11.1. ВВЕДЕНИЕ

Предметом этой и следующей глав является то, что довольно широко может быть названо матричной алгеброй. Необходимо с самого начала выяснить природу матричной алгебры и характер проблем, для решения которых она пригодна.

Элементарная алгебра имеет дело с выражениями, принимающими вещественные численные значения. Эти выражения состоят из постоянных и переменных величин, берущих свои значения из области вещественных чисел. Постоянные величины могут быть определены численно, например 3 ИЛИ 1^2, но могут быть и неопределенны, например, а, с, ... Переменные величины, обычно обозначаемые такими буквами, как х,у и z, принимают численные значения или из всей области вещественных чисел, или из более ограниченных областей, таких, как область целых чисел или область рациональных чисел (отношения целых чисел). В качестве примеров выражений, характерных для элементарной алгебры, можно привести Уа2 + Ь2 и ах + by. Если постоянные а и & определены, например а == 1, Ъ — 2, то эти выражения получают вид У а2 + 62= У 5 и ах + by = х + 2у. Второе выражение принимает различные численные значения при различных значениях переменных х и у: X 0 0 1 1 У 0 1 0 1 х+2у 0 2 1 3 Неэлементарная алгебра разрушает эти узкие границы. Она имеет дело с множествами, отличными от множества вещественных чисел, например с комплексными числами (см. прилож. Б.— Ред.). Она оперирует не только с «величинами», подобными массе или объему в физике, но и с более общими понятиями— векторами», выражающими силу или скорость, которые имеют величину и направление. Большая часть высшей алгебры, в частности матричная алгебра, рассматривает не отдельные величины, а множества или группы упорядоченных определенным образом элементов.

В качестве иллюстрации рассмотрим группировки элементов, являющихся постоянными величинами, принимающими вещественные численные значения. Набор из трех постоянных величин a, b и с может быть расположен в определенном порядке: а — на первом месте, Ъ — на втором и с — на третьем. Это можно записать в виде (а, Ъ, с) и сопоставить с точкой в трехмерном пространстве. Вектор трех измерений является одной из таких группировок; он может также рассматриваться как частный случай матрицы, которая имеет только одну строку (или один столбец) из трех элементов.

Значительно более общим является набор из четырех постоянных а2, b2, которые могут быть размещены в виде блока из двух строк и двух

столбцов:

[А М L«2 Ь2 J '

И опять существенным является способ упорядочения. В данном случае этот порядок таков, что первая строка, отмеченная индексом 1, содержит по порядку ах и Ъг, и вторая строка упорядочена аналогично. Мы привели здесь простой пример квадратной матрицы.

Очень важно проводить строгое различие между вектором или матрицей как упорядоченными множествами элементов и отдельными величинами (или выражениями), получаемыми из элементов. На основе вектора (а, 6, с) можно получить несколько выражений, например сумму элементов а + Ь + с, которая, так же как и сами элементы, имеет отдельное значение. Подобно этому на основе написанной выше квадратной матрицы можно получить такие выражения, как произведение элементов на главной (ведущей) диагонали ахЬ2 или так называемое перекрестное произведение четырех элементов ахЪ2-^ а2Ьх. Эти выражения имеют такой же характер, как и сами элементы (например, вещественные числа), и к ним, так же как и к отдельным элементам, применимы законы элементарной алгебры. Но из этого не следует, что и сами векторы или матрицы также подчиняются алгебраическим законам вещественных чисел или каким-либо другим.

Практическим испытанием матричной алгебры является выяснение того, насколько она удобна и пригодна для разработки возникающих в различных областях проблем.

Например, выражение ахЪ2— а2Ьг само по себе очень простое, но вообще его удобно рассматривать как «перекрестное произведение» квадратного блока элементов:

ai\ /А

а2<—f:b2 ,

то есть как возникающее из квадратной матрицы

[Ч м

Подобно этому выражение аххх + а2х2 + а3х3 лучше всего рассматривать как полученное из двух наборов элементов, а именно: векторов (ах, а2, а3) и (хх, x2i х3)\ а выражение ах2 -f 2hxy -j- by2 как результат соединения матрицы

Га hi

[h b\

и вектора (ж, у).

Следовательно, матричная алгебра дает компактное обозначение, которое позволяет оперировать с громоздкими выражениями и действиями. Более того, это обозначение является общим и применимо не только тогда, когда мы имеем дело с большим числом элементов, но и к неопределенному числу элементов. Матричное обозначение позволяет переходить от случаев двух или трех измерений к случаям, когда число измерений велико и точно не установлено.