ГЛАВА VII ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ДРОБЯХ, КОГДА ОНИ ВЫРАЖЕНЫ В НАЗВАНИЯХ

Раздробите, или разделите, туаз на шесть частей; каждая будет дробной частью туаза, или, что то же самое, она будет, выражаясь по-латыни, ее фракцией. Соответственно вы можете дать числу этих частей название дробного числа или дроби. Именно так и сделали, и вы сразу же видите дроби в одной шестой туаза, двух шестых туаза и т. д. — в тех выражениях, которые были вам известны. Не так ли мещанин во дворянстве видит вдруг прозу в словах: «Николь, принеси мне мои домашние туфли»?

В противоположность дробному числу, или дроби, целому туазу можно дать название целого числа, и это также было сделано. Поэтому одно и то же число можно рассматривать и как целое число, и как дробное. Например, фут является целым числом по отношению к дюймам, которые представляют собой его части, и дробным числом по отношению к туазу, частью которого является он сам.

Вот что мы все знали До того, как язык показал нам это; и если теперь мы воображаем, что научились чему-то кроме слов, то похожи на мещанина во дворянстве, на которого мы походим весьма часто. Достаточно было иметь случай что-то измерить, чтобы произвести вычисление, не подозревая того, при помощи целых и дробных чисел. , Когда расчленяют дробь, в ней выделяют два члена, которые я напишу, чтобы лучше их различить, в виде

'?ри туаза. Это означает, что я делю туаз на шесть и что ійесть

из шести частей я беру три части — выражение, равнозначное выражению три шестых туаза.

Таким образом, один из этих членов знаменует, или указывает, на сколько частей мы делим целое, и его называют знаменателем; таково шесть в предыдущем примере; другой член счисляет, или указывает, сколько этих частей мы берем, и его называют числителем\ таково три.

Все знают также то, что знаменатель дроби делит главную единицу, целое, и не делит и не может делить числитель, так как большее число не содержится в меньшем. Например, в трех четвертях ливра, или, как я пишу, в

———, четыре делит ливр и не делит три. четыре

Наконец, нет никого, кто не знал бы, что три ливра равны шестидесяти су. Таким образом, понятно, что вместо трех можно поставить шестьдесят, и так как тогда дробь

станет шестьдесят- т то числитель, разделенный на знамена- четы ре

тель, даст в частном пятнадцать. В подобных случаях всегда можно будет найти частное дроби.

Можно будет придать форму дроби любому делению,

которое нужно сделать. Например, я пишу ™ть » а это

означает, что сто следует разделить на десять, как

——— означает, что три нужно разделить на четыре. четыре

Я говорю «сто разделить на десять», а не «сто, деленное на десять», как обычно говорят недостаточно точно. Ибо

сто

не является выражением произведенного деления;

десять

^то выражение деления, которое нужно произвести, это деление, которое лишь намечено.

Что бы ни подумали о подобных замечаниях, я их делаю, ибо правило, которое я себе предписываю,— говорить только то, что я хочу сказать; и если бы я от него отступал, меня часто не понимали бы. Действительно, отто^ го что вычислители говорили о дроби как о произведенном делении, их иногда не понимали. Они могут сказати вам, например, что всякая дробь есть частное от ее числителя, разделенного на ее знаменатель, или что

пять есть не что иное, как частное от пяти, разделенного восемь

на восемь. Но если мы вспомним, что, как нас учили, частное выражает, сколько раз меньшее число содержится в большем, то как можно себе представить, что пять, разделенное на восемь, имеет частное, выражающее, сколько раз восемь содержится в пяти, и как мы можем понять, что это частное является самой дробью

-? Правда, когда эту загадку разгадывают, в этом

восемь

находят смысл, но у начинающих обучение не предполагается дар угадывания.

Следует заметить, что каждое выражение деления, которое нужно произвести, тождественно выражению его

частного.

четыре

что и пятнадцать. Точно так же, каким бы способом ни

выражали частное —^— ливра, выражение частного бу- четыре

дет тождественно выражению дроби и пятнадцать су будет тем же самым, что и три четверти ливра. Несомненно, это-то и заставило сказать, что ——

четыре

частное от трех, разделенных на четыре.

Но так как дробь ——— есть не произведенное доле- четыре

ние, а деление, которое нужно произвести, следует заметить, что эта же дробь, принятая за частное, не является найденным частным, а представляет собой лишь намеченное частное и что, следовательно, она не есть частное в узком смысле. Действительно, так как частное должно выражать, сколько раз делитель содержится в делимом, то собственно частное имеется лишь после того, как произведено деление. А ведь ——— — это деление, которое

четыре

нужно произвести. Ї

Чтобы произвести это деление, я должен заменить числитель три числом шестьдесяти так как в ?шестьдесят три

—; - и —-— имеются два тождественных выраже-

{j четыре четыре

йґйя, то пятнадцать и для того и для другого является выражением частного. Но если бы я не сделал этой

подстановки, я не произвел бы деления ———, так как

четыре

три не делится на четыре. Следовательно, эта дробь не имеет частного в узком смысле; она имеет его лишь

постольку, поскольку преобразуется в шестьдесят — вы-

четыре

ражение, которое ей тождественно.

