ГЛАВА XII СООБРАЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОПОРЦИЙ И ПРОГРЕССИЙ, КАК АРИФМЕТИЧЕСКИХ, ТАК И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Нельзя знать счет и не знать, что один относится к двум как два к трем, как три к четырем; нельзя знать умножение и не знать, что один относится к двум как два к четырем, как четыре к восьми. Следовательно, когда мы впервые пользуемся словами отношение, пропорция, прогрессия, то новыми для нас являются не идеи, а лишь названия. Но так как эти названия, данные идеям, которые у нас имелись, заставили рассматривать их с новой точки зрения, мы смогли идти путем ряда тождественных предложений от известных к неизвестным. Мы будем продолжать, как начали, и увидим, как создается наука по мере создания языка; упрощая язык, мы сделаем науку более легкой.

Таким образом, мы можем судить о том, что нам осталось сделать. Однако как мы это выполним, если плохо знаем то, чему обучались? А это нужно знать в совершенстве, чтобы в том, чему мы обучались, обнаружить то, чего мы не знаем.

Но хорошо мы знаем что-либо лишь тогда, когда сделаем это для себя привычным, т. е. это нужно знать так, как если бы знать это естественно, как если бы природа обучила нас этому в большей мере, чем наши занятия. Ведь природа, которая дает нам первые уроки, обучает нас лишь потому, что повторяет нам одно и то же многими способами; следовательно, мы не должны бояться делать подобные повторения, если хотим продолжать обучаться.

В каждом знании есть определенные идеи, являющиеся основными, так как они постоянно встречаются повсюду, и важно, чтобы они всегда представлялись уму.

Прогрессии и пропорции — основа всей математики. Поэтому я еще буду рассматривать их, а так как сравнения позволяют нам привыкнуть к идеям, которые для нас новы, я отмечу аналогию, имеющуюся между двумя видами пропорций и прогрессий, и покажу, каким образом одина- ново раскрываются свойства тех и других при помощи ряда тождественных предложений. К тому же важно хорошо рассмотреть эту аналогию; это будет открытие, которое поведет нас к другим открытиям.

Во всякой арифметической пропорции сумма крайних членов равна сумме средних; во всякой геометрической прогрессии произведение крайних членов равно произведению средних. Вот первая аналогия; она основана на аналогии, имеющейся между сложением и умножением, вычитанием и делением.

Вторая аналогия является следствием первой; она состоит в том, что, если даны три члена, можно найти четвертый в том и другом виде пропорций.

В геометрической пропорции его находят, умножая два крайних члена, если ищут средний, или два средних члена, если ищут крайний, и деля произведение на известный крайний или средний член. Способ одинаков в обоих случаях с той разницей, что для того, чтобы найти неизвестный член геометрической пропорции, умножают или делят, а чтобы найти неизвестный член арифметиче^ ской пропорции, складывают или вычитают.

Так же как два вида пропорций, два вида прогрессий различаются только тем, что один образуется путем сложения или вычитания, а другой — путем умножения или деления.

В арифметической прогрессии разность последовательно прибавляется или вычитается; в геометрической прогрессии отношение является последовательно множителем или делителем.

И как в арифметической прогрессии каждый член — то же самое, что и первый плюс или минус отношение^ повторенное столько раз, сколько есть предшествующих, членов, так же и в геометрической прогрессии каждый; член — то же самое, что и первый, умноженный или разделенный на отношение, возведенное в степень, которая обозначается числом, равным числу предшествующих членов.

Из этого следует, что если даны один член и отношение, то можно и в том и в другом виде прогрессий определить все другие члены, т. е. можно по желанию определить все другие члены, наиболее удаленные от того, который дан, без необходимости искать промежуточные. Из этого следует также, что между двумя членами можно помещать средние пропорциональные в таком количестве, которое сочтут подходящим. Одним словом, все свойства двух видов прогрессий рождаются из этих первых аналогий, и, следовательно, все они необходимо являются аналогичными.

Так как в возрастающей арифметической прогрессии отношение несколько раз прибавляется к первому члену, а в убывающей прогрессии вычитается из него несколько раз, то нужно, чтобы в геометрической прогрессии оно умножало первый член, если прогрессия возрастающая, и делило его, если прогрессия убывающая.

Почему же мы предположили, что отношение всегда делит ее? Это лишь кажущееся противоречие: вспомним, что есть два деления, которым мы дали это название в широком смысле.

Действительно, когда мы говорим, что отношение

делит первый член два возрастающей прогрессии

два : четыре : восемь : шестнадцать, это не значит, что мы производим деление, а дело здесь в том, что механическое действие то же самое, как если бы мы действительно делили.

