1.8. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД: ОТ ФАКТОВ К ЭМПИРИЧЕСКИМ ЗАКОНАМ

Ключевое значение в понимании концептов вероятности и ма­тематического ожидания имеет выборочное среднее. Допустим, что рассматривается величина Y. Обозначим через Щ) измеренное в 5-м испытании величину Y. Общее же число испытаний, входящих в соответствующую выборку, равно п. В таком случае выборочное среднее А определяется по формуле

A„[r] = ~iY(s).

Определение выборочного среднего требует от экспериментатора высокой компетенции в деле избрания соответствующих выборок и определения их признаков, в частности устойчивости. Но в данном случае мы не станем отвлекаться на эти тонкости. Отметим лишь главный момент в определении природы математического ожидания и вероятности с позиций экспериментатора. Обе эти величины пред­ставляют собой некоторые пределы выборочного среднего. В случае математического ожидания (Е) имеют дело с величиной измеряемо­го параметра. Е[ Y\ есть предел A[Y\, определенного, как правило, на основании не одной, а многих выборок. В случае вероятности (Р) речь идет о пределе выборочного среднего применительно к относи­тельной частоте исходов:

P[Y] = lim—,

ц->00

где т — число благоприятных исходов из общего числа п.

Поскольку т определяется на основании многих выборок, то и оно выступает как некоторая усредненная величина. Кажется, что экспериментатор при всем его старании не в состоянии определить ни математическое ожидание величины, ни вероятность ее наступ­ления, ибо рассматриваемые выше предельные переходы предпо­лагают бесконечное число как испытаний, так и выборок.

Существуют различные понимания природы вероятности^[44]. Осо­бенно частое недоумение вызывает вроде бы полное отсутствие возможности согласовать понимание вероятности как относитель­ной частоты, определяемой в эксперименте, и ее математического двойника. В последнем случае вероятность понимается либо по Р. фон Мизесу, а именно как предел относительной часты, либо по А.Н. Колмогорову в качестве меры, задаваемой на алгебрах мно­жеств. Парадокс возникает постольку, поскольку математические реалии принимаются за вполне реальные идеализированные объек­ты и их признаки. В эксперименте такого рода реалии невозможно обнаружить. Во избежание парадоксальных суждений вроде бы остается единственная возможность, а именно, считать, что за ста­дией экспериментирования следует стадия идеализации. Самое подлинное в науке — это, мол, идеализации.

Выход из ситуации находится, если признать математические объекты не идеализациями, а формализациями. Внимательными исследователями математика не переносится прямо и непосредст­венно в область экспериментальных наук. Математический аппарат непременно проверяется на предмет его состоятельности. Этот ас­пект дела крайне важен в понимании математического моделирова­ния.

Итак, математическое ожидание и вероятность, будучи важней­шими научными концептами, не измеряются непосредственно, а определяются посредством исходных экспериментальных данных, которые мы предпочитаем называть фактами. Кстати, имя «матема­тическое ожидание» нельзя назвать удачным. Впервые его стали использовать Б. Паскаль и X. Гюйгенс в XVII в. применительно к теории азартных игр. Но далеко не всякое ожидание является мате­матическим. Так, ожидания, с которыми имеют место в экономике, являются экономическими, а не математическими. Необходимо также учитывать, что в современной науке очень часто ожидания теснейшим образом увязываются с прогнозами. Но концепт мате­матического ожидания используется и за пределами прогнозов.

Определение математических ожиданий и вероятностей связано с многочисленными сложностями, каждая из которых придает ту или иную определенность эксперименту как стадии трансдукции. Укажем на некоторые из них, следуя в основном работе^[45].

1. Перечисление факторов, актуальных при определении матема­тических ожиданий и вероятностей. Оно оказывается возможным лишь после тщательного изучения особенностей экспериментальной ситуации.

2. Субъективная (экспертная) оценка вероятностей. Она оказыва­ется необходимой в случае, если ощущается потребность в новой теории. Деятельность экспертов нуждается в осмыслении.

