<<
>>

ГЛАВА I ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ ПАЛЬЦЕВ

Чтобы объяснить образование языков, я начал с рассмотрения языка действия. А исчисление при помощи пальцев — это первое исчисление, как язык действия — первый язык. Чтобы объяснить образование всех видов исчисления, я начну, таким образом, с рассмотрения исчисления при помощи пальцев.

Последовательно разгибая пальцы одной руки, мы представляем себе ряд единиц от одной до пяти; мы расширяем этот ряд до десяти, если разгибаем последовательно пальцы двух рук.

Итак, я называю счетом (numeration) это действие пальцев, благодаря которому мы представляем себе одну единицу, две, три, и так до пяти или до десяти.

Ясно, что для того, чтобы произвести на пальцах счет свыше десяти, я должен лишь принять десять за единицу; и тогда, если я снова буду последовательно, один за другим, разгибать пальцы, я образую ряд, который будет простираться до десяти раз по десять, или до ста. Таким же способом я буду образовывать ряды до десяти раз по сто или до тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и т. д.

Но если мы не хотим все перепутать, нам нужно различать при помощи названий числа, из которых эти ряды будут образованы, и, следовательно, названия станут так же необходимы для исчисления, как сами пальцы. Поэтому мы вскоре рассмотрим употребление названий в исчислении. ^

В счете числа последовательно увеличиваются на еди-< ницу, по мере того как последовательно разгибаютбВ пальцы. Если, сосчитав, например, до десяти, я загибаю один за другим пальцы, числа уменьшаются так же, как они увеличивались, т. е. последовательно на единицу. Я называю это действие пальцев отсчитыванием (denume- ration). Да будет мне позволено ввести это слово, потому что оно необходимо. Я дам еще другие названия, но обещаю для компенсации отбросить много бесполезных названий;

Можно видеть, что если счет создает числа, то отсчиты- вание их разрушает; эти два действия противоположны друг другу, как загибание пальцев противоположно их разгибанию.

Эти два действия весьма просты, тем не менее все виды исчисления сводятся к ним.

Можно будет заменить пальцы другими знаками, можно будет придумать более удобные и быстрые методы, но несомненно, что по существу исчислять всегда будет означать лишь считать и отсчитывать. В самом деле, мы увидим в этих двух действиях сложение и вычитание, умножение и деление.

Счет создает числа путем последовательного прибавления единиц друг к другу. Но, подобно тому как ребенок шагает через две ступеньки, после того как он ступал на каждую, я могу благодаря навыку исчисления прибавлять сразу две единицы к двум, к трем и находить число, которое получается, так же, как я нашел бы его, прибавляя единицы друг к другу. Очевидно, что это действие является по существу тем же самым, что и счет, но отличается от него лишь тем, что делает сразу то, что счет делает постепенно. Вот что называют сложением: это счет более быстрый, чем счет в узком смысле слова. Следовательно, счет и сложение по существу одно и то же, подобно тому как подниматься по лестнице, шагая через две ступеньки, и подниматься, ступая на каждую, в сущности не что иное, как подниматься.

Суммой называется число, которое отыскивается путем сложения. Значит, если я соединю разогнутые пальцы одной руки с разогнутыми пальцами другой, я произведу сложение и увижу в этом соединении сумму, данную сложением.

Но, подобно тому как я прибавил сразу несколько единиц, я мог бы сразу несколько единиц вычесть. Если я хочу из пяти вычесть два, мне нужно лишь загнуть два пальца на руке, где у меня пять; а если я хочу вычесть из десяти, которые я представляю себе при помощи двух открытых ладоней, пять, я должен лишь убрать одну руку и согнуть на ней пальцы.

Это действие, которое разрушает то, что сделало сложение, называется вычитанием. Оно отличается от отсчиты- вания только тем, что сразу разрушает то, что отсчитыва- ние разрушает лишь в несколько приемов. Вычитание отбрасывает сразу несколько единиц, а отсчитывание — одну за другой.

Число, которое остается, после того как сделано вычитание, называется остатком или разностью.

Мы скоро увидим употребление этих двух названий.

Если бы я хотел взять два столько раз, сколько имеется единиц в трех, я мог бы разогнуть два пальца, затем два других, наконец, еще два, и я имел бы в шести разогнутых пальцах число шесть. А это есть не что иное, как сложение.

Но если бы благодаря навыку исчисления я знал, что дважды три равняется шести, тогда, вместо того чтобы разгибать два пальца, затем два других, затем еще два, я разогнул бы шесть пальцев.

