<<
>>

12.3. РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА МАТРИЦ, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР

Матричная алгебра является совокупностью правил действий над матрицами в общей форме. Эти правила условны, и их можно выбирать. Однако те правила, которые разработаны в действительности, далеко не произвольны.
При их разработке учитывались и законы элементарной алгебры и применение матриц, уже кратко рассмотренное в разделе 12.2.

Простейшей частью нашей задачи, как это было и в векторной алгебре (см. 11.4), является определение равенства, неравенства и умножения матриц на скаляр. Эти правила являются естественным развитием соответствующих правил, установленных для векторов.

Введем матрицы А = [ars], В = [fcrs] иС = [crsJ размерности т X п, которыми будем пользоваться в последующем изложении.

Равенство и неравенство матриц. Определение равенства и неравенства матриц соответственно таково:

А = В, если ars = brs, и А > В, если ars > brs

для всех г и s (г = 1, 2, ..., т\ s = 1, 2, ..., п).

Для матриц, так же как и для векторов (см. 11.4), представляет некоторую трудность определение соотношения «больше или равно». Здесь мы будем иметь два обозначения:

А^В, если ars>brs, допуская, что могут все aTS= brs, А>В, если ars>&rs, не включая случая, когда все ars = brs, для всех г и s (г = 1, 2, ..., m\ s = 1, 2, ..., и).

Выражение АВ включает А = В, А > В, а также случай, когда для некоторых г и s ars>brs и ars= brs для других г и s. В выражении А>В случай А = В исключается.

Как частный случай рассмотрим соотношение матрицы А и нулевой той же размерности. Выражение А = О означает, что каждый элемент матрицы А равен нулю, то есть А сама является нулевой матрицей. Выражение А>0 означает, что матрица А положительна, то есть все ее элементы положительны. Выражения А ^ 0 и А > О означают, что матрица А неотрицательна, то есть она не содержит отрицательных элементов; некоторые ее элементы положительны, а другие равны нулю. Вообще и в частности в экономических приложениях чаще пользуются неотрицательными, а не положительными матрицами, область применения которых весьма ограничена. Обычно в матрице всегда имеются нулевые элементы, и вопрос состоит в том, являются ли положительными другие элементы, так чтобы матрица была неотрицательной.

Сложение матриц. Определением сложения матриц является: Г 8

С = А + В, ЄСЛИ frs==ar8+fy для всех г и s (г = 1,2, ..., т; s = 1,2, ..., п). Это определение очень просто и согласуется с (3) из раздела 12.2. Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить попарно их соответствующие элементы. Это определение легко распространяется на случай более двух матриц. Однако необходимо подчеркнуть, что складывать матрицы А и В можно только в том случае, когда их размерность совпадает. «Сложение» матриц различной размерности, таких, как

Г ап a12j ~Ъ1Х bl2 &13j L «21 а22 J Ь22 Ь23 J

вообще не имеет смысла. Приведем несколько простых примеров сложения матриц: Пример (а)

[о і] + [і оМі і] ь

Пример (б) Пример (в)

к ;мг ;]-к п-

[-

Пример (г)

' -ЇМ?

Г1 2 ЗТ Г4 5 6П_Г5 7 9] L 4 5 6 J^L7 8 9 J L 11 13 15 J * Умножение матрицы на скаляр. Определение опять очень просто:

XA = [Xars]

для любого скаляра X. Каждый элемент матрицы А (а не только элементы какой-нибудь одной строки или столбца) умножается на скаляр X.

Скаляр X может иметь любое значение — положительное и отрицательное (а также равняться нулю. — Прим. ред.). Приведем несколько примеров: 1)

-1 2

1 -т ' < -41 [-> 41 1-4 ? . U -«J к

Сейчас мы рассмотрим несколько свойств и специальных случаев, относящихся к вышеприведенным определениям. Некоторые из "них связаны с правилами алгебры, которые мы перечислили в разделе 12.1. Все доказательства очень просты, в чем читатель без труда убедится. В дальнейшем изложении мы вновь будем пользоваться Матрицами A=[ars], B = [brs], С = [сГ8], ..., все—размерности тхп. I.

Сложение матриц коммутативно. Закон (A3) из раздела 12.1:

А + В = В + А;

каждая из полученных в результате сложения матриц равна С, где

crs = ars + brs = brs + ars- II.

Сложение более двух матриц. Сумма матриц А, В, С, ... получается повторным применением правила сложения двух матриц:

А + В + С+... =[(ars + brs + crs+...)]. III.

Сложение матриц ассоциативно. Закон (А2) из раздела 12.1:

А + (В + С) = (А + В) + С; каждая из полученных в результате сложения матриц равна D, где

^rs ~ ars brs + Сг$. IV.

Повторное сложение матрицы А равносильно умножению матрицы на целое положительное число X = N (N = 1, 2, 3, ...):

А + А = [2ars] = 2А, А + А + A = [3are] = 3A

и т. д. V.

Умножение матрицы на скаляр подчиняется законам (S2 —5) из раздела 12.1:

0. А = 0; 1. А = A; k^A) = lliA; Х(А+В) = ХА + ХВ и + = +

Вообще ХА + (хВ + vC + ... есть матрица т X п с общим элементом

(^ars + H^rs + vcrs +•••)• VI.

Сложение матрицы с нулевой матрицей не изменяет первоначальной матрицы:

А + 0 = 0+ А-А.

Следовательно, нулевая матрица играет роль нулевого элемента [закон (А4 из раздела 12.1]. VII.

Вычитание двух матриц. Закон (А5) из раздела 12.1. Определим сперва отрицательную матрицу как результат умножения

на скаляр ( — 1), то есть —А есть А, все элементы которой меняют знак на противоположный:

-А = [(-а„)].

Теперь определим действие вычитания как сложение одной матрицы с другой отрицательной (противоположной. — Ред.) по отношению к ней

А_В = А + (-В),

о есть

[ars]-[6rs] = [(ars-6rs)].

В частности, А—А = А + ( — А) = 0, где 0 —нулевая матрица тхп. Этот результат согласуется с определением равенства матриц, так как А — В = 0 означает А = В.

Задачи и упражнения 1.

Доказать свойства I — VII, обратив особое внимание на свойство V. 2.

Проверить, что определение противоположной матрицы (—А) в VII равносильно А + ( — А) = 0 (см. правило (А5) из раздела 12.1). 3.

Показать, что

;]-[; :н« sj-u ?J-

Обобщить этот случай. 4.

Написать A-j-B и А—В для

[12 3 1 [9 8 7 "

4 5 6 I и В= 6 5 4. 7 8 9 J L3 2 1. 5.

Показать, что умножение матрицы на скаляр, или ЯА, сводится к повторному сложению матриц, если А,рациональное число вида p/q (р и q—целые числа),

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 12.3. РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА МАТРИЦ, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР:

  1. 12.6. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
  2. 12.7. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. ВЕЛИЧИНА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
  3. 12.4. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
  4. 8. Операции с матрицами
  5. 17. Блочные матрицы
  6. 10. Ранг матрицы
  7. 11.7. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
  8. 15. Положительно определенные матрицы
  9. 12.9. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
  10. 12.8. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И РАНГ МАТРИЦ
  11. 11.6. МАТРИЦЫ
  12. 12.2. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД МАТРИЦАМИ
  13. 13.8. МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ
  14. 14.6. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИГР С ПЛАТЕЖНОЙ МАТРИЦЕЙ 2 х п
  15. 10.5. МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАТРАТ
  16. 13.4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
  17. ГЛАВА 11 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
  18. Бинарные решающие матрицы