<<
>>

ГЛАВА I ОБ ОЧЕВИДНОСТИ РАЗУМА

Тождество Чтобы хорошо рассуждать, необходи-

есть признак м0 точно ЗНать, что такое очевид-

очевидности разума ' ^

ность, и уметь узнавать ее по одному

признаку, который полностью исключает всякого рода сомнения.

Предложение является очевидным или само по себе, или поскольку оно представляет собой очевидное следствие другого предложения, которое очевидно само по себе 4.

Предложение очевидно само по себе, когда тот, кто знает значение слов, не может сомневаться в том, что оно утверждает; таково предложение Целое равно своим частям, вместе взятым.

Почему же тот, кто в точности знает идеи, которые связывают с различными словами этого предложения, не может сомневаться в его очевидности? Потому что он видит, что оно тождественно, что оно не означает ничего, кроме того, что целое равно самому себе.

Если говорят: Целое больше, чем одна из его частей, то это опять-таки тождественное предложение, ибо это значит сказать, что целое больше, чем то, что меньше его.

Следовательно, тождественность есть признак, по которому узнают, что предложение является очевидным само по себе; а тождественность распознается, когда предложение может быть переведено в выражения, сводящиеся к формуле то же самое есть то же самое (le meme est Іе тёте).

Стало быть, предложение, очевидное само по себе,— это предложение, тождественность которого усматривается непосредственно в выражающих его словах.

Из двух предложений одно является очевидным следствием другого, когда из сравнения слов видно, что они утверждают одно и то же, т.

е. когда они тождественны. Значит, доказательство — это ряд предложений, в которых одни и те же идеи, переходя из одного предложения в другое, различаются лишь тем, что они по-разному вы- ражены, а очевидность рассуждения состоит исключительно в тождественности.

п Предположим, что нужно доказать

доказывающий это такое предложение: Площадь (rnesu- re) всякого треугольника есть произведение его высоты на половину его основания.

Конечно, в этих выражениях не видно тождества идей.

Значит, это предложение не является очевидным само по себе; значит, его нужно доказать, нужно показать, что оно — очевидное следствие очевидного предложения, или что оно тождественно тождественному предложению; нужно показать, что идея, которую я должен составить себе о площади всякого треугольника,— это та же самая идея, которую я должен иметь о произведении высоты всякого треугольника на половину его основания.

Для этого есть только одно средство, а именно сначала точно объяснить идею, которую я связываю со словами «измерить площадь», а затем сравнить эту идею с той идеей, которую я имею о произведении высоты треугольника на половину основания.

Но измерить площадь — это то же самое, что последовательно наложить на все ее части другую площадь определенной величины, например квадратный фут. Здесь тождественность заметна уже при одном взгляде на слова. Значит, это предложение относится к числу тех, которые нет нужды доказывать.

Но я не мог бы непосредственно приложить к треугольной поверхности определенное число квадратных поверхностей одинаковой величины, и здесь-то доказательство становится необходимым, т. е. мне нужно путем ряда тождественных предложений прийти к открытию тождественности предложения Площадь всякого треугольника есть произведение его высоты на половину его основания. Может быть, сначала это покажется Вам очень трудным, однако нет ничего проще этого.

Сначала я хочу обратить Ваше внимание на то, что знать измерение какой-нибудь величины и знать ее отношение к величине, размер которой известен, — одно и то же; например, нет разницы между знанием того, что величина данной площади — один квадратный фут, и знанием того, что она есть половина площади, о которой известно, что ее величина — два квадратных фута.

После этого Вы легко поймете, что если мы находим площадь, на которую мы могли бы наложить последова- тельно определенное число квадратных площадей одинаковой величины, то тотчас же, как мы откроем отношение величины площади треугольника к величине площади, которую мы измерили, мы узнаем размер площади треугольника.

Возьмем для цтого прямоугольник {рис.

1), т. е. поверхность, ограниченную четырьмя перпендикулярными линиями. Вы видите, что можете рассматривать его как составленный из нескольких маленьких площадей одной и

той же величины; все они одинаково ограничены перпендикулярными прямыми. Вы видите также, что все эти маленькие площади, взятые вместе,— это то же самое, что и целая поверхность всего прямоугольника.