говоря, разделить два. на один — значит умножить два

два

на два, и частное четыре является произведением. Принять этот язык было необходимо; в нем нет ничего неуместного, так как результат одинаков, рассматривают ли действие как умножение в собственном смысле или в широком смысле, как деление.

Следовательно, между двумя видами прогрессий существует полная аналогия: если прогрессии одного вида порождаются сложением или вычитанием, то прогрессии другого вида — умножением и делением.

Но для того чтобы лучше свыкнуться с этими идеями, представим геометрическое отношение в виде дроби, имеющей числителем второй член, а знаменателем — первый. Мы заметили, что этот способ выражения по существу такой же, как и тот, который мы предпочли, и отличается от него лишь языком, являющимся инверсией языка, какого мы придерживались. Поэтому мы будем видеть умножения и произведения везде, где мы видели деления и частные. Возьмем для примера прогрессии

Два : четыре : восемь : шестнадцать, Шестнадцать : восемь : четыре : два. Деля второй член возрастающей прогрессии четыре на первый член два, мы производим настоящее деление и получаем в частном два, отношение прогрессии. Следовательно, второй член четыре должен рассматриваться как произведение двух (первый член) на два (отношение). Значит, умножая первый член на первую степень отношения, мы получим второй член — два X два = четыре; умножая его на вторую степень, мы получим третий член — два X четыре = восемь; и, умножая его на третью степень, мы получим четвертый член — два X восемь = = шестнадцать. Здесь мы производим умножения в узком смысле, и возрастающая геометрическая прогрессия явно аналогична возрастающей арифметической прогрессии. Столь же легко можно будет убедиться, что убывающая геометрическая прогрессия порождается делением, так же как убывающая арифметическая — вычитанием.

В самом деле, когда в прогрессии шестнадцать : : восемь : четыре : два мы представим себе отношение в

восемь один восемь

виде , мы выразим его через

шестнадцать два шестнадцать

и будем рассматривать второй член восемь как произведение шестнадцать X или шестнадцать х Ж Соответ- два один два

ственно мы даем этому действию название умножение,

но только в широком смысле, ибо, в самом деле, умножить

шестнадцать один ^

на —— — значит разделить шестнадцать на

один два

два.

Поэтому, когда мы представляем себе отношение в виде дроби, имеющей второй член в качестве числителя, ? первый — в качестве знаменателя, то в убывающей прогрессии слово «умножение» употребляется в широком^ смысле; и напротив, когда мы представляем себе отношение в виде дроби, имеющей числителем первый член, а знаменателем второй, то в тех же самых убывающих прогрессиях в широком смысле употребляется слово «деление».

—— говорят четыре, необходимо, чтобы, как бы мы ни четыре два рассуждали, наш язык был в случае инверсии таким, каким он был в другом случае. Посмотрим теперь, как свойства пропорций и прогрессий раскрываются через ряд тождественных предложений.

Сказать, что разность двух первых членов арифметической пропорции такая же, как разность двух последних,— значит сказать, что второй член плюс или минус разность такой же, как первый член, и что четвертый член плюс или минус эта же разность такой же, как третий.

Сказать, что второй член плюс или минус разность такой же, как первый член, и что четвертый член плюс или минус эта же разность такой же, как и третий член,— значит сказать, что сумма двух крайних членов есть первый член плюс третий плюс или міфус разность; а сказать, что сумма двух средних членов есть первый член плюс или минус разность плюс третий член,— значит сказать, что сумма крайних членов такая же, как сумма средних.

Сказать, что сумма крайних такая же, как сумма средних членов, — значит сказать, что если из суммы средних членов вычесть один из крайних, то в остатке получится другой крайний член; значит сказать также, что можно найти неизвестный средний член, если вычесть известный из суммы крайних членов; одним словом, это значит сказать, что, когда даны три члена, будет найден четвертый.

Очевидно, что, составляя этот вид пропорций, мы лишь перевели на разные языки первое понятие арифметических пропорций, а так как эти предложения тождественны друг другу, то последнее предложение тождественно первому. В этом исключительно и состоит очевидность и искусство доказательства. Продолжим.

Сказать, что разность двух первых членов пропорции такая же, как и разность двух последних,— значит сказать, что в непрерывной пропорции разность между первым и вторым членом такая же, как и между вторым и третьим.

Ведь сказать, что между первым и вторым членом разность такая же, как между вторым и третьим,— значит сказать, что второй член есть то же самое, что.