3. Восстановление статистического ансамбля по ограниченной экспериментальной выборке. Как правило, данных недостаточно, поэтому они домысливаются. Критерии домысливания сами нужда­ются в критическом анализе.

4. Определение математических ожиданий и вероятностей в усло­виях нестационарности и неустойчивости. В этих условиях всякое прогнозирование оказывается связанным с новыми трудностями.

5. Интерпретация редких явлений. Поскольку редкие явления, как правило, невоспроизводимы, то и их изучение затруднительно.

6. Привлечение закона больших чисел. Вопреки широко распростра­ненному мнению увеличение объема выборки совсем не обязатель­но влечет за собой уменьшение рассеяния экспериментальных данных. Закон больших чисел имеет место лишь при наличии фак­торов, обеспечивающих его существование.

С концептами математического ожидания и вероятности тесно связан концепт неопределенности. По поводу этого концепта оста­ются большие неясности. Обычно неопределенное интерпретиру­ется как отрицание определенного. С этой точки зрения, величина, не обладающая точным значением, должна быть признана неопре­деленной. В эпистемологии неопределенность часто связывали с недостатком знаний, который может быть преодолен. Такое пони­мание было поставлено под сомнение открытиями, сделанными в квантовой механике. Рассмотрим, например, одно из соотношений неопределенностей Гейзенберга: Ap_xAx>h/2. Оно свидетельствует о том, что при одновременном измерении неопределенности импуль­са вдоль оси х (Ар_х) и неопределенности координаты (Ах) она в обоих случаях неустранима. Осмысление соотношения неопреде­ленностей Гейзенберга показало, что неопределенность реальна и, следовательно, она не связана с недостатком знаний. Стала также очевидной связь неопределенности с вероятностями.

Отметим, что концепт неопределенности и ситуация неопреде­ленности — это разные вещи. Нас в данном случае интересует концепт неопределенности. В этой связи нам представляется ис­ключительно важным осмысление онтического статуса неопреде­ленности. Вероятность характеризует возможность наступления некоторых событий. Но в таком случае следует признать наличие некоего концентрата активности, обеспечивающего наступление упомянутых событий. На наш взгляд, именно характеристикой этой активности как раз и является неопределенность. Недостаточно всего лишь подчеркивать неопределенность величин признаков. Крайне важно выделить их истоки. Причем они таковы, что опро­кидывают привычные представления. Весьма показательно в этой связи, что в силу неопределенностных характеристик элементарных частиц возникают даже... вселенные. Есть основания полагать, что удивительные возможности способна генерировать также и дея­тельность людей. Мир насыщен не точными величинами и необхо­димостью движения по узкому желобу необходимости, а неопреде­ленностью, генерирующей широкий спектр вероятностных событий. Мы живем в удивительном мире, реализующемся благодаря не столько математическим ожиданиям и вероятностям, сколько не­определенности. Как нам представляется, представления о неопре­деленности пока еще бедны и невыразительны. Они явно нужда­ются в переосмыслении.

Выше были рассмотрены основополагающие концепты, необхо­димые для анализа добытых в результате эксперимента данных, а именно, среднее выборочное значение, математическое ожидание и вероятность.

Ниже мы рассмотрим различные пути анализа эксперименталь­ных данных. Полный их перечень выходит далеко за пределы про­екта этой книги. К тому же они будут рассмотрены лишь в степени, позволяющей прийти к определенным методологическим выводам. Нам важно показать методологическую перспективу анализа резуль­татов экспериментов.

Факторный анализ и метод главных компонент. В 1901 г. выда­ющийся английский статистик Карл Пирсон предложил метод главных компонент. Ниже мы приводим его собственную иллюст­рацию.