Рис. 1

Ведь нет разницы между тем, чтобы разделить прямоугольник на одинаковые квадратные площади или наложить последовательно на все его части площадь определенной величины.

Итак, я рассматриваю разделенный таким образом прямоугольник и вижу, что число квадратных футов, которое он имеет в высоту, повторяется столько раз, сколько футов содержит его основание. Если на первом футе своего основания он имеет в точности три квадратных фута высоты, то он имеет также в точности три квадратных фута на втором, на третьем и на всех других. Эта истина заметна на глаз, но ее легко проверить при помощи тождественных предложений.

В самом деле, прямоугольник представляет собой дло- щадь, четыре стороны которой перпендикулярны друг другу.

У площади, стороны которой перпендикулярны, противоположные стороны параллельны, т. е. одинаково удалены друг от друга во всех противоположных точках своей длины.

Площадь, противоположные стороны которой одинаково удалены во всех точках, противоположных ее длине, имеет одинаковую высоту по всей длине своего основания.

Площадь, имеющая одинаковую высоту по всей длине своего основания, имеет столько же футов в высоту, сколько ее основание имеет футов в длину.

Все эти предложения тождественны. Они суть лишь различными способами выраженное предложение Прямоугольник есть прямоугольник.

Следовательно, измерить прямоугольник, наложить последовательно на все части его поверхности площадь определенной величины, разделить его площадь на равные квадраты, взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько футов имеет в длину его основание,— это значит сделать одно и то же несколькими различными способами.

Если это так, то больше нет необходимости ни в том, чтобы делить площадь на маленькие квадраты, ни в том, чтобы последовательно накладывать на различные части площадь определенной величины; взяв число футов в высоту столько раз, сколько имеется футов в основании, мы получим точные размеры данной площади.

Таким образом, можно заменить предложение Измерить прямоугольник — значит взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько он имеет футов в основании предложением, с которого мы начали: Измерить прямоугольник — значит последовательно наложить на его различные части площадь определенной величины.

В самом деле, взглянув на эти выражения, мы не узнали, что эти два предложения являются по существу одним предложением, но тождество не могло от нас ускользнуть, когда мы стали его разыскивать в ряде промежуточных предложений.

Мы видели, что одна и та же идея переходит из одних предложений в другие, а изменяется лишь способ, которым она выражается.

Доказать — значит осуществить перевод очевидного предложения, придавая ему различные формы до тех пор, пока оно не станет предложением, которое требуется доказать. Это значит изменять слова, которыми выражено предложение, и прийти через посредство ряда тождественных предложений к заключению, тождественному тому предложению, из которого оно непосредственно выводится. Нужно, чтобы тождественность, незаметная, когда проходят через промежуточные предложения, была бы явной при одном только взгляде на выражения, когда непосредственно переходят от одного предложения к другому.

Предложение, которое мы только что доказали: Измерить прямоугольник — значит взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько футов содержится в его основании — это то же самое, что умножить его высо- ту на основание, а это опять-таки то же самое, что взять произведение его высоты на его основание.

Предложение же Площадь прямоугольника есть произведение его высоты на его основание есть правило, от которого следует идти путем ряда предложений, всегда тождественных друг другу, вплоть до самого вывода: Площадь всякого треугольника есть произведение его высоты на половину основания.

Но я уже отметил, что если нам известна площадь прямоугольника, то мы найдем площадь треугольника, когда узнаем отношение одной из этих фигур к другой, ибо нет разницы между знанием площади фигуры и знанием того, как относится площадь данной фигуры к уже известной площади какой-либо фигуры.

Прямоугольник (рис. 2). разделенный по диагонали, дает два треугольника, площади которых, взятые вместе, равны его площади. Ведь сказать, что эти две площади равны площади прямоугольника,— то же самое, что сказать, что два треугольника были образованы из прямоугольника при Рис- 2 помощи диагонали, которая де

лит его пополам. Кроме того, Вы заметите, что поверхности этих двух треугольников равны; Вы даже на глаз видите истинность этого предложения; но нужно доказать Вам их тождественность.