Этому сложению, произведенному сразу, я дам отдельное название, чтобы отличить его от сложения, сделанного в несколько приемов; я назову его умножением.

Следовательно, умножение по существу — это лишь сложение; но, когда я свыкнусь с этими названиями, я буду склонен думать, что умножение и сложение суть две различные вещи, потому что «умножение» и «сложение» — два различных названия; и возможно, я буду вынужден вспомнить, что это одно и то же действие, которое я называю умножением, когда рассматриваю его как произведенное с первого раза, и сложением, когда рассматриваю его как произведенное в несколько прие? мов.

Умножение потребовало для чисел различных названий, потому что оно заставляло рассматривать их с различных точек зрения. Таким образом, множимым называется число, которое должно быть помножено; множителем — число, на которое умножают, а произведением — число, получаемое в результате умножения. Кроме того, под общим названием множителей понимают множитель и множимое, когда их рассматривают как действующие совместно для получения произведения. Например, если два ^ множимое, а три — множитель, то шесть будет произведением, и это произведение будет иметь в качестве множите* лей три и два. По этому поводу нужно заметить, что любо& из множителей может быть принят за множимое или множитель. Ибо если, например, умножают два на три или три на два, произведение будет всегда шесть.

Чтобы понять преимущество умножения перед сложением, нужно было бы произвести эти действия с большими числами; но прежде посмотрим, как можно выразить большие числа при помощи пальцев. . Ч

Если я принимаю мизинец за знак простой единицы, то следующий палец я могу принять за знак единицы десятков. Соответственно средний палец будет означать единицу сотен, указательный — единицу тысяч, а большой — единицу десятков тысяч. Таким образом, при помощи одной руки с разогнутыми пальцами я смогу выразить число десять тысяч плюс тысяча плюс сто плюс десять плюс один, или, как мы выражаемся, одиннадцать тысяч сто одиннадцать.

В этом выражении единицы увеличиваются таким образом, что каждая содержит десять раз ту, которая ей непосредственно предшествует, и благодаря этой пропорции каждая из них относится к различному разряду: простая единица, единица десятков, единица сотен и т. д.

Если каждый палец одной руки с разогнутыми пальцами выражает только один разряд единиц, то легко себе представить, как при помощи пальцев другой руки можно было бы прибавлять единицы любого разряда.

Предположим, что к десять плюс один, которое мы выражаем, разгибая мизинец и безымянный палец, мы захотели бы прибавить девять простых единиц, тогда искомая сумма будет десять плюс один плюс девять, иначе — десять плюс десять, или два десятка. Если один из этих двух десятков выражен при помощи разогнутого безымянного пальца правой руки, то другой десяток будет обозначен при помощи разогнутого безымянного пальца левой руки; и чтобы отметить, что простых единиц нет, мы загнем мизинец, являющийся их знаком; мы загнем безымянный палец, когда число не будет содержать десятков, средний — когда оно не будет содержать сотен, и т. д.

Не следует пренебрегать замечанием, что когда пальцы становятся знаками чисел, то числа естественно разбиваются на такие разряды единиц, из каких мы их составили; и это не удивительно, так как если мы считаем до десяти, чтобы сделать из каждого десятка единицу, умножаемую з&тем снова на десять, то это происходит из-за того, что у нас десять пальцев. Поэтому система счета, которую нас заставила принять природа, всегда ясно показывает нам, как составляется и расчленяется каждое число,— преимущество, которого не имеют наши языки. Например, мы говорим семьдесят два, а пальцы говорят семь десятков плюс два — выражение, которое мы предпочтем, чтобы следовать аналогии языка, данного природой.

Теперь допустим, что нужно умножить двенадцать на двенадцать. Если мне нужно было бы последовательно изобразить при помощи пальцев двенадцать раз по двенадцать и произвести такое сложение, это действие было бы долгим и неудобным. Не легче ли произвести умножение? То, что нужно отыскать, нашлось бы без большого труда, если бы число было лучше названо или если бы слово двенадцать еще напоминало латинское слово, из которого оно было образовано путем искажения.