Но сказать, что третий член такой же, как второй плюс или минус разность, и что второй член такой же, как первый плюс или минус разность,— значит сказать, что третий член такой же, как первый член плюс или минус разность, взятая дважды.

То, что говорится о непрерывной пропорции, говорится и о прогрессии из трех членов; значит, третий член прогрессии есть то же самое, что и первый член плюс или минус разность, взятая дважды.

Сказать, что третий член прогрессии, имеющей лишь три члена, такой же, как первый член плюс или минус разность, взятая два раза,— значит сказать, что он такой же, как и первый член плюс или минус произведение разности на число членов минус один.

А так как сказать, что прогрессия имеет четыре, пять, шесть или больше членов,— значит сказать, что разность между третьим yi четвертым членом, между четвертым и пятым и т. д. такая же, как между первым и вторым, сказать, что третий член прогрессии, которая имеет лишь три члена, такой же, как первый плюс или минус произведение разности, умноженной на число членов минус один,— значит сказать также, что четвертый, пятый, шестой член прогрессии, которая имеет их четыре, пять, шесть и т. д., такой же, как первый член плюс или минус произведение разности, умноженной на число членов минус один.

Сказать, что последний член прогрессии или любой член, рассматриваемый как последний, такой же, как первый член плюс или минус произведение разности, умноженной на число членов минус один,— значит сказать, что в том случае, если бы разность не была известна, мы нашли бы ее путем вычитания первого члена из последнего или последнего из первого и деления остатка на число членов минус один.

Сказать, с одной стороны, что любой член, рассматриваемый как последний, есть то же, что первый член плюс или минус произведение разности, умноженной да число членов минус один, и, с другой стороны, сказать, что мы найдем разность путем вычитания первого члена из последнего или последнего из первого и деления остатка да число членов минус один,— значит сказать, как можно вставить между двумя данными членами несколько средних пропорциональных.

Посмотрим теперь, с помощью какого ряда тождественных предложений мы узнаем, как определяется сумма арифметической прогрессии.

Сказать, что в пропорции из четырех членов сумма крайних такая же, как сумма средних,— значит сказать, что в непрерывной пропорции средний член есть половина суммы крайних членов.

Сказать, что средний член есть половина суммы крайних,— значит сказать, что можно представить себе сумму непрерывной пропорции в виде трех членов, каждый из которых равен половине суммы крайних членов.

Сказать, что можно представить себе сумму непрерывной пропорции в виде трех членов, каждый из которых равен половине суммы крайних членов,— значит сказать, что сумма непрерывной пропорции есть половина суммы крайних членов, умноженной на три, или на число членов.

Но так как то, что говорится о непрерывной пропорции, говорится о прогрессии из трех членов, то мы скажем, что сумма подобной прогрессии есть половина суммы крайних членов, умноженной на число членов; ведь говоря это о прогрессии из трех членов, мы говорим это и о прогрессии из четырех, пяти, шести членов, т. е. обо всякой прогрессии.

Следовательно, сумма арифметической прогрессии такая же, как половина суммы крайних членов, умноженной на число членов, или как сумма крайних членов, умноженная на половину числа членов.

Если это не строгие доказательства, то строгих доказательств вообще не существует. Перейдем к геометрическим пропорциям и прогрессиям; начнем с понятия, которое составляют себе об отношении, но для краткости будем обозначать знаком = тождество двух предложений, которые непосредственно следуют друг за другом.

Отношение выражает, каким образом одно число содер- ж итс я в другом или каким образом оно его содержит.

= Отношение находят, разделив одно число на другое.

= Его можно изобразить в виде дроби, в которой одно число будет числителем, а другое — знаменателем.

= Можно изобразить в виде двух равных дробей четыре члена пропорции, или четыре члена, из которых два первых находятся в том же отношении друг к другу, что и два последних.

Ибо эти две дроби равны = одна образована из двух первых членов пропорции, а другая — из двух последних, если у каждой дроби в числителе предшествующий член, а в знаменателе — последующий, либо, если перевернуть это отношение, в числителе последующий член, а в знаменателе —* предшествующий.

Но две дроби заменяют двумя тождественными дробями, когда умножают два члена первой дроби на знаменатель второй, а два члена второй дроби на знаменатель первой; в двух замененных дробях знаменатели тождественны даже в выражении, а два числителя также тождественны, хотя и выражены различно, если дроби равны, но один является произведением крайних членов, а другой — произведением средних; значит, во всякой пропорции произведение крайних членов такое же, как и произведение средних. Применим этот метод к прогрессиям.

