<<
>>

10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА

В рассматривавшейся до сих пор открытой системе мы задавали исходные данные двух видов: конечный спрос по отраслям и издержки на заработную плату в расчете на единицу продукции (учитывая ставку заработной платы).
Первая группа данных представляет собой спрос «домашних хозяйств», последние также определяют и количество труда, которое домашние хозяйства могут выделить промышленности при заданном размере ставки заработной платы. Для получения замкнутой системы необходимо лишь дополнительно ввести еще одну отрасль производства — «домашние хозяйства», которая потребляет продукты других отраслей и удовлетворяет потребность этих отраслей в затратах труда. При добавлении этой новой «отрасли» все товары становятся промежуточными продуктами; ни конечный спрос, ни первичные затраты особо не выделяются. Предполагается также существование чистой конкуренции и свободного доступа, отсутствие государственных доходов и расходов и внешней торговли, и не учитываются капиталовложения и все другие элементы динамики.

Пусть народное хозяйство состоит из (п + 1) отраслей, каждая из которых производит только один продукт, а каждый продукт вырабатывается единственной отраслью. Выпуск r-й отрасли пусть равен Xr (г = 1, 2, ...

+ 1). Последняя отрасль—домашниехозяйства; ее продукт Хп+1 —труд, используемый в остальных отраслях. Матрица межотраслевых потоков состоит из элементов xrs, то есть потребления продукта г-ж отрасли в s-ж отрасли, причем элементы хгг условно принимаются равными нулю. В частности, ?г(п-и)— количество продукта г-ж отрасли, предназначенное для потребления домашними хозяйствами (ранее оно именовалось конечным спросом), a X(n+\),s —затраты труда в s-ж отрасли (ранее — первичные затраты).

В замкнутой системе первая группа условий равновесия имеет такой же вид, как и в открытой системе, а именно условие точного равенства использованных количеств продукта каждой отрасли и всего его выпуска.

Оно характеризуется уравнениями:

Хг«2*г. (г = 1, 2, ..., п+1);

S

итогами суммирования по горизонтали элементов строк матрицы межотраслевых потоков являются значения валового выпуска соответствующих отраслей. В этой системе удобнее принимать элементы на главной диагонали матрицы (хгг) равными не нулю, а (—Хт). При таком изменении матрицы условия равновесия приобретают следующий вид:

2*гз = 0 (г = 1, [2, + (1)

s

так что итоги суммирования элементов этой матрицы по горизонтали равны нулю. Суммирование элементов по вертикали невозможно, поскольку единицы измерения для разных строк неодинаковы.

Предположим, что и в этой системе имеются постоянные коэффициенты затрат ars, задаваемые технологическими условиями:

zrs = arsX3 (г, 8 = 1, 2, (2)

Если мы условились, что хтт = — Хг, то при г = s, агг = — 1.

Новым здесь является, что xr(n+1) = ar(n+i) Хп+г, то есть предпосылка о постоянной величине соотношения между потреблением домашними хозяйствами продукта г-ж отрасли и общими затратами труда. Расход домашних хозяйств на каждый вид товара составляет постоянную долю от их общего дохода (если все величины измеряются количественно). Это — очень ограничивающее допущение, которое мы рассмотрим позднее более подробно.

Подставим соотношения (2) в уравнения (1); тогда первая группа условии равновесия приобретает следующий вид:

2arsXs = 0 (г=1, 2 72 + 1).

s

Вторая группа условий вводит и цены pr (г = 1, 2, ..., п + 1), где /?п+х — ставка заработной платы, или цена труда. Для равновесия необходимо, чтобы выручка каждой отрасли была равна ее издержкам. Выручка s-ж отрасли

составляет psXs, а издержки равны ^ргхГ8 (где г Ф s). Следовательно,

г

при хп = — Хг и атт = — 1, вторая группа условий равновесия записывается в виде уравнений = О» или же, используя (2), в виде уравнений

г

2/>rflrs = 0 (* = 1, 2, ..., л + 1);

Г

при неизменных значениях технологических коэффициентов аГ8, условия общего равновесия чрезвычайно просты:

I. 2 = О (г = 1, 2, ..., » + 1);

S

И. S/>rflrs = 0 (*'=!> 2, >..

Л + 1).

Г

Неизвестными здесь являются (п + 1) отраслевых выпусков продукции Хг, которые встречаются только в уравнениях I, и п + 1 цен рт, которые встречаются только в уравнениях II. Однако простота этих условий обманчива, и они выдвигают специфические трудности, не встречающиеся в открытой системе.

Существо проблемы можно разъяснить на примере двух видов товара (один продукт промышленности и труд). Условия равновесия таковы:

(I) -X1 + «i2^2 = 0, (И) -л + а,!А = 0,

а21Х1 — Х2 = 0, «i2.Pi — Р2 = 0.