Площадь [фигуры] определяется величиной прямых, которые ее ограничивают, и величиной углов, образуемых этими прямыми.

Следовательно, в дву^ выражениях: две площади равны и две площади ограничены равными прямыми, образующими одинаковые углы — содержится только одно предложение, выраженное двумя способами.

Следовательно, предложения Площади двух треугольников равны и Стороны этих треугольников равны опять- таки суть два тождественных предложения. Два треугольника, которые содержат в себе прямоугольник, разделенный по диагонали, имеют, стало быть, равные площади, если их стороны равны и если они образуют одинаковые углы.

Ведь сказать, что два треугольника заключены таким образом в прямоугольнике,— это то же самое, как если бы мы сказали, что они имеют одну общую сторону — диагональ прямоугольника — и что они имеют также одинаковое основание и одинаковую высоту, образуя одинаковые углы, т. е. сказать, что они имеют три равные стороны и равные площади, или, короче, равны во всем.

Но сказать, что они равны во всем,— значит сказать, что каждый из двух треугольников относится к прямоугольнику как половина к целой единице, а это предложение есть не что иное, как перевод предложения Прямоугольник разделен на два равных треугольника.

Ведь высказывание Поверхность треугольника относится к поверхности прямоугольника, имеющего то же основание и ту же высоту, что и данный треугольник, как половина к целому и высказывание Площадь такого треугольника представляет собой половину площади этого прямоугольника представляют собой по смыслу выражений два тождественных предложения.

Но мы видели, что площадь прямоугольника есть произведение высоты на основание; значит, предложение Площадь этого треугольника есть половина площади данного прямоугольника будет тождественно предложению Площадь этого треугольника есть половина произведения его высоты на основание, или, как обычно выражаются, произведение высоты на половину основания.

Предстоит лишь узнать, равна ли площадь всякого другого вида треугольника произведению высоты на половину основания.

Какова бы ни была форма треугольника, площадь которого хотят узнать, из его вершины можно опустить перпендикуляр и этот перпендикуляр опустится на основание либо внутри треугольника, либо вне его.

Если он опустится внутри треугольника (рис.

5), он разделит его на два треугольника, у каждого из которых две стороны взаимно перпендикулярны и которые, следовательно, являются треугольниками того же рода, что и треугольник, который мы измерили. Значит, площадь каждого из них равна половине произведения высоты на основание.

Однако узнать суммарную площадь двух треугольников — то же самое, что узнать площадь треугольника, который мы разделили, опустив перпендикуляр. Эта площадь остается одной и той же, заключена ли она в одном треугольнике или разделена пополам. Значит, сказать ли, что площадь большого треугольника равна половине произведения его высоты на его основание, или сказать о двух малых треугольниках [из которых он состоит], что она равна половине произведения их высоты на их основа- Рис. 3 Рис. 4

Если перпендикуляр (рис. 4) опускается вне треугольника, нужно продолжить основание до точки, где встретятся эти две прямые, и мы образуем треугольник того же вида, что и треугольник, который мы измерили сначала.

Благодаря этой операции Вы получаете два треугольника, заключенные в одном, и Вы видите, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых треугольников, на которые он разделен.

Следовательно, одно и то же, измерить ли эту площадь, взяв половину произведения высоты большого треугольника на его основание, или взяв раздельно половины произведений высоты каждого из двух малых треугольников на их основания. Эти две операции сводятся к одному и тому же, и здесь нет иного различия, кроме того, что в одной операции делается в два приема то, что в другой делается сразу.

Таким образом, явно выступает тождество двух следующих предложений: Площадь большого треугольника, который мы образовали, продолжая основание до перпендикуляра, равна половине произведения его высоты на его основание; Площадь каждого из треугольников, заключенных в большом, равна половине произведения его высоты на его основание.

Но какую бы форму ни имел треугольник, Вы всегда можете опустить из вершины перпендикуляр, который либо опустится внутри треугольника на его основание, либо, опустившись вне треугольника, разделит основание, которое Вы продолжили. Значит, Вы всегда можете убедиться при помощи ряда тождественных предложений, что его площадь равна половине произведения его высоты на его основание. Значит, доказательство применимо ко всем треугольникам, и эта истина не допускает никакого исключения: Площадь всякого треугольника есть половина произведения его высоты на его основание.

