<<
>>

ГЛАВА XIV ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ КАМЕШКОВ. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ

Мы видели, что исчисление при помощи названий производится легче, когда наименования, созданные по аналогии со счетом, разбивают числа на единицы разных разрядов; однако, так как язык при этом еще загроможден длинными фразами, то в предыдущих главах мы попробовали по крайней мере уменьшить в них количество слов, а это, несомненно, то, с чего люди начинали.
Было естественно пытаться сократить речь, прежде чем думать о замене фраз такими знаками, как цифры или буквы. К последним изобретениям пришли лишь постепенно; проходит много времени, прежде чем нам удается схватить то, что у нас под рукой.

Сокращения, которые мы произвели, оказывают слабую помощь и сохраняют все трудности, когда дело касается действий с большими числами. Как, например, умножить три десятка тысяч плюс две тысячи плюс восемь сотен плюс семь десятков плюс пять единиц на девять тысяч плюс шесть сотен плюс четыре десятка плюс три единицы? Позволит ли наша память применять описанный выше метод и в других случаях, а не только тогда, когда умножается десять плюс два на десять плюс два?

Пальцы не оказывают здесь никакой помощи, потому, что невозможно ясно и сразу выразить с помощью пальцев два столь сложных числа, а между тем нужно, чтобы все их; части находились перед глазами одновременно. Это был® бы единственным средством освободить память от лишнего груза, и все люди это поняли. Поэтому они заменили пальцы более удобными знаками. Таковы камешки, от которых и происходит слово исчисление 8.

Но как они их использовали? Несомненно, различными способами, и лучшим оказался способ тех народов, язык которых хорошо построен, ибо аналогия, научившая их действовать с помощью названий так, как они действовали с помощью пальцев, научила их действовать так же с помощью камешков. Они считали, что пальцы благодаря порядку, в котором они расположены, выражают единицы различных видов, и раскладывали камешки по различным разрядам.

Это было скорее подражание, чем изобретение. Единственным изобретателем был тот, кто первым придумал выразить при помощи пальцев единицы разных разрядов; здесь перед нами еще одно изобретение, подсказанное, по-видимому, самой природой.

Проведем на столе ряд вертикальных линий и положим на каждую камешки. На первой линии, которая будет первым рядом, камешки будут обозначать единицы первого разряда; на второй линии они будут обозначать единицы второго разряда, на третьей — третьего и т. д. И если есть разряды единиц, которые не содержатся в рассматриваемом нами определенном числе, то в некоторых рядах совсем не окажется камешков. Например, чтобы выразить сто два, положат два камешка на первую линию, один — на третью и ничего не положат на вторую линию.

Когда таким путем мы выразим несколько чисел, легко будет произвести их сложение, так как нам нужно будет только сложить в кучу все камешки, которые окажутся в соответствующих рядах.

Вычитание будет не более трудным: достаточно снять с каждого ряда большего числа столько камешков, сколько их имеется в каждом соответствующем ряду меньшего числа.

Наконец, не вызовут больших трудностей умножение и деление, но эти действия мы рассмотрим подробнее, когда заменим камешки еще более простыми знаками. Сейчас достаточно заметить, что, когда мы разбили числа на единицы разных разрядов, мы можем в несколько действий достигнуть того, что невозможно было бы сделать в одно действие. Ведь с помощью камешков разлагать числа гораздо удобнее, чем с помощью пальцев и названий; и вместо длинных фраз мы имеем простые знаки, делающие ненужной память, так как они находятся перед глазами.

Но часто предлагаются вопросы, которые нельзя разрешить при помощи одних только действий, объясненных нами, так как, прежде чем исчислять, нужно рассмотреть, какие условия заключают в себе эти вопросы, и, если они слишком сложны, они вовлекают в длинные рассуждения, в которых можно запутаться. Такого рода вопросы являются, собственно, тем, что математики называют задачами.

Попробуем решить одну из них, выражая словами все части рассуждений. Именно так люди начинали, и, поскольку этот метод был известен первым, нужно рассмотреть его неудобства, если мы хотим, чтобы он подготовил нас к открытию более простых методов. Я возьму для примера задачу, которую Клеро предлагает в начале своих оснований алгебры.

Если разделить восемьсот девяносто ливров между тремя людьми так, чтобы первый имел на сто восемьдесят ливров больше, чем второй, а второй — на сто пятнадцать ливров больше, чем третий, то какова будет доля каждого?