Однако, так как частное от трех, которое нужно разделить на четыре, каково бы оно ни было,— то же, что и

частное от ——, то эта дробь может заменить частное, четыре

которое она обозначает; я скажу, что ——— есть в ши-

четыре

роком смысле частное от деления трех на четыре, и меня поймут, потому что я не буду брать слово частное в его первом значении и предупрежу об этом. По этому поводу мы можем заметить, что всякий числитель есть делимое, а всякий знаменатель — делитель. Вот каким образом наименования вновь становятся то одинаковыми, после того как были разными, то разными, после того как были одинаковыми,— искусство, которое заставляет нас рассматривать вещи со всех возможных точек зрения и из тождества в тождество ведет нас от одного знания к другому.

Давайте рассмотрим это искусство, изучим его и сделаемся изобретателями.

Если два деления, которые нужно произвести, тождественны, то у них одно и то же частное, и частное деления, которое осуществимо, принимают за частное деления, которое неосуществимо.

Так как два деления, которые нужно произвести, дают одно и то же частное, когда они тождественны, из этого следует, что они тождественны, когда имеют о^но и то же частное.

Дроби всегда тождественны, когда, подобно таким, как один два три

—-—, ——, ———, каждая из них имеет одно и то же число в

один два три

качестве числителя и знаменателя, ибо, если каждое число содержит себя один раз, частным для каждой дроби будет единица.

Значит, единицу можно выразить бесконечным количеством способов, и так же будет со всяким другим числом.

ТІ два четыре шесть

Два выразится через ——, —, и при помощи

один два , три

любой другой дроби, равной двум, или имеющей два

в частном. Аналогичным образом три будет равно

три , шесть, девять и т. д. Чем более явно тождество этих один два три

выражений, тем полезнее они для нас будут — это посредники, благодаря которым мы будем переходить от предложения, где очевидность заметна, к предложению, где ойа незаметна. Необходимость в предложениях такого рода унизительна для нашего самолюбия, но все мы ползаем, а воображаем, будто взлетаем, когда льстим себя мыслью, что мы гениальны; подобное происходит с нами во сне, когда мы видим себя парящими в воздухе.

Со всяким дробным числом дело обстоит так же, как и со всяким целым; оно может быть выражено бесконечным

количеством способов. Например,——— , три , четыРе

четыре шесть восемь

представляют собой лишь различные выражения дроби один ]зЄдЬ если умножить два члена этой дроби на два,

два

два три четыре

то получим — ; на три — —-—; на четыре — —.

четыре шесть восемь

Значит, дробь, два члена которой умножили на одно и то же число, дает' в произведении дробь, которая ей тождественна; или, как обычно выражаются, величина дроби не меняется, когда два ее члена умножают йа одно и то же число.

Таким образом, умножение в подобном случае изменяет лишь выражение дробей; одно выражение оно заме-

два три один

няет другим, например —— или —?-— заменяют ——.

четыре шесть два •

Стало быть, величина дроби не изменится, когда два ее *їлена разделят на одно и то же число, так как деление мйжет лишь разрушить то, что сделало умножение; оно ограничится тем, что вновь поставит простые выражения

на место сложных: один на место два— или три . Од-

два четыре шесть

ним словом, деление сведет дроби к членам, из которых они были составлены до умножения. Таким образом, когда делят или умножают два члена одной дроби на одно и то же число, ее величина не меняется.

Мы часто будем иметь случай отметить, что тождество, которое не очевидно в одном выражении, может быть очевидным в другом; мы проверим, насколько полезно уметь выражать каждую величину несколькими тождественными способами. Впрочем, не следовало бы, судя лишь по форме, рассматривать как дроби в узком смысле слова все выражения, которые мы только что рассмотрели.

Два, четыре — это, по существу, целые числа; так же

два два

обстоит дело со всеми подобными выражениями каждый раз, когда намеченное деление может быть произведено. Следовательно, собственно дробь имеется лишь тогда, когда деление не может быть произведено; или, что то же самое, если дано, что числитель меньше знаменателя, то деление производится лишь после того, как числитель заменен большим числом.

Однако, поскольку все эти выражения по форме похожи друг на друга, аналогия позволяет нам дать им всем одно и то же наименование или, скорее, она предписывает его нам: какое бы различие ни имелось между вещами, мы должны давать им одно и то же название каждый раз, когда рассматриваем то, в чем они сходны. Таким образом, я буду брать слово дробь в его самом общем значении, и

четыре будет дробью, так же как и ———. два четыре

Рассмотрев в этой главе дроби как нечто известное всем, мы ограничились тем, что обратили внимание на различные, полностью тождественные способы, которыми они могут быть выражены, полагая, что достаточно указать на различные языки, каких мы можем придерживаться в этом вопросе. В самом деле, этого довольно, так как искусство рассуждать есть лишь искусство говорить и путь, который ведет от одного открытия к другому,— лишь стезя тождественных выражений.