Я выбираю это предложение не толь-

Другой пример, ко для того, чтобы привести пример;

доказывающий, -г»

" „^„^„JT Л' эта истина, Ваше высочество, почто тождество есть ' '

признак очевидности служит мне правилом, ДЛЯ ТОГО ЧТО- разума бы вести Вас к другим знаниям. При

помощи этого же правила я докажу Вам, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым, ибо это еще одна истина, в познании которой мы нуждаемся.

Прямая есть линия, которая идет прямо от одной точки к другой. Это линия, направление которой не изменяется, или же линия, сохраняющая на всем своем протяжении направление, в каком она начинается; это наикратчайшая линия между двумя точками; это такая линия, что, когда поворачиваются ее крайние точки, вся она поворачивается так, что ни одна из ее частей не изменяет своего положения относительно других частей. Вы видите, что все эти выражения представляют собой лишь различные способы излагать одну и ту же идею и что они предполагают идею, которую они будто бы определяют.

Когда речь идет об идее, составленной из нескольких других идей, она определяется легко, так как для этого достаточно выразить идеи, из которых она образована. Говоря, например, что треугольник есть площадь, ограниченная тремя прямыми, дают его определение; и это определение носит характер, весьма отличный от мнимых дефиниций, даваемых прямой линии. В самом деле, дефиниция треугольника дала бы его идею тому, кто никогда не замечал ни одного треугольника; напротив, дефиниции прямой не дали бы ее идеи тому, кто никогда не замечал никакой прямой линии.

Дело в том, что идеи, когда они просты, не приобретаются при помощи дефиниций, а происходят исключительно из чувств. Проведите линию при помощи компаса — это будет кривая линия; проведите ее с помощью линейки, и это будет прямая линия. Правда, ничто не убедит Вас в том, что эта линия действительно прямая, так как ничто не убедит Вас, что сама линейка прямая; но, в конце концов, прямая линия — это то, чем Вам кажется линия, проведенная с помощью линейки; и хотя эта видимость может быть ложной, она тем не менее является идеей пря- мой линии. Рассматривая прямую и кривую линии, Вы можете заметить, что вторая образована из нескольких линий, которые пересеклись бы, если бы они были продолжены. Но когда Вы скажете: «прямая линия — одна, кривая линия состоит из многих», Вы не дадите определение ни той, ни другой. Вы видите, что есть вещи, которым не следует даже и помышлять дать определение 2.

Прямая перпендикулярна другой прямой, когда она не отклоняется ни в какую сторону, или когда она не наклонна, когда она с обеих сторон образует два равных угла, два прямых угла, два угла, каждый из которых имеет 90 или измеряется четвертью окружности. Все это лишь синонимические и тождественные выражения для того, кто знает значение слов.

Прямая является наклонной, когда ее направление отклоняется от направления другой прямой, когда, будучи продолжена до точки, где она встречается с этой другой прямой, она составила бы с ней два неравных угла, два угла, один из которых имел бы более, а другой — менее 90

Две прямые параллельны, когда по всей их длине точки одной прямой одинаково удалены от соответствующих точек другой, или когда все прямые, проведенные из точек одной прямой в соответствующие точки другой, имеют совершенно одинаковую длину.

Вы заметите прежде всего, что положение прямой линии есть лишь отношение ее направления к направлению другой линии и что, следовательно, если дано ее направление, то ее положение определено.

Во-вторых, Вы заметите, что одна прямая может занимать по отношению к другой прямой лишь три положения: она или перпендикулярна ей, или наклонна к ней, или ей параллельна. Наконец, Вы заметите, что положение одной прямой по отношению к другой является взаимным: если одна параллельна другой, то и другая ей параллельна; если одна перпендикулярна другой, то и другая ей перпендикулярна; если одна наклонна к другой, то и другая к ней наклонна и каждая из них образует с другой одни и те же углы. Достаточно взглянуть на термины, в них употребляе- мые, и мы увидим, что все эти предложения тождественны и, следовательно, не относятся к числу тех, которые следует пытаться доказать. Нам остается дойти путем ряда тождественных предложений до заключения, что сумма трех углов треугольника равна двум прямым.