Нет сомнения, что в самом начале не ставят перед собой подобных задач. Чтобы решить их, нужно выполнить все содержащиеся в них условия и, следовательно, хорошо их рассмотреть. А эта задача имеет три условия: одно — что первый человек имеет на сто восемьдесят ливров больше, чем второй; другое — что второй человек имеет на сто пятнадцать ливров больше, чем третий, и последнее условие — что, если соединить три части, они составят в сумме восемьсот девяносто.

Когда эти условия даны, предстоит найти в том известном, что они в себе заключают, три неизвестные нам части. Но способ, которым выражены условия, или, как говорят, данные, не пригоден для распознания этих трех частей. Значит, эти данные нужно перевести на другой язык. Каков же будет этот язык?

Это будет язык, который даст возможность распознать величину, общую для каждой части, и величину, на которую отличается каждая часть.

Но часть, которую должен получить третий человек, есть величина, общая для двух других; следовательно, я могу выразить эту общую величину через меньшую часть, и я вижу, что имею ее трижды для трех человек. ^

Тогда часть, причитающаяся второму человеку, выражается через меньшую часть плюс сто пятнадцать; и так как первый должен иметь на сто восемьдесят ливров боль^ ше, чем второй, то причитающаяся ему часть выразится через меньшую часть плюс сто пятнадцать плюс сто восемьдесят, или, если сложить известные количества, через меньшую часть плюс двести девяносто пять. А эти три части, согласно последнему условию задачи, должны быть равны восьмистам девяноста.

Таким образом, мы перевели данные на язык, в котором.

величина, общая для трех людей, имеет одинаковое выражение в меньшей части. Тогда мы различаем три части и пишем: меньшая часть плюс меньшая часть плюс сто пятнадцать плюс меньшая часть плюс двести девяносто пять составляют сумму, равную восьмистам девяноста.

Мы лишь перевели на новый язык тот язык, на котором была предложена задача; и мы предвидим, что этот перевод должен привести нас к решению задачи.

В этом переводе мы сравниваем выражение трех частей с выражением суммы, которую они должны составлять; ведь именно в этом сравнении мы должны найти значение каждой части.

Но чем проще будут выражения, тем легче нам будет уловить отношение одного члена этого сравнения к другому. Следовательно, заключаете вы, эти выражения нужно свести к возможно меньшему числу членов. Это мы и сделаем, если сложим частичные величины и напишем: взятая трижды меньшая часть + четыреста десять = = восемьсот девяносто. Вот задача, сведенная к наиболее простому выражению; она решится сама собой.

В самом деле, если вы прибавляете к каждому члену этого сравнения четыреста десять, то очевидно, что они останутся равными, так как вы прибавляете к тому и другому одну и ту же величину. Итак, напишите: взятая трижды меньшая часть + четыреста десять — четыреста десять = восемьсот девяносто — четыреста десять.

Первый член сводится к взятой трижды меньшей части, так как -f четыреста десять и — четыреста десять являются величинами, которые уничтожают друг друга; а второй член, после того как вычли четыреста десять из восьмисот девяноста, сводится к четырем восьмидесяти.

Следовательно, вы можете заменить выражение взятая трижды меньшая часть = четыреста восемьдесят выражением взятая трижды меньшая часть + четыреста десять = = восемьсот девяносто.

Если теперь вы разделите на три два члена этого сравнения, то получите значение меньшей части: меньшая часть = четыреста восемьдесят = ^ шестъдесят,

три

Итак, сумму сто шестьдесят должен получить третий человек. Следовательно, часть, причитающаяся второму,— сто шестьдесят + сто пятнадцать = двести семьдесят пять; а часть, причитающаяся первому,— двести семьдесят пять + сто восемьдесят = четыреста пятьдесят пять.

Но сто шестьдесят + двести семьдесят пять + четыреста пятьдесят пять = восемьсот девяносто. Таким образом, мы выполнили все условия, и задача решена.

- Во всех этих рассуждениях нужно отметить две вещи. Первое — то, что мы свели величину, общую трем частям, к одному и тому же выражению. Благодаря этому нам нужно было искать только одно неизвестное вместо трех, которые, казалось, заключала задача; данные, переведенные на более простой язык, были предложены нам в сравнении, позволившем понять их соотношения.

Итак, первое, что нужно сделать, чтобы решить подобную задачу,— это перевести ее данные в сравнение, которое было бы наиболее простым ее выражением; и посудите сами, нужно хорошо понять задачу, которую нам предлагают, так как не следует, забывать ни одно из условий.

Второе замечание заключается в том, что, когда данные приведены к наиболее простому выражению, остается заменить одни тождественные выражения на другие, чтобы путем ряда сравнений найти значение неизвестного.

