<<
>>

10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ

Ход решения уравнений для открытой системы Леонтьева достаточно хорошо поясняется при п= 3. Выпуск определяется следующими уравнениями (см. раздел 10.3):

Х^ й-^Х.^ — а13Х3 =

#21-^1 «23-^3 = '

ЯзЛ «32-^2 Х3~Х3.

Чтобы по заданному конечному спросу (х19 жа, х3) вычислить выпуск каждой из отраслей (Хг, Х2, Х3), можно воспользоваться методами элементарной алгебры, однако более краткое решение получается при использовании определителей (см.

11.9 и 13.2).

Технологическая матрица имеет следующий вид: " 1 — «із" А = — «21 1 «23 L — а31 — «32 1 - Если мы обозначим через А определитель матрицы А, то алгебраическими дополнениями элементов этого определителя будут: 1 — а*

А23

«21

Ап =

И т. д.

1

^12 — —

—а

32

31

— а Решение имеет следующий вид:

Хг — —д (А11х1 + А2гх2 + ^ЗА)» |

Х2 = —т~ (А12х1 -f- A^x2 -f- А32х3), ^ і

Х3 = —д (-4x3^1 + ^23^-2 ~Ь ^зз^з)' J Общие затраты труда (первичные затраты) определяются из уравнения 1(6) раздела 10.3:

У = Ъ1Х1 + Ъ2Х2+Ь3Ха. (2)

Приведенные значения выпуска отраслей и затрат труда в условиях равновесия вычислены на основе заданного конечного спроса. Изменяя ассортимент конечного спроса, мы, получаем различные результаты, что можно назвать сравнительной статикой. Например, увеличение спроса на автомобили прямо и косвенно влияет на выпуск стали. Если хх увеличивается, а остальные элементы конечного спроса остаются неизменными, то

дХг ЛЦ дХ2 А12 дХ3 А13 дх± А і h дХ* і

дхг дХя

дхг А ' dY дХі

da?x 1 дхг

'2

дхг ^

= 4" (Mil + Ми + Mis)-

Совершенно аналогично решение для задачи в стоимостном выражении. Если величины х, X и У заменить соответствующими стоимостными значениями, уравнения (1) и (2) остаются в силе. Определитель матрицы коэффициентов затрат тогда приобретает следующий вид: пз

1 — a12 — а, где

— а

23

21

— а

1 -а, 1

31

Л32 Значение определителя зависит уже не только от неизменных технологических коэффициентов, но и от цен.

Способ определения цен равновесия не зависит от того, выражены ли выпуск и затраты труда в количественной или в стоимостной форме. Для определения этих цей необходимо решить систему уравнений (И) раздела 10.3:

Pi - a2lP2 — агіРз = wbl> —

Я12Р1 + P2 — «32Р3 = wb2 > —

аізРі — а2зР2 + Рз = wb3'

Следует обратить внимание на то, что в этой системе уравнений коэффициенты транспонированы, то есть элементы строк заменены элементами столбцов и наоборот. Решение этой системы уравнений имеет следующий вид: = (А А + А + Alsb3) w,

(3)

Р2 = ^Г (Л*1Ь1 +A22b2 + А23ЬЗ) W> РЗ = 4- (А31Ь1 + A32b2 + ^32&з) Цены равновесия пропорциональны заданной ставке заработной платы w, причем коэффициент пропорциональности для разных цен неодинаков и зависит от значений коэффициентов затрат.

В формулах (3), по которым исчисляются цены, коэффициенты затрат тРУДа (ь) входят, лишь будучи умноженными на ставку заработной платы. Обозначим w1 = wb19 w2 = wb2, w3 = wb3, где wx, w2, w3 — издержки на заработную плату в расчете на единицу продукции каждой из отраслей. Тогда (4)

= (Axlwx + АиЩ + АзЩ) • Аналогичные уравнения получаем из уравнения (3) для р2 и р3. Формулы решений (1) и (4) весьма схожи между собой, однако в них постоянные коэффициенты транспонированы.

а12Х2 — а13Х3 (два других уравнения А А

+ —(Два Других решения

Важно также отметить сходство формулы исходных условий (1а) из раздела 10.3 и формул решения (1), если те и другие записать в следующем виде.

Условия 1(a): хг = Хг- аналогичны этому).

Решение (1): X1 = ^Lx аналогичны этому).