Предположить, что прямая EG (рис. 5) является перпендикуляром, опущенным на прямую АВ,— значит предположить, что она образует с прямой АВ два равных угла, или два прямых угла.

Предположить, что эта прямая продолжена вниз от прямой АВ,— значит предположить, что она продолжена в направлении прямой EF. Следовательно, если мы предположим, что прямая EF является этим продолжением, мы тем самым признаем, что прямая GF, так же как и прямая EF, образует с прямой АВ два прямых угла, ибо, если бы два угла были неравными, один был бы больше прямого угла, а другой — меньше. А это означало бы, что прямая GF была бы наклонной; значит, она не была бы продолжением прямой EG, что противоречит предположению, из которого мы исходим.

Стало быть, как в своей нйжней части, так и в своей верхней части прямая EF перпендикулярна прямой АВ, а сказать так — то же, что сказать, что прямая АВ перпендикулярна прямой EF, поскольку предположить, что прямая АВ наклонна к прямой EF, означало бы предположить, что прямая EF наклонна к прямой АВ, поскольку прямые занимают по отношению друг к другу одинаковое положение.

Но прямая EF, будучи продолжена до точки Н, следует направлению, заданному двумя точками Е, G, и является прямой по всей своей длине.

Если это так, то сказать, что прямая CD параллельна прямой АВ,— значит сказать, что она образует с пря- мой EH углы, подобные углам, которые образует прямая АВ с той же самой прямой; а сказать, что она образует два подобных угла, — значит сказать, что она образует прямые углы. В самом деле, если бы мы допустили противоположное, мы допустили бы, что она наклонна по отношению к прямой ЕН; а предположив в ней наклон, которого лишена прямая АВ, мы допустили бы, что она не параллельна прямой АВ.

Ведь сказать, что прямая CD образует с прямой ЕН прямые углы, — значит сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD, а сказать, что прямая ЕН образует прямые углы с прямой CD,— значит сказать, что она образует прямые углы с прямой АВ. Таким образом, доказано, что прямая, перпендикулярная другой прямой, перпендикулярна всем прямым, параллельным этой второй прямой, или что она образует со всеми прямыми, параллельными последней, прямые углы.

Следовательно, если эта прямая наклонна к одной из параллельных, она будет одинаково наклонна ко всем другим параллельным, ибо предположить, что она не одинаково к ним наклонна,— значит предположить, что она не прямая или что прямые, которые она пересекает, не параллельны.

Следовательно, прямая FG одинаково наклонна к прямой АВ (рис. 6 ) и к прямой CD. Ведь сказать, что она одинаково наклонна к обеим,— значит сказать, что она образует с той стороны, в которую она отклоняется, равные углы на каждой параллели; что угол q, внешний двум параллелям, равен внутреннему углу и и что внутренний угол s равен внешнему углу у.

Очевидно также, что с другой стороны прямой FG внешний угол р равен внутреннему углу t, а внешний угол х — внутреннему углу г. Чтобы сделать это явным, нужно лишь перевернуть рисунок.

Впрочем, если на первом рисунке прямая, которая перпендикулярно пересекает две параллели, образует на каждой два прямых угла, то на втором рисунке прямая, пересекающая их наклонно, образует на каждой два угла, сумма которых равна двум прямым. Ибо наклонность линии FG, образующая, например, угол д, не равный углу р, не может изменить суммарную величину этих двух углов. В самом деле, чтобы заметить тождество суммы двух углов на втором рисунке и суммы двух углов на первом, достаточно принять во внимание, что на обоих рисунках величина рассматриваемых нами двух углов равна полуокружности.

Значит, угол р равен двум прямым минус угол q; аналогичным образом угол t равен двум прямым минус угол и, ведь угол и равен углу q. Таким образом, каждый из углов р и t равен одной и той же величине; следовательно, они равны друг другу.

Та часть прямой FG, которая находится выше линии АВ, наклонена в сторону В, а нижняя часть ее наклонена в сторону А. Ведь предположить, что эти две линии прямые,— значит предположить, что, как в той своей части, которая выше АВ, так и в той, которая ниже АВ, прямая FG имеет одинаковый наклон; если бы он не был одинаковым, одна из двух линий не была бы прямой.