Ибо, когда вы сравниваете взятую трижды меньшую часть плюс четыреста десять и восемьсот девяносто, вы еще не видите, какова эта меньшая часть. Нужно выделить известные величины, с которыми она соединена в первом члене, т. е. ее нужно оставить в одном из членов сравнения и перевести в другой все известные величины. Вот как вы достигли последнего сравнения, которое дало вам сто шестьдесят как значение меньшей части.

До сих пор я пользовался словом сравнение потому, что оно вам знакомо, и потому, что я считаю себя обязанным начинать разговор с вами на языке, который вы знаете. В дальнейшем я буду вместе с математиками употреблять слово уравнение, ибо то, что они понимают под уравнением, есть не что иное, как то, что сами мы понимаем под сравнением. Таким образом, мы будем говорить, что для того, чтобы решить задачу, ее нужно перевести в простое уравнение, которое заключает в себе все ее условия, а затем следует идти от одного тождественного выражения к другому, пока мы не получим последнее уравнение, где неизвестное, заключенное в одном члене, сравнивается с известными данными, которые мы перевели в другой член. Меньшая часть = сто шестьдесят — вот уравнение, являющееся решением нашей задачи.

Ятобы усвоить навык исчисления, следовало бы упражняться на большом количестве задач. Но мы облада- ли бы лишь сноровкой и исчисляли, не понимая того, что делаем, если бы торопились идти от одной задачи к другой, прежде чем действительно понять все приемы метода.

Ведь для того чтобы действительно понять все эти приемы, недостаточно понять их один раз; их будут понимать лишь в той мере, в какой они станут привычными. Ибо когда речь идет о том, чтобы действовать, не следует думать, что мы овладеваем методом, как только узнаём его; мы овладеваем им лишь тогда, когда, обдумав его несколько раз, вырабатываем у себя привычку понимать и применять его. Совершенно необходимо, чтобы все приемы являлись нам как бы сами собой и мы не должны были бы их искать. В связи с этим я еще остановлюсь на задаче, которую мы решили. Так как мы знаем ее решение, нам легче рассмотреть примененный в ней метод, и, чем внимательнее мы его рассмотрим, тем лучше его поймем.

Первый прием этого метода заключается в том, чтобы условия задачи перевести в уравнение, которое называется основным, поскольку оно — первое, и, лишь обдумывая его, мы придем к решению задачи.

Второй прием направляет рассуждение на основное уравнение и ведет нас от одного тождественного уравнения к другому, вплоть до уравнения, которое я называю конечным, так как оно — последнее. Вы видите, как постепенно мы строим наш язык,— это лучший способ хорошо его построить и хорошо его знать.

Если теперь вы примете во внимание тождество всех уравнений, через которые вы прошли, вы узнаете в каждом из них основное уравнение, подвергаемое различным преобразованиям, чтобы стать конечным уравнением. Следовательно, решение задачи сводится к уравнению, которое постепенно преобразуется, или переводится в другие выражения. Именно это тождество и нужно уловить, так как в нем-то и заключается все искусство этого метода. Не забывайте, что в каждом уравнении два члена, из которых оно состоит, являются одной и той же величиной, выраженной двумя способами.

Мы решили нашу задачу, отыскав сначала часть, принадлежащую третьему человеку; теперь мы будем ее решать, начав с того, что станем искать часть, принадлежащую первому человеку.

Учитывая, что эта задача имеет три условия, которые нужно перевести в основное уравнение, мы заметим, что сможем сделать этот перевод, когда получим то же самое выражение для обозначения величины, общей для трех частей. Имея выражение, обозначающее одну из трех частей, мы должны лишь прибавить к этому выражению либо вычесть из него, чтобы получить два выражения, каждое из которых обозначает две другие части. Очевидно, что эти три выражения, помещенные в один из членов уравнения, будут суммой, равной восьмистам девяноста, находящимся в другом члене.

Я обозначаю часть, причитающуюся первому человеку, как первую. Он должен получить на сто восемьдесят ливров больше, чем второй; часть, причитающаяся второму, будет, таким образом, выражена через первая [часть] — сто восемьдесят, и часть, причитающаяся третьему человеку, будет первая — сто восемьдесят — сто пятнадцать, так как он должен иметь на сто пятнадцать ливров меньше, чем второй.

Как только я получу эти три выражения, перевод будет закончен; я пишу основное уравнение: первая + первая — сто восемьдесят + первая — сто восемьдесят — сто пятнадцать = восемьсот девяносто. Вот первый прием метода. Второй прием должен показать последовательно все преобразования, которым будет подвергнуто основное уравнение, прежде чем оно станет конечным>

Ведь, сводя первый член к наиболее простому выражению, мы находим первое преобразование: три первых — четыреста семьдесят пять = восемьсот девяносто.