Рис. 1.2. Метод главных компонент К. Пирсона

Даны точки Р на плоскости. Ведется поиск прямой (АВ), которая бы удовлетворяла двум условиям. Изменения вдоль нее должны быть максимальными, а в ортогональном направлении, наоборот, мини­мальными. Главной компонентой считается та, которая отсчитыва­ется вдоль линии АВ. Такой анализ может быть продолжен. В таком случае получают совокупность компонент, ранжированных по степе­ни их актуальности. При желании можно отказаться от рассмотрения тех компонент, которые будут признаны несущественными. В резуль­тате произойдет сокращение (редуцирование) числа переменных. Метод главных компонент прекрасно иллюстрирует основную идею факторного анализа. Она состоит, во-первых, в сокращении данных, во-вторых, в их классификации. С этой целью определяются степени корреляции между различными переменными. Переменные, для которых характерна сильная корреляция, считаются основополагаю­щими для данной системы, именно их относят к ее структуре. Таким образом, к факторному анализу относят не только метод главных компонент, но и корреляционный анализ. К нему же следует отнести и метод максимального правдоподобия.

Основная идея этого метода состоит в задании некоторого образ­ца правдоподобия. Делается это, как правило, на основании проб­ного исследования или же заранее известного соотношения. Иначе говоря, задается некоторый эпистемологический образец. Допустим, перед исследователем стоит задача определения количества красных и черных шаров в урнах. Пробное исследование показывает, что в одной из урн из десяти вынутых шаров восемь оказались черными. Выдвигается предположение, что пропорция между разноцветными шарами актуальна и для этой урны, и для других урн. Метод макси­мального Правдоподобия позволяет запустить процесс исследования, шаг за шагом характеризуя возможные отклонения от выбранного образца.

Регрессионный анализ. Он проводится с целью определения урав­нения, объединяющего зависимую переменную Y с независимыми переменными Х_г Если известна степень зависимости Г от X., то можно предсказать, как ее величина меняется в соответствии с из­менениями Х_г Не всегда, но наиболее часто линейную регрессию определяют как прямую:

Y= а₀ + bjX_t + Ь₂Х₂ + ... + ЪХ_п.

Коэффициенты b_i характеризуют степень вклада независимых переменных в величину Y. Но при выборе прямой необходимо ис­пользовать некоторый критерий, который бы позволил выделить одну функцию из совокупности линейных зависимостей. С этой целью часто используется метод наименьших квадратов, позволяю­щий минимизировать сумму квадратов отклонений реально наблю­даемых Уот их постулируемых величин.

Метод наименьших квадратов был разработан более двухсот лет тому назад К. Гауссом и А. Лежандром. Как они выяснили, миними­зировать нужно именно сумму квадратов отклонений, а не сумму отклонений. Можно показать, что сумма квадратов уклонений от­дельных измерений от выборочного среднего будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Сам концепт выборочного среднего таков, что вызывает к жизни метод наименьших квадратов.

Небезынтересно отметить, что первоначально термин «регрессия» был использован английским антропологом и психологом Фрэнси­сом Гальтоном (1886). Он имел в виду, что рост детей третьего поко­ления отличается от среднего роста людей трех поколений меньше, чем средний рост их родителей. Это интерпретировалось как «воз­врат к среднему». Разумеется, сторонникам регрессионного анали­за нет резона говорить о возврате к среднему. Но, как нам представ­ляется, у них есть возможность утверждать, что регрессионный анализ выделяет такие величины параметров и, соответственно, их зависимостей, которые по значимости превосходят величины, по­лученные непосредственно в измерениях.