Когда изображают отношение прогрессии в виде дроби, первый член которой — числитель, а второй — знаменатель, второй член получают, разделив первый на отношение; третий член получают, разделив второй на отношение, и так один за другим.

= Третий член получают, разделив первый на квадрат отношения;

= Четвертый член получают, разделив первый на куб отношения;

= Пятый член получают, разделив первый на отношение, возведенное в четвертую степень;

= Последний член получают, разделив первый на отношение, возведенное в степень, обозначенную числом членов прогрессии минус один.

Из этих предложений, тождественность которых бросается в глаза, видно, как можно найти какой бы то ни было член и как можно вставить между двумя данными членами несколько средних пропорциональных. Теперь найдем сумму прогрессии.

В ряду прогрессии при последовательном переходе от одного члена к другому отношение остается посто- я н ным;

= Каждый предшествующий член так относится к последующему, как первый член ко второму; > ^

= ,Первый член так относится ко второму, как все предшествующие ко всем последующим;

= Первый член минус второй так относится к первому, как все предшествующие минус все последующие относятся ко всем предшествующим.

А так как в третьем члене этой пропорции все члены уничтожаются, за исключением первого предшествующего, который больше его, и последнего последующего, который меньше его, то мы имеем: первый член минус второй так относится к первому, как все предшествующие минус все последующие относятся ко всем предшествующим.

= Первый член минус второй так относится к первому, как первый предшествующий минус последний последующий относится ко всем предшествующим.

= Первый член минус второй так относится к первому, как первый минус последний относится ко всем предшествующим.

= Чтобы найти сумму всех предшествующих членов прогрессии, нужно умножить первый член минус последний и разделить произведение на первый член минус второй. Прибавив к этому последний член, мы получим сумму всей прогрессии.

Всякий, кто поймет значение слов, легко заметит все эти тождества; я написал эту главу для того, чтобы начинающие усвоили дроби, отношения, пропорции, прогрессии и все действия, которые раскрывают их свойства. Я хотел также показать, что если при помощи выражений нашего обиходного языка строго доказываются математические истины, то можно при помощи тех же самых выражений столь же строго доказать истины другого рода. Ибо, по-видимому, люди придерживаются предрассудка, что доказывать строго можно только в математике, как будто доказывать со всей строгостью возможно лишь при помощи х, а, Ь или как будто нестрогие доказательства являются доказательствами.

Но, могут сказать нам, если в изучаемом предмете идут от свойства к свойству путем ряда тождественных предложений, то каждое свойство, как и каждое предложение, является в этом ряду тем же, что и предшествующее ему, и, следовательно, все они сводятся к одному и тому же свойству. Каким же образом они являются и одним, и несколькими? Каким образом мы различаем среди них первое, второе, третье и т. д.?

Хотя свойство является одним, его можно рассматривать с нескольких точек зрения, и оно будет одним как для нас, так и само по себе, если бы мы смогли его рассматривать сразу со всех точек зрения. Но мы не можем этого сделать и именно поэтому рассматриваем его сначала в одном отношении, затем в другом и т. д., поэтому оно становится для нас первым свойством, вторым, третьим и т. д. 6 Следовательно, не нужно думать, что подобные ряды находятся в вещах; они существуют лишь в нашем языке, и каждая наука могла бы быть сведена к первой истине, которая, преобразуясь из одного тождественного предложения в другое, представила бы нам в ряде преобразований все открытия, которые сделаны, и все, которые осталось сделать7. Правда, для того чтобы постигать науки таким образом, нужно было бы говорить о них очень просто. Ибо наибольшие препятствия развитию знаний ставят наши плохо созданные языки. Мы могли бы изобретать, если бы умели говорить, но мы говорим прежде, чем обучились, и не любим простоту.

Поэтому я, конечно, предвижу, что метод, которому я следовал в этой главе, не получит всеобщего одобрения. Как, скажут мне, разве для того, чтобы получить знания, нужно неуклюже ползти от одного тождественного предложения к другому? Да, это нужно, и изобретатели ползли, как мы, и если мы об этом не догадываемся, то потому, что, когда они показывают нам свои открытия, они стоят на ногах и позволяют нам думать, что стояли так всегда. Впрочем, хотя они достигали своих открытий ползком, от этого они не были менее возвышенными умами; это доказывает лишь, что они люди, а человеческий ум весьма ограничен; сделаем же вывод, что, каковы бы ни были наши знания, у нас нет нужды быть тщеславными или непритязательными; поэтому истинному философу не свойственно ни то, ни другое.