<<
>>

|10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА

В изложенной выше системе межотраслевых связей капиталообразование теоретически не принималось во внимание, а практически включалось в заданный конечный спрос. Эта система статична и вместе с тем действует в течение небольшого промежутка времени.
Теперь мы расширим анализ путем введения динамических процессов; естественно использовать принцип акселерации, чтобы связать наличие капитальных благ с объемом выпуска либо инвестиции с изменениями выпуска. Запаздывание во времени не принимается во внимание (см., однако, упражнение 3); кроме того, мы предполагаем, что капиталообразование производится в соответствии с планом. По сути дела, эта система представляет собой систему подвижного равновесия.

Коэффициенты затрат ars определяются так же, как и выше: xrs = = arsXs (г, s = 1, 2, ..., п). Величины xrs характеризуют поток текущего производства: хгз—поток r-го продукта в s-ю отрасль в течение какого-либо периода (например, 1 года), причем он составляет неизменную пропорцию к выпуску Х$ s-й отрасли за этот же период. Вообще предполагается, что s-я отрасль не потребляет производимого ею продукта, так что ass не рассчитывается, а условно принимается равным (-—1). Наряду с коэффициентами затрат вводится новая система коэффициентов капиталоемкости ЬГ8, определяемая уравнениями Srs = brsXs \r, 5=1,2, ..., п), где Srs— запас r-то товара в s-й отрасли. Эти коэффициенты относятся к запасам капитальных благ всякого рода, начиная от запасов материалов и продуктов и вплоть до заводов и оборудования, в зависимости от характера продукта r-й отрасли.

В частности, определяются и значения Srr и brrt так как они показывают запас г-го продукта в той отрасли, которая его производит, то есть в г-й отрасли.

Таким образом, две матрицы, составленные из постоянных и заданных коэффициентов, в совокупности определяют структуру хозяйства: матрица А — структуру межотраслевых потоков, матрица В — структуру капитальных благ: ' 1 — Чг • ~ аы Ai b12 .. ? bln А = — а21 1 ? ~а2» , в = &21 ? b2n .

— ап1 - «п2 1 ІАі ? bnn. Размерность коэффициентов а не изменилась, коэффициент ars равен количеству единиц г-го продукта, расходуемому (в течение заданного периода) на выпуск в этом же периоде одной единицы 5-го продукта. Иной является размерность коэффициентов b. Srs представляет собой запас г-го товара, выраженный в единицах измерения, принятых для г-го товара в ка- кой-то момент времени;XS—выпуск в течение некоторого периода, выраженный в единицах измерения, принятых для 5-го товара. Следовательно, brs — величина запаса г-го продукта (в соответствующих единицах измерения), приходящаяся на единицу выпуска 5-го продукта за определенный период. Например, если г-й продукт — сталь, а 5-й — автомобили, то brs равно запасу стали (в тоннах), приходящемуся на один автомобиль, произведенный в течение определенного периода.

Каждый из коэффициентов капитальных благ является постоянным коэффициентом акселерации. Все величины Srs и Xs изменяются во времени, и при дифференцировании уравнения Srs = brsX8 мы получаем (для случая непрерывных изменений):

dSrs L dX8 dt

rs dt Это означает, что

[Прирост инвестиций в г-й продукт в 5-й отрасли

К8\х

Прирост выпуска! 5-й отрасли J непрерывна, причем без запаздывания

В данном случае акселерация (см. упражнения 1—3).

Теперь рассмотрена только первая группа уравнений системы Леонтьева, то есть уравнений точного соответствия потребления и выпуска продукции отрасли. Вторую группу уравнений (в ценностном выражении) можно добавить в значительной степени аналогично тому, как мы делали ранее. Обе системы, рассмотренные в разделах 10.3 и 10.7 — открытая и замкнутая, — преобразуются в динамическую форму.

Открытая система. Пусть имеются п отраслей, для каждой из которых задан конечный спрос xr (г = 1, 2, ..., и). Применительно к динамической системе это значит, чтояг есть заданный во времени поток, то есть хТ является заданной функцией времени. Таким образом, задается «ассортимент конечного спроса», изменяющийся во времени определенным образом.

Теперь условия точного соответствия потребления и выпуска продукта какой-либо отрасли г выражаются следующими уравнениями:

—xr 2Xrs '

(r = l, 2,

n).

^ dSr8 dt

8 S

19*

291 Одна часть продукта направляется конечным потребителям (первое слагаемое), вторая становится текущими затратами других отраслей (второе слагаемое), третья расходуется с целью капиталообразования в других отраслях (третье слагаемое). Последняя величина может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от того, например, происходит ли увеличение запасов или их расходование. Далее вкратце мы указываем некоторые трудности, возникающие в случае появления отрицательных слагаемых. Если совместно использовать две системы структурных коэффициентов, то (при

агг — — !)