На основании уравнений I можно записать:

Хг _ _ 1

На основании уравнений II можно записать:

Рг 1 <*12

Следовательно, в системе равновесия задаются лишь соотношения между выпусками отраслей (или между ценами), и система совместна (даже при соблюдении этого ограничения) только в том случае, если коэффициенты затрат удовлетворяют уравнению:

1 —ал

а12а21 = 1, то есть

12

= 0.

«21 1

289

19 Р. Аллен

Этот результат можно обобщить. Условия (I) и (II) представляют собой линейные уравнения, однородные относительно неизвестных. Хотя число уравнений равно числу неизвестных, на основе этих уравнений можно получить только отношения между неизвестными, то есть получить значения п неизвестных лишь в том случае, если произвольно устанавливается значение одного из них. Однако даже для этого одно из уравнений должно быть линейной комбинацией других уравнений системы, что налагает ограничение на значения коэффициентов затрат —должен быть равен нулю определитель, образованный из технологической матрицы (матрицы коэффициентов затрат). Следует подчеркнуть также, что, хотя эти две системы уравнений (одна — для выпусков отраслей, другая — для цен) совершенно самостоятельны, они все же связаны между собой. Если коэффициенты затрат определяют соотношения между выпусками отраслей, то они определяют и соотношения между ценами. Следовательно, замкнутая система в лучшем случае определяет структуру хозяйства, а не его масштаб.

В открытой системе такого ограничения не существует; здесь производство детерминировано как в отношении структуры, так и в отношении масштаба деятельности. По сути дела, заданный конечный спрос определяет объем выпуска, а фиксированная ставка заработ- ной платы — масштаб цен. Эти вопросы рассматриваются также в упражнении 1, а в общем виде —в разделе 13.7.

Рассматриваемую в настоящем разделе замкнутую систему можно назвать системой Леонтьева, поскольку принято сделанное им предположение о постоянстве коэффициентов затрат. Очевидно, однако, что форма этой системы принадлежит Вальрасу. Это — простейший частный случай общего экономического равновесия, рассмотренного в гл. 9 (см. также работу Гудвина [4]). Как указывалось Камероном [2], эта система является одной из систем общего равновесия Вальраса, в которой уже исчерпаны все возможности дальнейшего «повышения экономичности».

Задачи и упражнения 1.

Составить уравнения условий равновесия для случая трех отраслей (?i = 3). Показать, что соотношения Хх : Х2 : Х3 и pt: р2 : р3 можно исчислить только в том случае, если равен нулю определитель технологической матрицы, составленной из коэффициентов затрат:

1 —«и — «із "І —

«21 1 «23 • —

«31 —«32 1 J

Показать также, что трудности не устраняются и в том случае, если равны нулю алгебраические дополнения элементов этого определителя, как, например,

1 —«12 л *

— «31 1 J 2.

Если в этом же случае (га = 3) суммировать по горизонтали элементы количественной матрицы межотраслевых потоков (яГ8), то итоги суммирования равны нулю; суммирование элементов по вертикали невозможно. Перестроить систему таким образом, чтобы она основывалась на стоимостной матрице межотраслевых потоков, то есть матрице, составленной из элементов vrs = prxr8. Показать, что в соответствии с двумя группами условий равновесия итоги как строк, так и столбцов перестроенной матрицы равны нулю. 3.

Распространить изменения, сделанные в предыдущей задаче, на случай технологической матрицы (матрицы стоимостных коэффициентов затрат). Показать, что матрица составлена из элементов &.rs=(Prl Р&) ars и чт0 в соответствии с условиями равновесия (II) итоги суммирования элементов матрицы по вертикали равны нулю. Что можно сказать о результатах суммирования элементов матрицы по горизонтали?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА:

  1. 9.2 Малоотходные и безотходные технологии
  2. 2.1. Информационная Сеть в зеркале аксиологии
  3. 2.1. Информационная Сеть в зеркале аксиологии
  4. В. Дильтей: религия как общение с невидимым
  5. Синергетика как новая парадигма: самоорганизация, открытые системы, нелинейность
  6. § б. Основные методические категории
  7. § 2.1.5. СИСТЕМА СЛОВЕСНО-НАГЛЯДНЫХ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ ХИМИИ И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ СО СРЕДСТВАМИ НАГЛЯДНОСТИ
  8. 10.3. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
  9. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  10. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  11. 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  12. 13.8. МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ
  13. 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  14. 16.1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
  15. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  16. 18.6. СПОСОБЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  17. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
  18. 2.3.3. Система охлаждения.
  19. Система автоматической стабилизации напряжения на батарее конденсаторов
  20. Глава 16 ЭКОНОМИЧЕСКАЯГЕОГРАФИЯ