Второе преобразование мы находим, переводя все известные во второй член: три первых = восемьсот девяносто + четыреста семьдесят пять.

Третье преобразование находим, складывая две величины второго члена: три первых = тысяча триста шестьдесят пять.

Четвертое преобразование — намечая деление двух

тысяча триста шестьдесят пять

членов на три: первая = . ^

три

Наконец, пятое и последнее преобразование находим, осуществляя намеченное деление: первая = четыреста пятьдесят пять. Остается только сделать вычитание, чтобы узнать, сколько приходится на долю второго и третьего человека. Если мы хотим начать с части, которая причитается второму человеку, то выражением, общим трем, будет вторая; следовательно, выражением первой будет вторая-\- -f- сто восемьдесят; а выражением третьей — вторая — сто пятнадцать. Тогда мы получаем основное уравнение: вторая + вторая + сто восемьдесят + вторая — сто пятнадцать = восемьсот девяносто. Нам нужно лишь посмотреть, какой вид оно примет: 1.

Три вторых + сто восемьдесят — сто пятнадцать = = восемьсот девяносто; 2.

Три вторых + шестьдесят пять = восемьсот девяносто; 3.

Три вторых = восемьсот девяносто — шестьдесят пять; 4.

Три вторых = восемьсот двадцать пять; 5.

Одна вторая = восемьсот двадцать пять

три 6.

Одна вторая = двести семьдесят пять.

Заметьте, что первое решение дает в намеченном деле-

четыреста восемьдесят ^

нии - результат более простои, чем два

других, и, следовательно, начинать было лучше именно с него. Опыт покажет вам, что начало никогда не бывает безразличным.

Изучая эти три решения, мы окончательно поймем при рассмотрении второго или третьего из них то, что не было достаточно понятно в первом; и последнее решение настолько прояснит вопрос, что останется лишь рассмотреть метод.

Тогда у нас будет точная идея того, что математики понимают под анализом. Ибо их анализ есть не что иное, как метод, который позволяет благодаря первому приему перевести все данные задачи в основное уравнение и благодаря второму приему производить с этим уравнением ряд преобразований до тех пор, пока оно не станет конечным уравнением, заключающим в себе решение. Следовательно, анализ, который считают принадлежащим только математике, принадлежит всем наукам, и анализируют таким же образом во всех науках, если во всех науках рассуждают хорошо. Поймите мою логику — она поможет вам сделать этот метод более привычным и убедит вас, что анализ есть лишь искусство рассуждать 9.

Хотя в предыдущих решениях мы сильно сократили рассуждение, вероятно, людям, не имеющим никакого навыка в исчислении, будет несколько трудно следовать нашим рассуждениям. Поэтому они лучше поймут, до какой степени необходимо в сложных вопросах избавляться от наших длинных фраз и находить для выражения наших рассуждений простые знаки, позволяющие улавливать их тотчас же и без усилий.

Люди займутся поиском этих знаков гораздо скорее, чем думают, потому что интерес к исследованию будет способствовать возникновению вопросов, которые трудно решить; и если они примут во внимание, что языки первых образованных народов не были, как наши, построены путем искажения множества языков, между которыми не было никакой аналогии, то сочтут первоначальные языки гораздо более пригодными для рассуждения и поймут, что те, которые наилучшим образом обдумывали приемы анализа, были, вероятно, способны хорошо решать задачи. Вероятно также, что они искали такие задачи, где думали встретить наибольшие трудности, и предлагали друг другу состязаться в их решении.

В этом случае больше, чем когда-либо, чувствовалась необходимость разгрузить память или даже сделать ее ненужной, и было признано, что для этого необходимо записывать рассуждения при помощи простых знаков, которые, говоря скорее глазам, нежели ушам, представляют эти рассуждения в виде непрерывного ряда и всегда показывают, что сделано и что осталось сделать.

Из всех известных до тех пор знаков камешки казались наиболее удобными для выражения наших рассуждений; поэтому я полагаю, что, прежде чем искать другие знаки, люди пробовали использовать их для этой цели. Людям свойственно долгое время придерживаться изобретений, к которым они привыкли; им в той же мере свойственно вначале отказываться от более удобных изобретений.