В самом деле, двенадцать по-латыни, как и на пальцах,— это десять плюс два 2 — выражение, показывающее, из каких разрядов единиц составлено это число и сколько их из каждого разряда оно содержит. Ведь очевидно, что если бы числа всегда имели только подобные названия, то наши языки, которые позволяли бы нам замечать происхождение этих названий, показали бы нам, как можно составлять и расчленять числа, и, следовательно, естественно привели бы нас к нахождению методов исчисления. У меня не раз будет случай обратить внимание на то, что трудность выработки хороших основ [рассуждения] частично происходит из-за языка, который был плохо создан и на котором мы упорно говорим, потому что на нем говорили до нас.

Таким образом, вместо двенадцати я подставляю десять плюс два и замечаю, что если невозможно сразу умножить десять плюс два на десять плюс два, то я могу (что то же самое) произвести это умножение в два приема, т. е. я могу умножить десять плюс два сначала на десять, а затем на два или, что часто будет удобнее, на два, а затем на десять. Итак, я говорю при помощи пальцев: два раза по два равно четырем, и два раза по десяти равно двум десяткам — первое частичное умножение, которое дает два десятка плюс четыре единицы.

Затем я говорю: два раза по десять равно двум десяткам; и десять раз по десять равно сотне — второе частичное умножение, которое дает сотню плюс два десятка.

Ясно, что благодаря этим двум действиям я умножил; десять плюс два на десять плюс два и что для получения всего произведения мне нужно было лишь сложить два частичных произведения, которые они мне дали. Я получаю: одна сотня плюс два десятка плюс два десятка плюс четыре и, приводя к более простому выражению,— одш сотня плюс четыре. десятка плюс четыре — сто сорок четыре. "3

Благодаря этому примеру понятно, что для того, чтобы найти правила умножения, достаточно дать числам названия, аналогичные счету при помощи пальцев. Это соображение не следует забывать.

Как бы ни был прост метод, который мы только что нашли, будет трудно или даже невозможно умножать при помощи одних только пальцев очень сложные числа. Но пальцы, принятые за знаки чисел, могут служить и другими знаками, которые мы откроем и при помощи которых легко будем умножать самые большие числа. Именно знаки, известные нам, должны привести нас к знакам, которых мы еще не знаем; и мы пойдем от одного открытия к другому, потому что будем идти от известного к неизвестному.

Умножение дает такой же результат, как если бы производилось сложение одного из множителей столько раз, сколько единиц содержит другой множитель. Значит, чтобы разрушить то, что сделало умножение, было бы достаточно произвести вычитание. Но при этом способе нужно было бы долго разлагать произведение на его множители. Следовательно, речь идет о том, чтобы заменить вычитание в узком смысле слова вычитанием, которое делается более коротким способом; и так как это вычитание разделит произведение, данное умножением, мы назовем его делением.

Умножение заставило нас дать числам особые названия, так как потребовало рассматривать их с новой точки зрения. Стало быть, чтобы выразить новые точки зрения, с которых нас заставит их рассматривать деление, надо будет дать им еще и другие названия. Соответственно, мы, как и все, дадим название делимое числу, которое требуется разделить, название делитель числу, на которое делят другое число, и название частное числу, которое выражает, сколько раз делитель содержится в делимом. Предположим, шесть нужно разделить на два; шесть будет делимое, два — делитель, а три — частное. ^ Всякое число, которое нужно разделить, можно рассматривать как произведение двух множителей, один из которых называется множителем, а другой — множимым. Значит, число, которому мы при делении даем название делимого,— то же самое, что и число, которое мы назвали произведением при умножении. Точно так же делитель и частное — это не что иное, как два множителя.

Я согласен, что это множество названий может привести в замешательство начинающих, тем более что названия множимое, делимое и частное являются варваризмами в нашем языке; но в нем нет иных названий. Так же как не мы создали науки, не мы создали их языки; мы обречены говорить на языке, совершенно отличном от нашего. Отсюда проистекает то, что нам очень трудно усваивать идеи, которые связывают со словами, являющимися француз^ скими лишь по окончанию. Поэтому в подобном случае аналогия не оказала бы никакой помощи, и при этом бывает, что мы полагаем, будто видим столько же различных вещей, сколько есть различных названий, хотя на самом деле все они обозначают одну и ту же вещь. Это — заблуждение, которого нужно остерегаться с юных лет, ибо, если бы начинали с путаницы, она не позволила бы преуспевать в изучении исчисления. Трудом приобретали бы не больше сноровки, чем утрачивали бы ее, как только переставали трудиться, и пришлось бы постоянно переучиваться, потому что учились бы плохо. Многие из моих читателей узнают здесь себя; они вспомнят, что были вынуждены изучать деление не один раз и в тот же миг его забывали. Я сам хорошо это помню. Давайте посмотрим, как это действие может производиться.