Но сказать, что наклон одинаков, — значит сказать, что прямая FG со стороной А образует угол, равный углу, который она образует со стороной В, и угол г равен углу q. Таким же путем можно будет доказать, что угол р равен углу s, угол t равен углу г/, угол и — углу х. Это накрест- лежащие углы; следовательно, накрестлежащие углы равны.

В самом деле, очевидно, что угол г равен двум прямым минус угол р, а угол q равен двум прямым минус угол р. Значит, каждый из них равен двум прямым за вычетом одной и той же величины. Следовательно, они равны друг

другу. Ведь сказать, что угол г равен накрестлежащему углу значит сказать, что он равен всякому углу, которому равен сам угол q. Но мы видели, что угол q равен углу и. Значит, угол г равен углу и. На том же основании угол s равен углу t, угол р — углу г/, угол q — углу х. Именно это и выражают, говоря, что противолежащие углы равны. Предположим теперь, что р q

прямая FG (рис. 7) параллельна прямой de. Вы видите два противолежащих угла a w d и два других — с и е. Значит, угол а ра-

вен углу d, а угол с —

углу е. Ведь сумма углов a, b, с равна двум прямым. Значит, три угла треугольника равны двум прямым углам.

Двух примеров, которые я привел в этой главе, более чем достаточно, для того чтобы сделать понятным, что очевидность разума состоит исключительно в тождестве. К тому же я, как и предупреждал, выбрал их потому, что это две истины, которые поведут нас к другим истинам.

<< | >>
Источник: ЭТЬЕНН БОННО ДЕ КОНДИЛЬЯК. Сочинения в трех томах. Том 3. Мысль - 338 с.. 1983

Еще по теме ГЛАВА I ОБ ОЧЕВИДНОСТИ РАЗУМА:

  1. глава одиннадцатая О РАЗУМЕ, ОБ УМЕ И О РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ РАЗУМА И УМА
  2. ГЛАВА I ОБ ОЧЕВИДНОСТИ РАЗУМА
  3. ГЛАВА VI ПРИМЕРЫ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПОКАЗАТЬ, КАК МОЖНО УБЕДИТЬСЯ В ОЧЕВИДНОСТИ ЧУВСТВА
  4. ГЛАВА V ОБ УСКОРЕНИИ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ПАДЕНИИ ТЕЛ. ПРОСТРАНСТВО, ПРОЙДЕННОЕ В ПЕРВУЮ СЕКУНДУ
  5. ГЛАВА X О НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
  6. ГЛАВА II О СИЛЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ
  7. ГЛАВА III ОБ АНАЛОГИИ Аналогия
  8. ГЛАВА VII ПРИ ПОМОЩИ КАКИХ НАБЛЮДЕНИЙ И РАССУЖДЕНИЙ УДАЛОСЬ УБЕДИТЬСЯ В ДВИЖЕНИИ ЗЕМЛИ
  9. ГЛАВА IX О РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЯХ ДОСТОВЕРНОСТИ, ИЛИ ОБ ОЧЕВИДНОСТИ, ДОГАДКАХ И АНАЛОГИИ
  10. Глава вторая В ДУШЕ НЕТ ВРОЖДЕННЫХ ПРИНЦИПОВ 1.
  11. Глава десятая О НЛИІЕМ ПОЗНАНИИ БЫТИЯ БОГА
  12. Глава семнадцатая О РАЗУМЕ (OF REASON) 1.
  13. Глава девятнадцатая О [РЕЛИГИОЗНОМ] ИССТУПЛЕНИИ (OF ENTHUSIASM) 76
  14. Глава двадцатая ОБ ОШИБОЧНОМ СОГЛАСИИ, ИЛИ ЗАБЛУЖДЕНИИ 1.
  15. [О способах достижения достоверного знания посредством идей и посредством разума]
  16. ГЛАВА 4 Е. Фролова Индивидуальное бытие, искомое, но не найденное
  17. Глава 17 ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ
  18. ГЛАВА СЕДЬМАЯ АКТ ВЕРЫ И ЕГО СОДЕРЖАНИЕ