Понятно, как при помощи камешков, к которым прибавляли или из которых вычитали величины, выраженные с помощью других камешков, можно было переводить данные задачи в основное уравнение; понятно также, каким образом выражали при помощи камешков все преобразования этого уравнения, когда оно было найдено. Нужно только вообразить себе камешки вместо названий, которые мы употребили. Может быть, камешки различали по форме, может быть, по взаимному расположению, может быть, по тому и другому — здесь бесполезно теряться в догадках. Но я думаю, что были случаи, когда люди решали задачи таким путем задолго до изобретения букв.

Когда впоследствии было введено употребление не- скольких букв, таких, как буквы алфавита, ими, вероятно, стали пользоваться и для различения камешков; их вырезали на каждом камешке. Таким говорили: камешек а, камешек 6, камешек с; вскоре для краткости стали говорить а, 6, с, так что, когда естественно и непреднамеренно заменили камешки буквами, увидели, что можно решать задачи при помощи более простых букв. Оставалось лишь заменить слова плюс, минус, тождество знаками, равноценными тем, какими мы пользовались. Так начинается алгебра; если мы применим ее к нашей задаче, мы сможем судить о ее простоте.

Таким образом, а = сто пятнадцать, b = сто восемьдесят, с = восемьсот девяносто, х будет означать неизвестное, которое я полагаю как меньшую часть. При помощи этих выражений мы напишем основное уравнение: x + x + a + x + a+b = с. Если мы сократим первый член, он примет вид три х 4- два а + b = с\ он примет вид три х=с — два а — 6, если мы переведем все известные члены в правую часть уравнения; наконец, когда мы делим на три, мы приходим к конечному уравнению

х = с~два а~ь• теперь замените буквы a, b, с величи- три '

нами, которые они выражают, и вы получите значение части х.

Заменяя названия буквами, люди хотели лишь упростить рассуждения, но нашли больше, чем искали, т. е. нашли решение нескольких задач в решении одной. Ибо

с — два а — Ь ^

х = является общим выражением, которое да-

три

ет решение всех подобных задач, так как a, b, с могут выражать все виды чисел. Мы будем говорить об этом в другом месте.

<< | >>
Источник: ЭТЬЕНН БОННО ДЕ КОНДИЛЬЯК. Сочинения в трех томах. Том 3. Мысль - 338 с.. 1983

Еще по теме ГЛАВА XIV ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ КАМЕШКОВ. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ:

  1. ГЛАВА I ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ ПАЛЬЦЕВ
  2. Формирование индивидуального опыта с помощью и без помощи экспериментатора, а также при наблюдении за поведением других
  3. ГЛАВА ПЕРВАЯ О ДЕЙСТВИИ, ПРИ помощи КОТОРОГО МЫ УСТАНАВЛИВАЕМ ЗНАКИ ДЛЯ НАШИХ ИДЕЙ
  4. ГЛАВА 12 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА
  5. ГЛАВА 13 ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ И МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
  6. ГЛАВА VII ПРИ ПОМОЩИ КАКИХ НАБЛЮДЕНИЙ И РАССУЖДЕНИЙ УДАЛОСЬ УБЕДИТЬСЯ В ДВИЖЕНИИ ЗЕМЛИ
  7. СТАБИЛИЗАЦИЯ ФРАНЦУЗСКОГО АБСОЛЮТИЗМА ПРИ ЛЮДОВИКЕ XIV
  8. ГЛАВА IV ПОЧЕМУ МЫ СКЛОННЫ ПРИПИСЫВАТЬ ЗРЕНИЮ ИДЕИ, КОТОРЫМИ МЫ ОБЯЗАНЫ ТОЛЬКО ОСЯЗАНИЮ; ПРИ ПОМОЩИ КАКОГО РЯДА РАССУЖДЕНИЙ УДАЛОСЬ УНИЧТОЖИТЬ ЭТОТ ПРЕДРАССУДОК
  9. ГЛАВА II ОБ УПОТРЕБЛЕНИИ НАЗВАНИЙ В ИСЧИСЛЕНИИ
  10. Глава 11. ИСЧИСЛЕНИЕ СРОКОВ
  11. 5.5. Коррекцйонно-педагогическая помощь при аутизме
  12. Раздел VI. ПРАВА ГРАЖДАН ПРИ ОКАЗАНИИ МЕДИКО-СОЦИАЛЬНОЙ ПОМОЩИ
  13. МОДУЛЬ 11.2. КАК ПРИ ПОМОЩИ ТЕЛЕВИЗИОННЫХ ПРОГРАММ ПРОБУЖДАЕТСЯ ИНТЕРЕС К ЧТЕНИЮ
  14. Глава XIV. Витте308
  15. Глава XIV ТИПОЛОГИЯ ПРАВА
  16. Глава 10. На переломе (Европа в XIV—XV вв.)