Раз всякое делимое есть произведение двух чисел, умноженных друг на друга, и, следовательно, делитель есть один из множителей, то понятно, что, если даны произведение и один из множителей, цель деления — найти другой множитель. Например, когда мне нужно разделить шесть на два, произведение дано мне в делимом шесть, один из множителей дан в делителе два и я нахожу другой множитель в частном три.

С такими числами деление кажется легким, потому что делается с первого раза. Но не нужно думать, что оно станет трудным с большими числами. Оно будет только более длинным, ибо потребуется повторять одно и то ЖЬ действие, потому что нельзя будет закончить деление одно действие. Значит, будет произведено несколько час'* тичных делений, подобно тому как мы произвели несколько частичных умножений; и раз каждое частичное деление будет одинаково легким, полное деление, которое будет его результатом, не вызовет больших трудностей. Наша цель в этом случае — найти наиболее быстрый метод. Ведь если мы замечаем, благодаря чему умножение производится быстрее, чем сложение, мы откроем, благодаря чему деле^ ние также может производиться быстрее, чем вычитание.

Итак, предположим, что сто сорок четыре нужно разделить на двенадцать. Я беру этот пример, так как, поскольку мы знаем, что это число является произведением двенадцати на двенадцать, нам легче будет делать наблюдения.

Когда я нашел это произведение, мои пальцы, которые разложили двенадцать на десять плюс два, разложили и сто сорок четыре на сто плюс четыре десятка плюс четыре. Таким образом, выражение делимого — это сто плюс четыре десятка плюс четыре, а выражение делителя — десять плюс два; и так как одно из этих выражений является произведением умножения, а другое — одним из двух множителей, то, конечно, разрушая то, что сделало умножение, я найду второй множитель под названием частного.

Так же как я произвел умножение в два приема, я произведу в два приема деление; я произведу два частичных деления, так же как я раньше произвел два частичных умножения.

Но деление есть противоположность умножения. Порядок, в каком я должен действовать, чтобы разделить, будет, таким образом, обратным порядку, в каком я действовал, чтобы умножить. Ведь я начал умножение с последнего члена два множителя десять плюс два, значит, я начну деление с первого члена десять делителя десять плюс два.

Соответственно я говорю: сто есть произведение десяти на десять, значит, десять содержится десять раз в ста, значит, сто, разделенное на десять, дает десять в частном; это три предложения, которые по сути дела являются одним и тем же и которые с помощью пальцев выражались бы одинаково.

Но десять, являющееся первым членом частного, умножило не только десять, но еще и два; и как, умножая десять, оно произвело сто, умножая два, оно произвело два десятка. Следовательно, путем вычитания этих произведений первое частичное деление разрушит то, что было сделано последним частичным умножением. Ведь тот, кто из сто плюс четыре десятка плюс четыре вычитает сто, оставляет в остатке два десятка плюс четыре.

Вот как я разложил произведение последнего частичного умножения, и я уверен, что десять есть первый член частного, которое я ищу.

Остаток два десятка плюс четыре должен быть произвел дением первого частичного умножения, т. е. десяти плюс два на другое число, и, следовательно, это число, каково бы оно ни было, также умножено на десять и два. Следовательно, если я нахожу множитель десяти, то я буду иметь в нем и множитель двух, и, стало быть, я буду иметь в этом самом множителе также делитель двух десятков плюс четыре.

Итак, число, которое, умножая десять, дало два десятка, есть два. Значит, два является, кроме того, числом, которое умножило два и дало четыре, значит, два является делителем двух десятков плюс четыре.

Теперь, если из остатка два десятка плюс четыре я вычту произведение десяти плюс два на два, ничего не останется. Следовательно, я разрушил произведение первого частичного умножения; деление закончено, и десять плюс два есть частное ста плюс четыре десятка, разделенного на десять плюс два.

Ясно видно, что деление разрушает то, что сделало умножение, и что если, с одной стороны, умножение может рассматриваться как сложение, то с другой — деление может рассматриваться как вычитание.

Мы начали умножение с двух — последнего члена множителя, и, наоборот, деление мы начали с десяти — первого члена делителя. И если в делении мы следовали порядку, противоположному тому, какому следовали в умножении, то поступали так потому, что эти два действия противоположны друг другу. В самом деле, такой порядок наиболее удобен.