Анализ временных радов. Временной ряд — это значения перемен­ных, относящиеся к некоторой совокупности моментов календар­ного времени. Исходная задача состоит в выделении структуры, обычно в форме некоторого тренда, временного ряда. Различают стационарные, слабостационарные и нестационарные ряды. Вре­менной ряд считается слабостационарным, если порождающий его механизм не меняется во времени, а процесс достиг статистического равновесия. Если безусловное математическое ожидание, дисперсии и ковариации процесса не зависят от времени и конечны, то процесс называется слабостационарным. При наличии отклонений от сла- бостационарности процесс называется нестационарным. Наиболее часто встречающимся и сложным для анализа является особый тип нестационарных процессов, так называемые ряды, стационарные в разностях, или интегрированные ряды порядка d. В простейшем случае d = 1. Смысл введения оператора разности первого порядка состоит в том, что ряд y_t является нестационарным, но его разность у,—у,_₁ является слабостационарным случайным процессом. Опера­торы разности позволяют преобразовать нестационарные ряды в слабостационарные, тем самым как раз и выявляется их неочевидная структура. Рассмотрим в этой связи анализ временных рядов, про­веденный К. Грэйнджером, удостоенным за него Нобелевской премии в области экономики за 2003 год.

К. Грэйнджер первым показал, каким образом может быть выяс­нена коинтеграция интегрированных случайных процессов. В случае изучения связи двух интегрированных первого порядка случайных процессов она сводится к оценке посредством ряда тестов уравнения: у= а + рх/. Для наших методологических целей нет необходимости входить в детали эконометрического анализа временных рядов. Сказанного достаточно для перехода к методологическим коммен­тариям.

Впечатляет многоступенчатый эконометрический и статистиче­ский анализ временных рядов, приводящий, в конечном счете, к нетривиальным результатам. В его отсутствие в принципе не удалось бы выявить долгосрочную взаимосвязь между экономическими переменными. А ведь это является существенной стороной эконо­мической теории. Весьма показательным является также и такой момент. До разработки методов анализа коинтегрированных отно­шений исследователи часто сталкивались со случаями ложной кор­реляции между значениями переменных. А это означало, что не удавалось непротиворечиво согласовать различные уровни эконо­мической науки, ее концептуальный фундамент и эконометрику. Желаемая гармония была достигнута, но, разумеется, она не явля­ется окончательной. Грэйнджер не без надежды на новый рост на­учного знания, относящегося к временным рядам, отмечает, «что процесс, посредством которого достигается удовлетворительная спецификация модели и затем осуществляется оценивание, остает­ся спорным»^{[46] [47]}.

Непараметрический анализ. Статистический анализ дает особен­но впечатляющие результаты в том случае, если выборка достаточно велика, а распределение случайной величины является нормальным

(вспомните колоколообразную кривую). В случае нормального рас­пределения плотность вероятности случайной величины X опреде­ляется ее математическим ожиданием и дисперсией, равной а². Решающая особенность нормального распределения состоит в том, что вероятность отклонения случайной величины от ее математи­ческого ожидания резко убывает с ростом дисперсии. Вероятность отклонения от математического ожидания случайной величины всего лишь на За составляет менее 0,003. В сложных, нетипичных случаях приходится использовать особые методы анализа. При этом уже не определяются среднее выборочное. Поэтому говорят о непа­раметрическом анализе.

Непараметрический анализ развивается в двух направлениях. Во-первых, стремятся найти такие черты параметрического анали­за, которые устойчивы (робастны), малочувствительны к тем или иным отступлениям от классических статистических методов. Если эти черты найдены, то они используются в непараметрическом анализе. Во-вторых, изобретаются новые статистические подходы, не имеющие аналогов в классическом анализе. В любом случае ис­следователи не принимают результаты измерений как всего лишь данные, они их непременно обрабатывают (интерпретируют). Выход из затруднительных ситуаций всегда находится. Лишен смысла подсчет математического ожидания, можно определить, например, медиану (т). Случайная величина принимает значения как большие, так и меньшие т с вероятностью V₂. Лишен смысла анализ всей выборки, можно разбить ее на такие части, анализ которых уже уместен. В конечном итоге непараметрический анализ позволяет существенно упорядочить картину первоначальных данных.

Проверка статистических гипотез. Поскольку все результаты из­мерений имеют статистический характер, постольку особенное значение приобретает проверка их состоятельности. В этой связи реализуется специфический метод.