+ = 0 (r= 1, 2, ..., и). (1)

S

Это — более общее выражение условий 1(a) раздела 10.3.

Замкнутая система. п-й отраслью считаются домашние хозяйства; товары конечного потребления становятся затратами этой отрасли, а труд — ее выпуском. Условие точного распределения отраслевого продукта выражается для нее уравнением (1), где хТ опущено57, то есть

2(arsXs + brs^)=0 (г = 1, 2, и). (2)

S

Это — более общее выражение условий I раздела 10.7.

В уравнениях (1) или (2) имеется п значений выпуска отраслей Хг (г — 1,2, ..., п), однако этот выпуск изменяется во времени, так что уравнения включают не только объем выпуска, но и скорость его изменения во времени. Это — системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Их решение содержит выпуск каждой отрасли как явную функцию времени (изменение выпуска во времени), и оно должно включать произвольные постоянные, устанавливаемые на основе первоначальных условий. Поскольку эти уравнения первого порядка, в решение для каждого продукта входит одна произвольная постоянная, для определения которой необходимо знать начальный выпуск отрасли.

Для решения уравнений (1) и (2) применимы методы, рассмотренные в главе 4 и очевидным образом расширенные.

Уравнения для замкнутой системы решаются проще, так как они являются однородными. Когда решения для этих уравнений найдены, решение неоднородных уравнений для открытой системы можно получить, прибавляя частный интеграл, учитывающий член хг, заданный в виде функции времени. В следующем разделе приводится решение для простейшего случая двух отраслей; решение для общего случая приводится в разделе 13.9.

Очевидно, что характер движения Хг (для каждого из г = 1, 2, ..., п) может быть, а может и не быть колебательным, причем эти колебания могут быть как затухающими, так и незатухающими. Рассматриваемая здесь динамическая система основана на том же принципе акселерации и представляет такой же диапазон возможностей, как и рассмотренная выше теория экономических циклов. Эта система также подчинена обычным ограничениям, ее необходимо соответствующим образом распространить на общий случай. Запись dSrs/dt = brs(dXJ dt) означает, что мы принимаем коэффициент акселерации одинаковым при изменении выпуска как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, то есть что при уменьшении выпуска запасы снижаются в той же мере, в какой они повышаются при увеличении выпуска. В действительности же приходится учитывать нелинейный и несимметричный характер акселератора, если не для товарных запасов, то по крайней мере для сооружений и оборудования. Эти трудности рассматривались в главе 6, а также исследуются Леонтьевым [6].

Задачи и упражнения

1. Изменить описанную в тексте динамическую Систему на систему дискретпого анализа, для чего принять, что акселератор имеет следующий вид: инвестирование на создание запасов r-го продукта в s-ж отрасли равно коэффициенту brsi умноженному на текущее изменение выпуска [Xs(t) — Xs(t— 1)]. Показать, что в замкнутой системе условия равновесия выражаются последовательностью разностных уравнений первого порядка:

2<«гв+*гв) Хв(0-2*гЛ(*-1)=0 (г= 1,2, ..., Л).

S S 2.

В систему предыдущей задачи ввести запаздывание, приняв, что инвестирование зависит от прошлого изменения объема выпуска (на один период ранее), то есть от [Xs(?—1)—Xs(? — 2)]; показать, что при этом получаются разностные уравнения второго порядка:

2 «г А (о+2 br*x s с -1) - 2 u—2>=о.

s s s 3.

В непрерывной системе, описанной в разделе 10.8, принять стоимость закупок г-го продукта для средств производства в 5-ю отрасль в момент t равной

d

— Srs (t)-=brs х (Ожидаемая скорость изменения ЛГ8).

Предположить, далее, что между моментом доставки оборудования и моментом изменения объема выпуска имеется разрыв во времени, всегда одинаковый, величина которого и принимается за единицу времени. Показать, что в замкнутой системе условия равновесия выражаются в виде группы дифференциально-разностных уравнений:

2 «„*.(*)+2 2Г.(* + 1) = 0.

10.9. РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДВУХ ОТРАСЛЕЙ

В простейшем случае двух отраслей условия (1) предыдущего раздела выражаются уравнениями:

~~ апХ2 — ЬХ1 — Ь12 = xlt j

(1)

dt ~ dt ' ~'r~ 1

«21-^1 + Х2 b21 b22 — х2.

