<<
>>

10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ

Ход решения уравнений для открытой системы Леонтьева достаточно хорошо поясняется при п= 3. Выпуск определяется следующими уравнениями (см. раздел 10.3):

Х^ й-^Х.^ — а13Х3 =

#21-^1 «23-^3 = '

ЯзЛ «32-^2 Х3~Х3.

Чтобы по заданному конечному спросу (х19 жа, х3) вычислить выпуск каждой из отраслей (Хг, Х2, Х3), можно воспользоваться методами элементарной алгебры, однако более краткое решение получается при использовании определителей (см.

11.9 и 13.2).

Технологическая матрица имеет следующий вид: " 1 — «із" А = — «21 1 «23 L — а31 — «32 1 - Если мы обозначим через А определитель матрицы А, то алгебраическими дополнениями элементов этого определителя будут: 1 — а*

А23

«21

Ап =

И т. д.

1

^12 — —

—а

32

31

— а Решение имеет следующий вид:

Хг — —д (А11х1 + А2гх2 + ^ЗА)» |

Х2 = —т~ (А12х1 -f- A^x2 -f- А32х3), ^ і

Х3 = —д (-4x3^1 + ^23^-2 ~Ь ^зз^з)' J Общие затраты труда (первичные затраты) определяются из уравнения 1(6) раздела 10.3:

У = Ъ1Х1 + Ъ2Х2+Ь3Ха. (2)

Приведенные значения выпуска отраслей и затрат труда в условиях равновесия вычислены на основе заданного конечного спроса. Изменяя ассортимент конечного спроса, мы, получаем различные результаты, что можно назвать сравнительной статикой. Например, увеличение спроса на автомобили прямо и косвенно влияет на выпуск стали. Если хх увеличивается, а остальные элементы конечного спроса остаются неизменными, то

дХг ЛЦ дХ2 А12 дХ3 А13 дх± А і h дХ* і

дхг дХя

дхг А ' dY дХі

da?x 1 дхг

'2

дхг ^

= 4" (Mil + Ми + Mis)-

Совершенно аналогично решение для задачи в стоимостном выражении. Если величины х, X и У заменить соответствующими стоимостными значениями, уравнения (1) и (2) остаются в силе. Определитель матрицы коэффициентов затрат тогда приобретает следующий вид: пз

1 — a12 — а, где

— а

23

21

— а

1 -а, 1

31

Л32 Значение определителя зависит уже не только от неизменных технологических коэффициентов, но и от цен.

Способ определения цен равновесия не зависит от того, выражены ли выпуск и затраты труда в количественной или в стоимостной форме.

Для определения этих цей необходимо решить систему уравнений (И) раздела 10.3:

Pi - a2lP2 — агіРз = wbl> —

Я12Р1 + P2 — «32Р3 = wb2 > —

аізРі — а2зР2 + Рз = wb3'

Следует обратить внимание на то, что в этой системе уравнений коэффициенты транспонированы, то есть элементы строк заменены элементами столбцов и наоборот. Решение этой системы уравнений имеет следующий вид: = (А А + А + Alsb3) w,

(3)

Р2 = ^Г (Л*1Ь1 +A22b2 + А23ЬЗ) W> РЗ = 4- (А31Ь1 + A32b2 + ^32&з) Цены равновесия пропорциональны заданной ставке заработной платы w, причем коэффициент пропорциональности для разных цен неодинаков и зависит от значений коэффициентов затрат.

В формулах (3), по которым исчисляются цены, коэффициенты затрат тРУДа (ь) входят, лишь будучи умноженными на ставку заработной платы. Обозначим w1 = wb19 w2 = wb2, w3 = wb3, где wx, w2, w3 — издержки на заработную плату в расчете на единицу продукции каждой из отраслей. Тогда (4)

= (Axlwx + АиЩ + АзЩ) • Аналогичные уравнения получаем из уравнения (3) для р2 и р3. Формулы решений (1) и (4) весьма схожи между собой, однако в них постоянные коэффициенты транспонированы.

а12Х2 — а13Х3 (два других уравнения А А

+ —(Два Других решения

Важно также отметить сходство формулы исходных условий (1а) из раздела 10.3 и формул решения (1), если те и другие записать в следующем виде.

Условия 1(a): хг = Хг- аналогичны этому).

Решение (1): X1 = ^Lx аналогичны этому).

Коэффициенты правой части уравнений I (а) представляют собой элементы определителя А, а коэффициенты решений (1) — элементы определителя Аг1 A2i А31 А А А Л12 а22 ^32 А А А Ах з Аз Азз А А А Последний определитель хорошо известен—он является обратным для определителя А (см. 12.7). Следовательно, при записи в общем виде решения (1) целесообразно не только составить матрицу коэффициентов затрат arsf но и построить обратную матрицу на основе определителя А и алгебраических дополнений его элементов. Пример обратной матрицы приведен в табл.

6 книги Эванса и Хоффенберга [3]. Экономическое содержание элементов обратной матрицы выясняется при рассмотрении решения (1). Элемент Ars/A представляет собой валовой выпуск г-й отрасли, необходимый для единицы конечного спроса на продукт 5-й отрасли; это справедливо для показателей, выраженных как в количественной, так и в стоимостной форме.

Полученные результаты, хотя они выведены на примере трех отраслей, действительны и для случая любого числа отраслей. Систематизированное рассмотрение общего случая (в виде матричных уравнений) приводится в разделе 13.7.

Задачи и упражнения 1.

Сформулировать условия равновесия и найти решение для случая двух отраслей (п — 2). 2.

Матрица коэффициентов затрат для случая двух отраслей имеет следующий

1 —а12 I

вид: А= . Показать, что обратной к ней является матрица:

— «21 1 I

1 «12

1 — «12«21 1 — «12«21 «21 1

-1 «12«21 1— «12«21~ 3.

Доказать, что, хотя элементы определителя, составленного из стоимостных коэффициентов затрат (ars), зависят от цен, величина этого определителя равна величине определителя А. 4.

Показать для случая трех отраслей, что p± = w (дУ/дх^); разъяснить экономический смысл результата.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ:

  1. 6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  2. 10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ
  3. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  4. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  5. 14.6. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИГР С ПЛАТЕЖНОЙ МАТРИЦЕЙ 2 х п
  6. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  7. 16.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
  8. 16.6. ЭФФЕКТИВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСАХ ПЕРВИЧНЫХ ФАКТОРОВ
  9. 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА
  10. 17.9. ПРИМЕР СПЕЦИАЛИЗАЦИИ
  11. ПРИЛОЖЕНИЕ В РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ 1.2
  12. Поиски логики обучения
  13. ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ ПРОБЛЕМЫ
  14. Ермошкин Н. H., Тарасов А. А.. Стратегия информационных технологий предприятия: Как Cisco Systems и ведущие компании мира используют Интернет Решения для Бизнеса. — М.: Изд-во Московского гуманитарного университета. — 360 с., 2003
  15. Раздел 2 ИНТЕРНЕТ РЕШЕНИЯ ДЛЯ БИЗНЕСА И НОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ
  16. Глава 1. ИНТЕРНЕТ РЕШЕНИЯ ДЛЯ БИЗНЕСА
  17. Расчет и оценка основных параметров модели для случая бассейна Балтийского моря
  18. ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ТОЧКИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
  19. ПРИНУДИТЕЛЬНОЕ ЗАПОЛНЕНИЕ ЛИТЕЙНОЙ ФОРМЫ И УПЛОТНЕНИЕ ОТЛИВКИ И СЛИТКА
  20. 10.7. Крутое восхождение эффективно