1. Формулируется так называемая нулевая #₀ и альтернативная ей Я, гипотеза.

2. Вычисляется тестовые значения избранной выборки.

3. Определяется так называемый уровень значимости а.

4. При избранном уровне значимости а избирается критерий к, который бы обеспечивал наименьшую вероятность так называемой ошибки второго рода, т.е. принятия Я₀, при условии что она не вер­на. Ошибка первого рода совершается тогда, когда отклоняется нулевая гипотеза, при условии что она верна.

Философское обсуждение. Заканчивая раздел, следует обратить особое внимание на его смысл. Как правило, эксперимент расцени­вается в двух его качествах. Утверждается, что он необходим а) для проверки теории, б) для выработки новой теории. Это, безусловно, актуально. Тем не менее основная направленность данного парагра­фа иная. Мы обращаем особое внимание на линию трансдукцию, которая достигла эксперимента, пройдя полустанки принципов, дедуктивных законов и моделей. Нам было важно понять представ­ление потенциала первых ступеней внутритеоретической трансдук- ции на стадии обработки экспериментов. Обсуждалось не соотно­шение эксперимент теория, а место обработки результатов эксперимента в линии трансдукции.

Эксперимент поставляет факты. Принято считать, что именно факты являются действительно невымышленными объективными событиями; они первичны по отношению к теории, которая необ­ходима для их осмысления. На вопрос «Что именно существует?» отвечают: «Факты». Но существуют ли принципы, законы, модели? Фактуалисты признают их существование лишь в случае, если они сводятся к фактам. Законы, утверждают они, выражают связь фактов. Как нам представляется, фактуалисты абсолютизируют значимость фактов. Именно поэтому они считают факты первичным звеном во всех концептуальных построениях. Мы же предлагаем факты считать промежуточным, а не первичным или заключительным звеном вну­тритеоретической трансдукции. Линия трансдукции от фактов ведет исследователя дальше. К чему? Это ключевой вопрос обсуждаемой проблематики.

Мы предлагаем считать, что фактуальный анализ как этап тран­сдукции ведет к референтам (от лат. referre — докладывать, сообщать). Референтами называют людей, пишущих или сообщающих доклад. Но референтами называют также те объекты с их признаками, к которым относят знаки ментальной или лингвистической формы. Факт по определению не нуждается ни в слове, ни в ментали. Он в своей самостоятельности индифферентен ко всему остальному. Референт в отличие от факта органично входит в состав теории. Референты и эмпирические законы — это заключительные звенья статистического анализа. К референтам ведет особая стадия кон­цептуальной трансдукции, референция.

Лишь после всестороннего анализа референции можно сказать, что же действительно существует. Как известно, вопрос о существо­вании реальности считается предметом онтологии (от греч. on — сущее)¹. Патриарх американской аналитической философии Уил­лард Куайн пришел к трем актуальным выводам относительно онтологических проблем.

1. Все объекты теоретичны^{[48] [49]}. Имеется в виду, что знания об объ­ектах мы черпаем из теории. Что именно представляют собой объ­екты, исследователи узнают из теорий.

2. Существовать — значит быть значением переменной^[50]. Что имен­но признается существующим? То, что присутствует в дедуктивных научных законах, которые, как известно, записываются посредством переменных. Но отсюда как раз и следует вынесенное в начало аб­заца положение.

3. Референция непостижима^[51]. Референция как обозначение объ­ектов словами и другими знаками кажется вполне очевидной опе­рацией. Но выясняется, что это не так. Даже в случае остенсивного определения, указывания пальцем на что-либо, неясно, на что имен­но указывается, то ли на все тело, то ли на его часть. Многим словам, в частности союзам, предлогам, междометиям, остенсивные опре­деления вообще противопоказаны. Итак, референция как самосто­ятельный акт, не опосредованный языком, в принципе невозможна. Несостоятельность референции кладет конец «мифу р музее», со­гласно которому каждому объекту соответствует слово.