Эти уравнения отвечают случаю открытой системы. Замкнутая система возникает при хх= х2 = 0 (так как домашние хозяйства являются одной из двух отраслей). Уравнения (1) превращаются в однородные, их легче решать, поэтому они и рассматриваются в первую очередь.

Замкнутая система. Попробуем применить метод, с успехом использованный в главе 5. Пусть

Хг = е-и и Ха = &е-м.

Тогда

_ Хе-и и = __ Xker^,

dt dt

где X и /с — некоторые постоянные параметры, которые необходимо выразить через структурные постоянные (коэффициенты а и Ь). Произведем подстановку значений и Х2 в (1); сократим на е~М Ф 0 и получим два уравнения для определения X и к:

1 — ка12 + Я (йп + кЪ12) = 0

и

— а21 + к + X (Ь21 + кЪ22) = 0,

откуда

Д. __ 1+^^11 _ fl21 ^21 (2)

а12 — ХЬ12 1 + ХЬ22 ' * '

Чтобы определить значение к, нам нужно знать значение X; в свою очередь значение X находим на основе правой части уравнения (2), кото- рую можно представить в виде квадратного уравнения

(1 + ХЬп) (1 + П22) = (а12 - П12) (а21 - ХЬ21),

или же

аХ2 + $к + у = 0,

где

a = b11b22— b12b2v

Р = Ь11^Ь22 + а12Ь21 + а21Ь12, 1 '

Y = l — а12а21.

У этого квадратного уравнения два вещественных и разных корня и Х2, так как (З2 > 4ау, что можно доказать следующим образом:

Р2 = [(&I1 + alt6M) 4- (Ьм + а21Ь12)]а =

= [(&11 + аіАі) - (622 + агі^іг)]2 + 4 (Ъп + а12Ь21) (622 + о21Ь12).

Следовательно,

р» - 4aY = [(6U + а12й21) - (622 + aMf + + 4 (Ьп + а12621) (&22 + «гАа) — 4 (1 — a12a21) (6ub22 - ?>і2Ь21) = = [(Ьіі + апЮ - + «гАа)]2 +

21 + «12^21^22 + Й21 ^11^12 + ^11^22ai2a2l)-

Эта величина положительна, поскольку все коэффициенты а и Ь положительны. Мы нашли две пары значений постоянных параметров % и к.

Из уравнения (3) получаем два вещественных и различных значения Х1жК2, а из уравнения (2) —два соответствующих значения к:

к - i+Xlbl1 к = 1 * а12— ' 2 а12 — ^2^12

Отсюда следует, что обе пары:

Х^егЫ и Х2 = кхе~М,'

= и Х2 = к2е~м

являются решениями уравнений (1). Решением этого уравнения будет и сумма двух попарных произведений — частных интегралов Хх и Х2, умноженных на произвольные постоянные коэффициенты соответственно Аг и А2:

X^Af-M + Ate-ы, |

Х2 = А1к1е-Ы + А2к2е-м. / (<'

Это — общее решение, поскольку в нем имеется необходимое число произвольных постоянных (А± и А2), значения которых определяются по начальным значениям выпуска отраслей (см. упражнение 2).

Решение (4) нетрудно истолковать, однако это пока что не помогает. С течением времени значения выпусков Хх и Х2 стремятся к нулю, если и Х2 оба положительны, и беспредельно возрастают, если один из этих корней отрицателен. Производство либо «затухает», либо «взрывается». Этот неудобный для использования результат попросту является еще одним проявлением особых свойств упрощенной замкнутой системы. Разгадка заключается в том, что один из двух параметров, или Я2, может оказаться равным нулю. В статической замкнутой системе (см. 10.7), которую можно получить, приравняв нулю все коэффициенты Ъ в уравнениях (1), поддаются определению не абсолютные значения Хг и

А2, а лишь их соотношение Хх: Х2, и то только в том случае, если коэффициенты а удовлетворяют

дополнительному условию:

-L ~Г'|-1-«іАі = <>- (5)

Предположим, что условие (5) действительно и для динамической модели. Тогда в уравнении (3), служащем для определения X, свободный член Y = 0, и один из корней X равен нулю, чему соответствует, исходя из уравнения (2), значение к = 1/а12 = а21. Вторая пара значений X и к будет следующей:

a b12b21 — bxlb2 2 * «12—Xb12

Тогда решение (4) принимает следующий вид:

Х^Аг+АъегН, |

а

X2 = 4^ + A2ke~v, j (7)

12

где X и к — постоянные параметры, определяющие структуру экономики и задаваемые уравнением (6). Если X > 0, выпуск каждой из отраслей на основе уравнения (7) является суммой двух слагаемых: постоянной величины и величины, убывающей со временем. Этот результат более осязаем. Значения конечного уровня продукции стремятся к пределам Х1^А1 и Х2 = А1/а12, которые устанавливаются (с помощью произвольной постоянной ^j) по начальным величинам выпуска отраслей. Тем не менее соотношение между предельными выпусками Хг: Х2 равно а12, а этот коэффициент задается структурой системы. Данная динамическая система является затухающей и устойчивой; соотношение между конечными выпусками определяется структурой системы, а их абсолютная величина — значениями начального выпуска отраслей.

