - Политическая психология‎ - Практическая психология - Пренатальная и перинатальная педагогика - Психологическая диагностика - Психологическая коррекция - Психологические тренинги - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология влияния и манипулирования - Психология девиантного поведения - Психология общения - Психология труда - Психотерапия - Работа с родителями - Самосовершенствование - Системы образования - Современные образовательные технологии - Социальная психология - Социальная работа - Специальная педагогика - Специальная психология - Сравнительная педагогика - Теория и методика профессионального образования - Технология социальной работы - Трансперсональная психология - Философия образования - Экологическая психология - Экстремальная психология - Этническая психология -