Коэффициенты правой части уравнений I (а) представляют собой элементы определителя А, а коэффициенты решений (1) — элементы определителя Аг1 A2i А31 А А А Л12 а22 ^32 А А А Ах з Аз Азз А А А Последний определитель хорошо известен—он является обратным для определителя А (см. 12.7). Следовательно, при записи в общем виде решения (1) целесообразно не только составить матрицу коэффициентов затрат arsf но и построить обратную матрицу на основе определителя А и алгебраических дополнений его элементов. Пример обратной матрицы приведен в табл. 6 книги Эванса и Хоффенберга [3]. Экономическое содержание элементов обратной матрицы выясняется при рассмотрении решения (1). Элемент Ars/A представляет собой валовой выпуск г-й отрасли, необходимый для единицы конечного спроса на продукт 5-й отрасли; это справедливо для показателей, выраженных как в количественной, так и в стоимостной форме.

Полученные результаты, хотя они выведены на примере трех отраслей, действительны и для случая любого числа отраслей. Систематизированное рассмотрение общего случая (в виде матричных уравнений) приводится в разделе 13.7.

Задачи и упражнения 1.

Сформулировать условия равновесия и найти решение для случая двух отраслей (п — 2). 2.

Матрица коэффициентов затрат для случая двух отраслей имеет следующий

1 —а12 I

вид: А= . Показать, что обратной к ней является матрица:

— «21 1 I

1 «12

1 — «12«21 1 — «12«21 «21 1

-1 «12«21 1— «12«21~ 3.

Доказать, что, хотя элементы определителя, составленного из стоимостных коэффициентов затрат (ars), зависят от цен, величина этого определителя равна величине определителя А. 4.

Показать для случая трех отраслей, что p± = w (дУ/дх^); разъяснить экономический смысл результата.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ:

  1. 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА
  2. Расчет и оценка основных параметров модели для случая бассейна Балтийского моря
  3. ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ ПРОБЛЕМЫ
  4. Глава 1. ИНТЕРНЕТ РЕШЕНИЯ ДЛЯ БИЗНЕСА
  5. 14.6. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИГР С ПЛАТЕЖНОЙ МАТРИЦЕЙ 2 х п
  6. Раздел 2 ИНТЕРНЕТ РЕШЕНИЯ ДЛЯ БИЗНЕСА И НОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  7. § 5. Основания для отмены или изменения судебного решения в кассационном порядке
  8. Как использовать правозащитный подход для решения проблем психической инвалидности?
  9. Анализ возможных стратегий поведения России (дискуссия и выводы для политических решений)
  10. ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ, ЯВИВШИЕСЯ ОСНОВАНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ АРБИТРАЖНОГО СУДА Федеральный закон о рекламе
  11. ГЛАВА IV ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВОПРОСА О ТОМ, КАК МЫ ПЕРЕХОДИМ ОТ НАШИХ ОЩУЩЕНИЙ К ПОЗНАНИЮ ТЕЛ 19
  12. 43. Отрасль права. Краткая характеристика основных отраслей права в России
  13. Ларенцова Л.И., Полуев В.И., Тучик Е.С., Смирнова Н.Б., Бсслута. О.Е. КОНФЛИКТЫ В СТОМАТОЛОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ: ПОДХОДЫ К ИХ РЕШЕНИЮ И ПРОФИЛАКТИКЕ. Пособие для врачей. — Москва: Медицинская книга. 92 с: ил., 2005
  14. Ермошкин Н. H., Тарасов А. А.. Стратегия информационных технологий предприятия: Как Cisco Systems и ведущие компании мира используют Интернет Решения для Бизнеса. — М.: Изд-во Московского гуманитарного университета. — 360 с., 2003
  15. В.Н. Монахов, к.ю.н, проф. кафедры Юнеско по авторскому праву и другим отраслям права интеллектуальной собственности (Москва), член Российского комитета Программы ЮНЕСКО «Информация для всех» Российские нормативные акты, регулирующие доступ граждан к правительственной информации
  16. ВОЙНА ТРЕХ ГЕНРИХОВ
  17. Локк Дж.. СОЧИНЕНИ В ТРЕХ ТОМАХ / ТОМ 1, 1985
  18. РАЗДЕЛ 2. Предложение в трех периодах
  19.    Политика первых трех лет царствования
  20. Раздел второй. О трех фигурах силлогизма