Этот результат возможен лишь при (положительном значении X в уравнении (6), а ЗС будет положительным в случае, если равен нулю один из двух коэффициентов fen и Ь22, либо если оба эти коэффициента малы. Поскольку вторым товаром является труд (продукт домашних хозяйств), то запасы товара Х2 можно принять равными нулю, так что &22 = 0. Следовательно, обычно X > 0.

Открытая система. В этом случае хг и х2 в уравнении (1) —заданные функции времени. Общее решение неоднородных уравнений (1) представляет собой общее решение однородных уравнений (4), в интеграл которого для каждого из двух неизвестных (Хг и Х2) добавлено еще одно слагаемое- частный интеграл, определяемый видом функций хх и х2. Получить эти частные интегралы возможно лишь в том случае, если известен характер функций хх и х2. Приведем в качестве иллюстрации два примера.

I. Конечный спрос фиксирован и постоянен во времени:

Будем искать частные интегралы для системы уравнений: Y Y" h 7 dX2

(8)

1 12 2 ~~ ~dt іа"~ЗГ dXx h dX2 dt

= Co

— a21X1 + X2 — &21 — b, Проверим, ВОЗМОЖНО ЛИ решение Хх и Х2 = В2, где В± и В2— две неизвестные постоянные, которые необходимо определить. Тогда

В1 — а12В2 = с1 и --а21В1 + В2^с2,

что дает

В — Cl + C2^12 и ft — J^21+?2_

1 1—а12а21 2 1 а12Л21

Отсюда общее решение (8) будет иметь вид:

х Ciflii+e. + AJcte-M + AJberbt, 2 i — a12a21 1 1 1

где и — произвольные постоянные, определяемые на основе заданных начальных значений выпуска, а Хх и Х2, кх и й2 — структурные постоянные. заданные уравнениями (2) и (3).

При истолковании этого решения критическое значение имеют знаки

при Кг и Х2, а также при Вх и В2. Из уравнения (3) следует, что

+ = > ==•

Кроме того, Вг и В2 являются величинами положительными и кратными 1/у.

Обычно а < 0, например, когда запасы продуктов для собственного потребления совсем отсутствуют или незначительны. Во всех случаях Р > 0. Однако у=1 — ai2a2i может быть величиной как положительной, так и отрицательной. Необходимо рассмотреть два возможных варианта: Знак величины Вариант (а) (1-аі2а2і>0) Вариант (б) (l-a12a2i<0) + + — + #1 и В2 + В варианте (а) большая А, —величина положительная, а меньшая — отрицательная. При наличии отрицательной X одно из слагаемых в решениях для Хх и Х2 бесконечно возрастает с течением времени; второе слагаемое является величиной затухающей. Следовательно, в этом варианте система является «взрывной». С другой стороны, в варианте (б) оба X положительны, и соответствующие слагаемые в решениях для Хх и Х2 являются затухающими; однако уровни, к которым стремятся значения выпуска, то есть Вх и В2, отрицательны, а значит неприемлемы.

Следовательно, в варианте, который практически является единственно возможным (1 — а12а21 > 0), динамическая система является «взрывной», и выпуски отраслей неограниченно возрастают с течением времени. Симметричная в обоих направлениях линейная акселерация, принятая в этой модели, приводит снова к проблеме такого рода, которая была рассмотрена в главе 6. Модель непосредственно не может быть применена к реальной действительности, и приходится ввести понятие нелинейного и несимметричного акселератора.

II. Конечный спрос с течением времени возрастает с заданной относительной скоростью |л:

хг^=сге^ и х2 = с2ем-*/

Будем искать частные решения для системы уравнений: Хг- а12Х2 ^ = сгеV,

dX dX '

- а21Хх + Х2-Ь21 - Ъ22 = с2е»'.