Наконец, чтобы получить полное умножение, мы произвели два частичных умножения, потому что в множителе имеются два члена и нужно умножать и на тот и на другой.

Подобным же образом мы произвели два частичных де^ ления, чтобы получить полное деление, потому что два члена в делителе заставили произвести два деления.

Понятно, что в подобном случае умножение и деление, каким бы сокращенным способом их ни производил^ завершаются лишь после того, как произведено несколько частичных действий. Число действий будет равно числу членов множителя, если речь идет об умножении, и числу членов делителя, если речь идет о делении.

Перед нами уже много понятий, которые мы образовали. Я часто буду иметь случай напомнить о них, и постепенно можно будет освоиться с ними. В самом деле, ясно, что эти первые понятия должны быть обнаружены во всех исчислениях. Значит, только исчисляя, мы научимся исг числять, подобно тому как, только говоря, мы научились говорить. Если бы всякий раз, собираясь заговорить, люди сначала обращались за советом к грамматике, то либо, чтобы изучить свой язык, им потребовалось бы много времени, либо они так никогда и не изучили бы его. Ведь не так учит нас природа: все, чему она хочет нас научить, она заставляет нас делать. Итак, мы будем исчислять, чтобы научиться исчислять, и если каждый раз мы станем обращать внимание на то, что делаем, то будем обучаться, потому что сумеем повторить то, что уже сделали. Но не будем торопиться, и тогда мы пойдем более уверенно и скоро придем [к цели]. Поэтому сейчас я требую от начинающих только одного, а именно чтобы они уловили последовательность моих рассуждений в этой главе. Если они ее уловили, они не забудут ее, а если забудут, то найдут вновь; они будут хорошо знать ее, когда снова найдут ее сами, и смогут легко исчислять, когда будут иметь более удобные знаки. Мне не следует знакомить их с этими знаками: они сами должны увидеть их в том, что они знают, и я утверждаю, что они их откроют.

<< | >>
Источник: ЭТЬЕНН БОННО ДЕ КОНДИЛЬЯК. Сочинения в трех томах. Том 3. Мысль - 338 с.. 1983

Еще по теме ГЛАВА I ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ ПАЛЬЦЕВ:

  1. ГЛАВА XIV ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ КАМЕШКОВ. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ
  2. Формирование индивидуального опыта с помощью и без помощи экспериментатора, а также при наблюдении за поведением других
  3. ГЛАВА ПЕРВАЯ О ДЕЙСТВИИ, ПРИ помощи КОТОРОГО МЫ УСТАНАВЛИВАЕМ ЗНАКИ ДЛЯ НАШИХ ИДЕЙ
  4. ГЛАВА VII ПРИ ПОМОЩИ КАКИХ НАБЛЮДЕНИЙ И РАССУЖДЕНИЙ УДАЛОСЬ УБЕДИТЬСЯ В ДВИЖЕНИИ ЗЕМЛИ
  5. ГЛАВА 4 РАЗВИТИЕ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СЛОЖНОКООРДИНИРОВАННЫХ ДВИЖЕНИЙ КИСТЕЙ И ПАЛЬЦЕВ РУК
  6. ГЛАВА IV ПОЧЕМУ МЫ СКЛОННЫ ПРИПИСЫВАТЬ ЗРЕНИЮ ИДЕИ, КОТОРЫМИ МЫ ОБЯЗАНЫ ТОЛЬКО ОСЯЗАНИЮ; ПРИ ПОМОЩИ КАКОГО РЯДА РАССУЖДЕНИЙ УДАЛОСЬ УНИЧТОЖИТЬ ЭТОТ ПРЕДРАССУДОК
  7. ГЛАВА II ОБ УПОТРЕБЛЕНИИ НАЗВАНИЙ В ИСЧИСЛЕНИИ
  8. Глава 11. ИСЧИСЛЕНИЕ СРОКОВ
  9. 5.5. Коррекцйонно-педагогическая помощь при аутизме
  10. Раздел VI. ПРАВА ГРАЖДАН ПРИ ОКАЗАНИИ МЕДИКО-СОЦИАЛЬНОЙ ПОМОЩИ
  11. МОДУЛЬ 11.2. КАК ПРИ ПОМОЩИ ТЕЛЕВИЗИОННЫХ ПРОГРАММ ПРОБУЖДАЕТСЯ ИНТЕРЕС К ЧТЕНИЮ
  12. 9.2. Золотое кольцо на Вашем пальце весит три тонны