Каждый из этих трех выводов во многом правилен, но они не лишены недостатков. Теории действительно поставляют знания об объектах. Но необходимо также учитывать относительную самосто­ятельность объектов. Сами объекты не детерминируются теориями. Связь между объектами, ментальностью и языком не имеет причин­ного характера.

Переменные, фигурирующие в дедуктивных законах, действи­тельно имеют прямое отношение к признакам объектов. Но, рассу­ждая о реальности, недостаточно всего лишь подчеркивать связь переменных с признаками объектов. Поступая таким образом, можно пройти мимо и интервальных величин, и выборочных сред­них, и неопределенностей. Существует то, что выявляется в процес­се референции.

Куайн считал референцию непостижимой. Такой вывод стал результатом чрезвычайно обедненного представления о референ­ции, понимаемой как обозначение знаками объектов и их призна­ков. Но, на наш взгляд, референцию следует понимать как само­стоятельный этап трансдукции. В таком случае ее содержание нетривиально, а сама она вполне возможна. Более того, без рефе­ренции невозможно понять смысл теории, в том числе ее дедуктив­ных законов. Референциальный анализ показывает, что в принци­пы и дедуктивные законы входят особые переменные, а именно, выборочные средние, в том числе вероятности и неопределенности. Короткое выражение «существуют объекты и их признаки» дает лишь первое представление о мире реального. Существуют и прин­ципы, и законы, и объекты с их признаками. Но при этом нелишне специально выделить статистические особенности признаков. Триумф в постижении реальности недостижим без выработки мо­дели, последующего планирования эксперимента, проведения измерений и, наконец, интерпретации полученных данных, что и выступает как референция.

Комментируя материал данного раздела, трудно не вспомнить о вероятностной революции, ставшей, пожалуй, самой знаковой чертой развития науки XX столетия. В этой связи особенно большое значение имело изобретение сначала квантовой механики в 1920-х гг., а затем, спустя два десятка лет, вероятностно-игрового подхода в экономиче­ских науках. В первом случае отличились такие выдающиеся ученые, как В. Гейзенберг и В. Шредингер, во втором — Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн. Разумеется, их усилия были поддержаны многими другими великолепными учеными, причем из самых различных об­ластей знания. .

Вероятностная революция в науке неоднократно осмысливалась в существующей литературе. Но при этом, как нам представляется, не уделялось должного внимания необходимости переосмысления концептуального устройства наук. В этом плане существенно пред­ставить концептуальную трансдукцию в таком виде, чтобы макси­мально выразительно были представлены вероятностно-статистиче­ские представления. В этом смысле непреходящее значение имеет именно стадия референции. А сама она, представленная в вероят­ностно-статистическом виде, придает трансдукции такую степень целостности, которой она ранее никогда не обладала.

Дискурс

Ч.: Статистический метод — это математический метод?

А.: Его характеристика зависит от существа той науки, в которой он используется. В физике используется физический статистический метод, в экономике этот метод принимает экономический вид.

Ч.: Но ведь всегда используется аппарат математической статистики. Следовательно, метод является математическим.

А.: Когда используется математическая статистика, то осуществляется математическое моделирование соответствующего уже нематема­тического статистического метода. Рассмотрим в качестве примера физический статистический метод. В нем разъясняется путь от фи­зических экспериментальных данных к физическим эмпирическим законам. На этот счет математическая статистика безмолвствует. Математическая статистика изоморфна нематематическим видам статистики. Но это не означает, что она выражает ее суть.

Ч.: На мой взгляд, не следует отождествлять статистику как теорию поведения совокупностей индивидов определенной природы со статистикой как методом перехода от результатов экспериментов к выборочным средним и эмпирическим законам.

А.: Полностью с Вами согласен.

Выводы и рекомендации

■ Результаты экспериментов осмысливаются посредством статисти­ческого метода.

■ Важнейшими концептами статистического метода являются выбо­рочное среднее, вероятность, математическое ожидание.