Проверим, возможно ли решение Хх = Вхе^ и Х2 = В2егде Вг и В2 — две неизвестные постоянные, которые необходимо определить, то есть предположим, что выпуск каждой из отраслей будет возрастать с той же относительной скоростью, что и конечный спрос. Подставим это решение Хг и X2 в уравнение (9) и произведем сокращение на Ф 0. Тогда

Вх — а12В2 — |xb11B1 — |хЪ12В2 = с19 — а21Вг + В2 — \У>Ъ21Вг - \ib22B2 = с2, откуда следует, что

В _ Сг (1— ЦЬ22) + С2 (Дц + рбц)

А (1 — \іЬгі) (l — \ib22) — (a12 + \ib12) (a21+\ib21) '

В __ Cj + + (1 —

2 (1 — fX&ll) (1 — ^22) — («12 + ^12) («21 + ^2l) *

Общее решение уравнений (9) имеет следующий вид:

Хг = Вге^ + А1е~Ы + А2е~ь Х2 = + Afae-Ы + А2к2е-*< а'.

Полученные результаты во многом совпадают со случаем фиксированного конечного спроса (см. упражнение 5). Обычно имеется лишь один возможный вариант, при котором динамическая система является «взрывной», и выпуск возрастает приблизительно по показательной кривой, а относительная скорость роста выпуска та же, что и роста конечного спроса.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что квадратное уравнение для Л, полученное на основе уравнения (2), можно записать в следующем виде:

(-1 -КЬп) (а12-КЬ12) =о

(«21 — kb21) (— 1 — ХЬ22)

причем определитель, очевидно, составляется из структурных постоянных коэффициентов. 2.

Заданы начальные (при ? = 0) уровни выпуска Хг = Хю и Х2 = Х20. Выразить через Х10 и Х'2о произвольные постоянные: а) в решении (4); б) в решении (7). 3.

Почему в открытой системе с постоянным конечным спросом не обязательна, чтобы 1 — а12а21 = 0, как это имеет место для закрытой системы? Рассмотреть вариант 1 — а12а21 = 0 в качестве примера, промежуточного между двумя примерами текста, и изучить характер решения. Как определяются в этом варианте и В2? 4.

Пусть в открытой системе x1 = c1-\-d1t, x2 = c2-j-d2t. Найти частные интегралы и исследовать общее решение. 5.

Рассмотреть решение открытой системы (пример II в тексте). Принять а<0 и р>0 (как и ранее), bn = b22 = 0 (отсутствие запасов продуктов для конечного потребления). Показать, что имеется три варианта: Знак величины Вариант (а) Вариант (б) Вариант (в) («12+ Ы («21 + &2і) + — + 1 — «12«21 + + — Вывести, что значения Xi и Х2 имеют противоположные знаки в вариантах (а) и (б), а в варианте (в) оба положительны и что Вг и В2 положительны только в варианте (а). Отсюда показать, что единственно возможной является «взрывающаяся» система—вариант (а). 6.

Пусть в открытой системе хi = Ci1e^lt-\-c12ell2t, х2 = Отыскать частные интегралы и показать, что они представляют развитие постоянных типа Bt и В2 в случае II (см. текст). 7.

Составить уравнения для замкнутой системы с тремя отраслями и исследовать характер решения, обращая особое внимание на возможность колебаний выпуска отраслей (см. 13.9). 8.

Рассмотреть систему с запаздываниями (см. 10.8, упражнение 3) для случая двух отраслей, включающую смешанные дифференциально-разностные уравнения. Положить а12 = а21 = 0 и bxl = b22 = 0 и истолковать эти частные случаи. Показать, что Хх (t) и X2(t) удовлетворяют уравнению вида b12b21(d2/dt2) X (t-\-2) = X (t) или же bnbn(d2/dt*) X (t) = X (t —2). (Метод решения см. [9], русск. перев., стр. 101 — 106.)

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА:

  1. 1.2. Типологии индивидуального стиля педагогической деятельности, его структура
  2. БИБЛИОГРАФИЯ
  3. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  4. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  5. 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  6. 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  7. 16.1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
  8. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  9. 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА
  10. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  11. § 5.3.1. Организованная модель системы управления предприятием как объект корпоративного правового регулирования
  12. § 1. Общенаучная характеристика педагогической психологии
  13. § 1. СИСТЕМА СОВЕТСКОГО ПРАВА КАК РАЗНОВИДНОСТЬ СОЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  14. § 1. СИСТЕМА РОССИЙСКОГО ПРАВА КАК РАЗНОВИДНОСТЬ СОЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  15. 3. Основные принципы, методы и формы управления педагогическими системами
  16. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ принципы РАЗВИВАЮЩЕГО обуЧЕНИЯ
  17. Сложные биогенные системы как объект изучения экологических наук. Свойства и законы функционирования сложных систем
  18. Система и структура